Un'ampia gamma di relazioni sull'esempio degli insiemi è accompagnata da un gran numero di concetti, a partire dalle loro definizioni e termina con un'analisi analitica dei paradossi. La varietà del concetto discusso nell'articolo sul set è infinita. Anche se, quando si parla di tipi duali, ciò significa relazioni binarie tra diversi valori. E anche tra oggetti o affermazioni.
Di norma, le relazioni binarie sono denotate dal simbolo R, cioè se xRx per qualsiasi valore x del campo R, tale proprietà è detta riflessiva, in cui x e x sono oggetti di pensiero accettati, e R serve come segno di se o altra forma di relazione tra individui. Allo stesso tempo, se esprimi xRy® o yRx, allora questo indica uno stato di simmetria, dove ® è un segno di implicazione simile all'unione "se … allora … ". E, infine, la decodifica del iscrizione (xRy Ùy Rz) ®xRz parla di una relazione transitiva e il segno Ù è una congiunzione.
Una relazione binaria che è sia riflessiva, simmetrica e transitiva è chiamata relazione di equivalenza. La relazione f è una funzione e l'uguaglianza y=z segue da Îf e Îf. Una semplice funzione binaria può essere facilmente applicataa due semplici argomenti in un certo ordine, e solo in questo caso gli fornisce un significato diretto a queste due espressioni prese in un caso particolare.
Va detto che f associa x a y,
se f è una funzione con intervallo x e intervallo y. Tuttavia, quando f estrapola x in y e y Í z, ciò fa sì che f mostri x in z. Un semplice esempio: se f(x)=2x è vero per qualsiasi intero x, allora si dice che f mappi l'insieme con segno di tutti gli interi conosciuti all'insieme degli stessi interi, ma questa volta numeri pari. Come accennato in precedenza, le relazioni binarie che sono sia riflessive, simmetriche che transitive sono relazioni di equivalenza.
In base a quanto sopra, le relazioni di equivalenza delle relazioni binarie sono determinate dalle proprietà:
- riflessività - rapporto (M ~ N);
- simmetrie - se l'uguaglianza è M ~ N, allora ci saranno N ~ M;
- transitività - se due uguaglianze M ~ N e N ~ P, di conseguenza M ~ P.
Consideriamo più in dettaglio le proprietà dichiarate delle relazioni binarie. La riflessività è una delle caratteristiche di certe connessioni, dove ogni elemento dell'insieme studiato è in una data uguaglianza con se stesso. Ad esempio, tra i numeri a=c e a³ c esistono connessioni riflessive, poiché sempre a=a, c=c, a³ a, c³ c. Allo stesso tempo, la relazione della disuguaglianza a>c è antiriflessiva per l'impossibilità dell'esistenza della disuguaglianza a>a. L'assioma di questa proprietà è codificato dai segni: aRc®aRa Ù cRc, qui il simbolo ® significa la parola "coinvolge" (o "implica"), e il segno Ù - è l'unione "e" (o congiunzione). Ne consegue che se il giudizio aRc è vero, sono vere anche le espressioni aRa e cRc.
La simmetria comporta la presenza di una relazione anche se gli oggetti mentali sono interscambiati, cioè con una relazione simmetrica, il riarrangiamento degli oggetti non porta ad una trasformazione del tipo "relazioni binarie". Ad esempio, la relazione di uguaglianza a=c è simmetrica a causa dell'equivalenza della relazione c=a; la proposizione a¹c è anche la stessa, poiché corrisponde alla connessione con¹a.
Un insieme transitivo è una proprietà che soddisfa il seguente requisito: y н x, z н y ® z н x, dove ® è un segno che sostituisce le parole: "se …, allora …". La formula si legge verbalmente come segue: "Se y dipende da x, z appartiene a y, allora z dipende anche da x".
