Questo articolo spiegherà la formula di Black-Scholes in termini semplici. Il modello di Black-Scholes è un modello matematico delle dinamiche di un mercato finanziario contenente strumenti di investimento derivati.
Dall'equazione alle derivate parziali nel modello (nota come equazione di Black-Scholes), è possibile derivare la formula di Black-Scholes. Fornisce un prezzo teorico dell'opzione in stile europeo e mostra che l'opzione ha un prezzo unico indipendentemente dal rischio del titolo e dal suo rendimento atteso (invece di sostituire il rendimento atteso del titolo con un tasso neutrale al rischio).
La formula ha portato a un boom nel trading di opzioni e ha dato legittimità matematica al Chicago Board Options Exchange e ad altri mercati di opzioni in tutto il mondo. È ampiamente utilizzato, anche se spesso con aggiustamenti e correzioni, dai partecipanti al mercato delle opzioni. Nelle immagini di questo articolo puoi vedere esempi della formula Black-Scholes.
Storia ed essenza
Basato sul lavoro precedentemente sviluppato da ricercatori e professionistimercati come Louis Bachelier, Sheen Kassouf e Ed Thorpe, Fisher Black e Myron Scholes alla fine degli anni '60 hanno dimostrato che la revisione dinamica del portafoglio eliminava il rendimento atteso del titolo.
Nel 1970, dopo aver provato ad applicare la formula ai mercati e aver subito perdite finanziarie a causa della mancanza di gestione del rischio nelle loro professioni, decisero di concentrarsi sul loro campo, il mondo accademico. Dopo tre anni di sforzi, la formula, dal nome della loro promulgazione, fu finalmente pubblicata nel 1973 in un articolo intitolato "Pricing Options and Corporate Bonds" sul Journal of Political Economy. Robert S. Merton è stato il primo a pubblicare un documento che amplia la comprensione matematica del modello di prezzo delle opzioni e ha coniato il termine "modello di prezzo di Black-Scholes".
Per il loro lavoro, Merton e Scholes hanno ricevuto nel 1997 il premio Nobel per l'economia, citando la loro scoperta della revisione dinamica indipendente dal rischio come una svolta che separa l'opzione dal rischio per la sicurezza sottostante. Anche se non ha ricevuto il premio a causa della sua morte nel 1995, Black è stato menzionato da un accademico svedese come partecipante. Nell'immagine qui sotto puoi vedere una tipica formula di Black-Scholes.
Opzioni
L'idea principale di questo modello è quella di coprire un'opzione acquistando e vendendo correttamente l'attività sottostante e, di conseguenza, eliminando il rischio. Questo tipo di copertura è denominata "copertura delta costantemente aggiornata". Luiè la base per strategie più complesse come quelle utilizzate dalle banche di investimento e dagli hedge fund.
Gestione del rischio
Le ipotesi del modello sono state allentate e generalizzate in molte direzioni, risultando in una varietà di modelli attualmente utilizzati nella determinazione del prezzo dei derivati e nella gestione del rischio. È la comprensione del modello, come mostrato nella formula di Black-Scholes, che viene spesso utilizzata dai partecipanti al mercato, in contrasto con i prezzi effettivi. Questi dettagli non includono limiti di arbitraggio e prezzi neutrali al rischio (a causa di una revisione costante). Inoltre, l'equazione di Black-Scholes, l'equazione alle derivate parziali che determina il prezzo di un'opzione, consente di determinare numericamente i prezzi quando una formula esplicita non è possibile.
Volatilità
La formula di Black-Scholes ha un solo parametro che non può essere osservato direttamente sul mercato: la volatilità media futura dell'asset sottostante, sebbene possa essere trovata al prezzo di altre opzioni. Quando il valore di un parametro (che sia put o call) aumenta in quel parametro, può essere invertito per produrre una "superficie di volatilità" che viene quindi utilizzata per calibrare altri modelli come i derivati OTC.
Con queste ipotesi in mente, supponiamo che questo mercato scambi anche derivati. Indichiamo che questo titolo avrà un certo payout in una certa data futura, a seconda del valore assunto dall'azione.prima di questa data. Sorprendentemente, il prezzo del derivato è ora completamente determinato, anche se non sappiamo quale percorso prenderà il prezzo delle azioni in futuro.
Per un caso speciale di un'opzione call o put europea, Black e Scholes hanno dimostrato che era possibile creare una posizione coperta composta da una posizione lunga su un'azione e una posizione corta su un'opzione, il cui valore non dipenderebbe dal prezzo del titolo. La loro strategia di copertura dinamica ha portato a un'equazione differenziale parziale che ha determinato il prezzo dell'opzione. La sua soluzione è data dalla formula di Black-Scholes.
Differenza di termini
La formula di Black-Scholes per excel può essere interpretata suddividendo prima l'opzione call nella differenza di due opzioni binarie. Un'opzione call scambia denaro con un asset alla scadenza, mentre un asset call con o senza un asset produce semplicemente un asset (senza contanti in cambio) e una call senza contanti restituisce semplicemente il denaro (nessuno scambio di asset)). La formula di Black-Scholes per un'opzione è la differenza di due termini e questi due termini sono uguali al valore delle opzioni call binarie. Queste opzioni binarie vengono scambiate molto meno frequentemente delle opzioni vanilla, ma sono più facili da analizzare.
In pratica, alcuni valori di sensibilità sono solitamente abbreviati per adattarsi alla scala delle probabili modifiche ai parametri. Ad esempio, vengono spesso riportati rho diviso per 10000 (variazione di 1 punto base), vega per 100 (variazione di 1 punto volume) e theta per 365.o 252 (prelievo di 1 giorno basato su giorni di calendario o giorni di negoziazione all'anno).
Il modello di cui sopra può essere esteso per tassi e volatilità variabili (ma deterministici). Il modello può essere utilizzato anche per valutare le opzioni europee per gli strumenti di pagamento dei dividendi. In questo caso, sono disponibili soluzioni in forma chiusa se il dividendo è una proporzione nota del prezzo dell'azione. Le opzioni americane e azionarie che pagano un dividendo in contanti noto (più realistico di un dividendo proporzionale a breve termine) sono più difficili da valutare ed è disponibile una scelta di metodi di soluzione (ad esempio reticoli e griglie).
Approccio
Utile approssimazione: sebbene la volatilità non sia costante, i risultati del modello spesso aiutano a impostare la copertura nelle giuste proporzioni per ridurre al minimo il rischio. Anche se i risultati non sono del tutto accurati, servono come prima approssimazione alla quale è possibile apportare modifiche.
Base per modelli migliori: il modello Black-Scholes è robusto nel senso che può essere adattato per far fronte ad alcuni dei suoi fallimenti. Invece di trattare alcuni parametri (come la volatilità oi tassi di interesse) come costanti, li trattiamo come variabili e quindi aggiungiamo fonti di rischio.
Ciò si riflette nelle greche (modificando il valore dell'opzione per modificare questi parametri o equivalente alle derivate parziali rispetto a queste variabili) e coprendo queste grecheriduce il rischio causato dalla natura variabile di questi parametri. Tuttavia, altri difetti non possono essere eliminati modificando il modello, in particolare il rischio di coda e il rischio di liquidità, e invece sono gestiti al di fuori del modello, principalmente riducendo al minimo questi rischi e prove di stress.
Modellazione esplicita
Modellazione esplicita: questa funzione significa che invece di assumere la volatilità a priori e calcolarne i prezzi, puoi utilizzare un modello per determinare la volatilità che fornisce la volatilità implicita dell'opzione a determinati prezzi, orari e prezzi di esercizio. Risolvendo la volatilità su un dato insieme di durate e prezzi degli strike, è possibile costruire una superficie di volatilità implicita.
In questa applicazione del modello di Black-Scholes si ottiene una trasformazione delle coordinate dall'area del prezzo all'area della volatilità. Invece di quotare i prezzi delle opzioni in dollari per unità (che sono difficili da confrontare in base a strike, durate e frequenze delle cedole), i prezzi delle opzioni possono essere quotati in termini di volatilità implicita, portando al trading di volatilità nei mercati delle opzioni.
