Lo studio delle funzioni e dei loro grafici è un argomento a cui viene data particolare attenzione nell'ambito del curriculum delle scuole superiori. Alcune nozioni di base dell'analisi matematica - differenziazione - sono incluse nel livello del profilo dell'esame di matematica. Alcuni scolari hanno problemi con questo argomento, poiché confondono i grafici della funzione e della derivata e dimenticano anche gli algoritmi. Questo articolo tratterà i principali tipi di attività e come risolverli.
Qual è il valore della funzione?
Una funzione matematica è un'equazione speciale. Stabilisce una relazione tra i numeri. La funzione dipende dal valore dell'argomento.
Il valore della funzione viene calcolato secondo la formula data. Per fare ciò, sostituisci qualsiasi argomento che corrisponda all'intervallo di valori validi in questa formula al posto di x ed esegui le necessarie operazioni matematiche. Cosa?
Come puoi trovare il valore più piccolo di una funzione,usando una funzione grafica?
La rappresentazione grafica della dipendenza di una funzione da un argomento è chiamata grafico di funzione. È costruito su un piano con un determinato segmento unitario, dove il valore di una variabile o di un argomento è tracciato lungo l'asse delle ascisse orizzontali e il valore della funzione corrispondente lungo l'asse delle ordinate verticali.
Maggiore è il valore dell'argomento, più si trova a destra sul grafico. E maggiore è il valore della funzione stessa, maggiore è il punto.
Cosa dice questo? Il valore più piccolo della funzione sarà il punto più basso del grafico. Per trovarlo su un segmento del grafico, hai bisogno di:
1) Trova e segna le estremità di questo segmento.
2) Determina visivamente quale punto di questo segmento si trova più in basso.
3) In risposta, annota il suo valore numerico, che può essere determinato proiettando un punto sull'asse y.
Punti estremi sul grafico delle derivate. Dove cercare?
Tuttavia, quando si risolvono problemi, a volte viene fornito un grafico non di una funzione, ma della sua derivata. Per evitare di commettere uno stupido errore, è meglio leggere attentamente le condizioni, poiché dipende da dove devi cercare i punti estremi.
Quindi, la derivata è il tasso di incremento istantaneo della funzione. Secondo la definizione geometrica, la derivata corrisponde alla pendenza della tangente, che è diretta direttamente al punto dato.
È noto che nei punti estremi la tangente è parallela all'asse del Bue. Ciò significa che la sua pendenza è 0.
Da ciò possiamo concludere che nei punti estremi la derivata giace sull'asse x o svanisce. Ma in aggiunta, in questi punti, la funzione cambia direzione. Cioè, dopo un periodo di aumento, inizia a diminuire e il derivato, di conseguenza, cambia da positivo a negativo. O viceversa.
Se la derivata diventa negativa da positiva, questo è il punto massimo. Se da negativo diventa positivo - il punto minimo.
Importante: se devi specificare un punto minimo o massimo nell'attività, allora in risposta dovresti scrivere il valore corrispondente lungo l'asse delle ascisse. Ma se hai bisogno di trovare il valore della funzione, devi prima sostituire il valore corrispondente dell'argomento nella funzione e calcolarlo.
Come trovare punti estremi usando la derivata?
Gli esempi considerati si riferiscono principalmente al compito numero 7 dell'esame, che prevede di lavorare con un grafico di una derivata o di un'antiderivata. Ma il compito 12 dell'USE - trovare il valore più piccolo di una funzione su un segmento (a volte il più grande) - viene eseguito senza disegni e richiede competenze di base nell'analisi matematica.
Per eseguirlo, devi essere in grado di trovare punti estremi usando la derivata. L'algoritmo per trovarli è il seguente:
- Trova la derivata di una funzione.
- Impostalo a zero.
- Trova le radici dell'equazione.
- Controlla se i punti ottenuti sono punti estremi o di flesso.
Per fare ciò, disegna un diagramma e così viagli intervalli risultanti determinano i segni della derivata sostituendo nella derivata i numeri appartenenti ai segmenti. Se, risolvendo l'equazione, hai radici di doppia molteplicità, questi sono punti di flesso.
Applicando i teoremi, determina quali punti sono minimi e quali massimi
Calcola il valore più piccolo di una funzione usando una derivata
Tuttavia, dopo aver eseguito tutte queste azioni, troveremo i valori dei punti minimo e massimo lungo l'asse x. Ma come trovare il valore più piccolo di una funzione su un segmento?
Cosa bisogna fare per trovare il numero che corrisponde alla funzione in un punto particolare? Devi sostituire il valore dell'argomento in questa formula.
I punti di minimo e massimo corrispondono al valore più piccolo e più grande della funzione sul segmento. Quindi, per trovare il valore della funzione, devi calcolare la funzione usando i valori x ottenuti.
Importante! Se l'attività richiede di specificare un punto minimo o massimo, in risposta dovresti scrivere il valore corrispondente lungo l'asse x. Ma se hai bisogno di trovare il valore della funzione, devi prima sostituire il valore corrispondente dell'argomento nella funzione ed eseguire le operazioni matematiche necessarie.
Cosa devo fare se non ci sono minimi in questo segmento?
Ma come trovare il valore più piccolo di una funzione su un segmento senza punti estremi?
Ciò significa che la funzione diminuisce o aumenta in modo monotono su di essa. Quindi è necessario sostituire il valore dei punti estremi di questo segmento nella funzione. Ci sono due modi.
1) Dopo aver calcolatoderivata e gli intervalli su cui è positiva o negativa, per concludere se la funzione è decrescente o crescente su un dato segmento.
In accordo con loro, sostituisci un valore maggiore o minore dell'argomento nella funzione.
2) Sostituisci semplicemente entrambi i punti nella funzione e confronta i valori della funzione risultanti.
In quali compiti trovare la derivata è facoltativo
Di norma, negli incarichi USE, devi comunque trovare la derivata. Ci sono solo un paio di eccezioni.
1) Parabola.
Il vertice della parabola si trova dalla formula.
Se a < 0, i rami della parabola sono diretti verso il basso. E il suo picco è il punto massimo.
Se a > 0, allora i rami della parabola sono diretti verso l' alto, il vertice è il punto minimo.
Dopo aver calcolato il punto vertice della parabola, dovresti sostituirne il valore nella funzione e calcolare il valore corrispondente della funzione.
2) Funzione y=tg x. Oppure y=ctg x.
Queste funzioni stanno aumentando in modo monotono. Pertanto, maggiore è il valore dell'argomento, maggiore è il valore della funzione stessa. Successivamente, vedremo come trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione su un segmento con esempi.
Tipi principali di attività
Task: il valore più grande o più piccolo della funzione. Esempio sul grafico.
Nella figura si vede il grafico della derivata della funzione f (x) sull'intervallo [-6; 6]. A che punto del segmento [-3; 3] f(x) assume il valore più piccolo?
Quindi, per cominciare, dovresti selezionare il segmento specificato. Su di esso, la funzione assume una volta un valore zero e cambia segno: questo è il punto estremo. Poiché la derivata da negativo diventa positiva, significa che questo è il punto minimo della funzione. Questo punto corrisponde al valore dell'argomento 2.
Risposta: 2.
Continua a guardare gli esempi. Compito: trova il valore più grande e più piccolo della funzione sul segmento.
Trova il valore più piccolo della funzione y=(x - 8) ex-7 sull'intervallo [6; 8].
1. Prendi la derivata di una funzione complessa.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Uguaglia la derivata risultante a zero e risolvi l'equazione.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, o ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, nessuna radice
3. Sostituisci il valore dei punti estremi nella funzione, così come le radici ottenute dell'equazione.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Risposta: -1.
Quindi, in questo articolo, è stata considerata la teoria principale su come trovare il valore più piccolo di una funzione su un segmento, che è necessario per risolvere con successo compiti USE in matematica specializzata. Anche elementi di matematicale analisi vengono utilizzate quando si risolvono i compiti della parte C dell'esame, ma ovviamente rappresentano un diverso livello di complessità e gli algoritmi per le loro soluzioni sono difficili da inserire nella struttura di un materiale.
