Ogni studente sa che il quadrato dell'ipotenusa è sempre uguale alla somma delle gambe, ognuna delle quali è al quadrato. Questa affermazione è chiamata teorema di Pitagora. È uno dei teoremi più famosi della trigonometria e della matematica in generale. Consideralo in modo più dettagliato.
Il concetto di triangolo rettangolo
Prima di procedere a considerare il teorema di Pitagora, in cui il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma delle gambe che sono al quadrato, dovremmo considerare il concetto e le proprietà di un triangolo rettangolo, per cui il teorema è valido.
Il triangolo è una figura piatta con tre angoli e tre lati. Un triangolo rettangolo, come suggerisce il nome, ha un angolo retto, cioè questo angolo è 90o.
Dalle proprietà generali di tutti i triangoli, è noto che la somma di tutti e tre gli angoli di questa figura è 180o, il che significa che per un triangolo rettangolo la somma di due angoli non retti, è 180o -90o=90o. L'ultimo fatto significa che qualsiasi angolo in un triangolo rettangolo che non sia un angolo retto sarà sempre inferiore a 90o.
Il lato opposto all'angolo retto è chiamato ipotenusa. Gli altri due lati sono le gambe del triangolo, possono essere uguali tra loro o possono differire. È noto dalla trigonometria che maggiore è l'angolo rispetto al quale un lato giace in un triangolo, maggiore è la lunghezza di questo lato. Ciò significa che in un triangolo rettangolo l'ipotenusa (si trova di fronte all'angolo 90o) sarà sempre maggiore di qualsiasi gamba (si trova di fronte agli angoli < 90o).
Notazione matematica del teorema di Pitagora
Questo teorema dice che il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma delle gambe, ciascuna delle quali è stata precedentemente al quadrato. Per scrivere questa formulazione matematicamente, si consideri un triangolo rettangolo in cui i lati a, b e c sono rispettivamente le due gambe e l'ipotenusa. In questo caso il teorema, che si afferma come il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe, può essere rappresentato dalla seguente formula: c2=a 2 + b 2. Da qui si possono ottenere altre formule importanti per la pratica: a=√(c2 - b2), b=√(c 2 - a2) e c=√(a2 + b2).
Si noti che nel caso di un triangolo equilatero rettangolo, cioè a=b, la formulazione: il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma delle gambe, ciascuna delle qualial quadrato, scritto matematicamente come: c2=a2 + b2=2a 2, che implica l'uguaglianza: c=a√2.
Sfondo storico
Il teorema di Pitagora, che dice che il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma delle gambe, ciascuna delle quali è al quadrato, era noto molto prima che il famoso filosofo greco vi prestasse attenzione. Molti papiri dell'antico Egitto, così come tavolette d'argilla dei babilonesi, confermano che questi popoli usavano la nota proprietà dei lati di un triangolo rettangolo. Ad esempio, una delle prime piramidi egizie, la Piramide di Chefren, la cui costruzione risale al 26° secolo aC (2000 anni prima della vita di Pitagora), fu costruita sulla base della conoscenza delle proporzioni in un triangolo rettangolo 3x4x5.
Perché allora il teorema ora prende il nome da un greco? La risposta è semplice: Pitagora è il primo a dimostrare matematicamente questo teorema. Gli scritti babilonesi ed egizi sopravvissuti ne menzionano solo l'uso, ma non forniscono alcuna prova matematica.
Si ritiene che Pitagora abbia dimostrato il teorema in esame utilizzando le proprietà di triangoli simili, che ottenne tracciando un' altezza in un triangolo rettangolo dall'angolo 90o a l'ipotenusa.
Un esempio di utilizzo del teorema di Pitagora
Considera un semplice problema: è necessario determinare la lunghezza di una scala inclinata L, se si sa che ha un' altezza H=3metri, e la distanza dal muro contro il quale la scala poggia al suo piede è P=2,5 metri.
In questo caso, H e P sono le gambe e L è l'ipotenusa. Poiché la lunghezza dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe, otteniamo: L2=H2 + P 2, da cui L=√(H2 + P2)=√(3 2 + 2, 5 2)=3.905 metri o 3 metri e 90.5 cm.
