La funzione e lo studio delle sue caratteristiche è uno dei capitoli chiave della matematica moderna. Il componente principale di qualsiasi funzione sono i grafici che descrivono non solo le sue proprietà, ma anche i parametri della derivata di questa funzione. Diamo un'occhiata a questo argomento delicato. Allora qual è il modo migliore per trovare i punti massimo e minimo di una funzione?
Funzione: Definizione
Qualsiasi variabile che dipende in qualche modo dai valori di un altro valore può essere chiamata funzione. Ad esempio, la funzione f(x2) è quadratica e determina i valori per l'intero insieme x. Diciamo che x=9, allora il valore della nostra funzione sarà uguale a 92=81.
Le funzioni sono di diversi tipi: logiche, vettoriali, logaritmiche, trigonometriche, numeriche e altre. Menti eccezionali come Lacroix, Lagrange, Leibniz e Bernoulli erano impegnate nel loro studio. I loro scritti fungono da baluardo nei modi moderni di studiare le funzioni. Prima di trovare i punti minimi, è molto importante capire il significato stesso della funzione e della sua derivata.
La derivata e il suo ruolo
Tutte le funzioni sono attivea seconda dei loro valori variabili, il che significa che possono cambiare il loro valore in qualsiasi momento. Sul grafico, questo sarà rappresentato come una curva che scende o sale lungo l'asse y (questo è l'intero insieme di numeri "y" lungo la verticale del grafico). E così la definizione di un punto di un massimo e di un minimo di funzione è proprio collegata a queste "oscillazioni". Spieghiamo cos'è questa relazione.
La derivata di qualsiasi funzione viene tracciata su un grafico per studiarne le caratteristiche principali e calcolare la velocità con cui la funzione cambia (cioè cambia il suo valore a seconda della variabile "x"). Nel momento in cui la funzione aumenta, aumenterà anche il grafico della sua derivata, ma da un momento all' altro la funzione potrebbe iniziare a diminuire, quindi il grafico della derivata diminuirà. I punti in cui la derivata va da meno a più sono detti punti di minimo. Per sapere come trovare i punti minimi, dovresti capire meglio il concetto di derivata.
Come calcolare la derivata?
Definire e calcolare la derivata di una funzione implica diversi concetti del calcolo differenziale. In generale, la definizione stessa di derivata può essere espressa come segue: questo è il valore che mostra il tasso di variazione della funzione.
Il modo matematico per determinarlo per molti studenti sembra complicato, ma in re altà è tutto molto più semplice. Devi solo seguirepiano standard per trovare la derivata di qualsiasi funzione. Di seguito viene descritto come trovare il punto minimo di una funzione senza applicare le regole di differenziazione e senza memorizzare la tabella delle derivate.
- Puoi calcolare la derivata di una funzione usando un grafico. Per fare ciò, è necessario rappresentare la funzione stessa, quindi prendere un punto su di essa (punto A in Fig.) Disegnare una linea verticalmente fino all'asse delle ascisse (punto x0) e nel punto A tracciare una tangente al grafico funzionale. L'asse delle ascisse e la tangente formano un angolo a. Per calcolare il valore di quanto velocemente la funzione aumenta, devi calcolare la tangente di questo angolo a.
- Risulta che la tangente dell'angolo tra la tangente e la direzione dell'asse x è la derivata della funzione in una piccola area con punto A. Questo metodo è considerato un modo geometrico per determinare la derivata.
Metodi di ricerca di una funzione
Nel curriculum scolastico di matematica, è possibile trovare il punto minimo di una funzione in due modi. Abbiamo già analizzato il primo metodo utilizzando il grafico, ma come determinare il valore numerico della derivata? Per fare ciò, dovrai imparare diverse formule che descrivono le proprietà della derivata e aiutano a convertire variabili come "x" in numeri. Il seguente metodo è universale, quindi può essere applicato a quasi tutti i tipi di funzioni (sia geometriche che logaritmiche).
- È necessario equiparare la funzione alla funzione derivata, quindi semplificare l'espressione usando le regoledifferenziazione.
- dividere per zero).
- Dopodiché, dovresti convertire la forma originale della funzione in una semplice equazione, uguagliando l'intera espressione a zero. Ad esempio, se la funzione aveva questo aspetto: f(x)=2x3+38x, secondo le regole di differenziazione, la sua derivata è uguale a f'(x)=3x 2 +1. Quindi trasformiamo questa espressione in un'equazione della forma seguente: 3x2+1=0.
- Dopo aver risolto l'equazione e aver trovato i punti "x", dovresti disegnarli sull'asse x e determinare se la derivata in queste aree tra i punti contrassegnati è positiva o negativa. Dopo la designazione, diventerà chiaro a che punto la funzione inizia a diminuire, cioè cambia segno da meno a opposto. È in questo modo che puoi trovare sia il punteggio minimo che quello massimo.
Regole di differenziazione
La parte più basilare dell'apprendimento di una funzione e delle sue derivate è conoscere le regole di differenziazione. Solo con il loro aiuto è possibile trasformare espressioni ingombranti e grandi funzioni complesse. Facciamo conoscenza con loro, ce ne sono parecchi, ma sono tutti molto semplici a causa delle proprietà regolari sia della potenza che delle funzioni logaritmiche.
- La derivata di qualsiasi costante è zero (f(x)=0). Cioè, la derivata f(x)=x5+ x - 160 assumerà la seguente forma: f' (x)=5x4+1.
- La derivata della somma di due termini: (f+w)'=f'w + fw'.
- Derivata di una funzione logaritmica: (logad)'=d/ln ad. Questa formula si applica a tutti i tipi di logaritmi.
- Derivato del grado: (x)'=nxn-1. Ad esempio, (9x2)'=92x=18x.
- Derivata di una funzione sinusoidale: (sin a)'=cos a. Se il peccato dell'angolo a è 0,5, allora la sua derivata è √3/2.
Punti estremi
Abbiamo già capito come trovare i punti minimi, tuttavia esiste il concetto di punti massimi di una funzione. Se il minimo indica quei punti in cui la funzione va da meno a più, i punti massimi sono quei punti sull'asse x in cui la derivata della funzione cambia da più a opposto - meno.
Puoi trovare i punti massimi usando il metodo sopra descritto, solo che va tenuto presente che denotano quelle aree in cui la funzione inizia a diminuire, cioè la derivata sarà inferiore a zero.
In matematica, è consuetudine generalizzare entrambi i concetti, sostituendoli con la frase "punti estremi". Quando l'attività chiede di determinare questi punti, significa che è necessario calcolare la derivata di questa funzione e trovare i punti minimo e massimo.
