La teoria della probabilità è una branca speciale della matematica, studiata solo dagli studenti degli istituti di istruzione superiore. Ami i calcoli e le formule? Non hai paura delle prospettive di conoscenza della distribuzione normale, dell'entropia dell'insieme, dell'aspettativa matematica e della varianza di una variabile casuale discreta? Allora questo argomento sarà di grande interesse per te. Facciamo conoscenza con alcuni dei concetti base più importanti di questa sezione della scienza.
Richiama le basi
Anche se ricordi i concetti più semplici della teoria della probabilità, non trascurare i primi paragrafi dell'articolo. Il fatto è che senza una chiara comprensione delle basi, non sarai in grado di lavorare con le formule discusse di seguito.
Quindi, c'è qualche evento casuale, qualche esperimento. Come risultato delle azioni eseguite, possiamo ottenere diversi risultati: alcuni sono più comuni, altri meno comuni. La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di esiti effettivamente ricevuti di un tipo e il numero totale di quelli possibili. Solo conoscendo la definizione classica di questo concetto, puoi iniziare a studiare l'aspettativa matematica e la varianza del continuovariabili casuali.
Media aritmetica
Anche a scuola, nelle lezioni di matematica, hai iniziato a lavorare con la media aritmetica. Questo concetto è ampiamente utilizzato nella teoria della probabilità e quindi non può essere ignorato. La cosa principale per noi al momento è che lo incontreremo nelle formule per l'aspettativa matematica e la varianza di una variabile casuale.
Abbiamo una sequenza di numeri e vogliamo trovare la media aritmetica. Tutto ciò che ci viene richiesto è sommare tutto ciò che è disponibile e dividerlo per il numero di elementi nella sequenza. Abbiamo numeri da 1 a 9. La somma degli elementi sarà 45 e divideremo questo valore per 9. Risposta: - 5.
Dispersione
Scientificamente parlando, la varianza è il quadrato medio delle deviazioni dei valori delle caratteristiche ottenuti dalla media aritmetica. Uno è indicato da una lettera latina maiuscola D. Cosa è necessario per calcolarlo? Per ogni elemento della sequenza calcoliamo la differenza tra il numero disponibile e la media aritmetica e la quadramo. Ci saranno esattamente tanti valori quanti possono essere i risultati per l'evento che stiamo considerando. Successivamente, riassumiamo tutto ciò che abbiamo ricevuto e dividiamo per il numero di elementi nella sequenza. Se abbiamo cinque possibili risultati, allora dividi per cinque.
La dispersione ha anche proprietà che devi ricordare per applicarla quando risolvi i problemi. Ad esempio, se la variabile casuale viene aumentata di X volte, la varianza aumenta di X volte il quadrato (cioè XX). Non è mai inferiore a zero e non dipende daspostando i valori di un valore uguale verso l' alto o verso il basso. Inoltre, per le prove indipendenti, la varianza della somma è uguale alla somma delle varianze.
Ora dobbiamo assolutamente considerare esempi della varianza di una variabile casuale discreta e dell'aspettativa matematica.
Supponiamo di aver eseguito 21 esperimenti e ottenuto 7 risultati diversi. Abbiamo osservato ciascuno di essi, rispettivamente, 1, 2, 2, 3, 4, 4 e 5 volte. Quale sarà la varianza?
In primo luogo, calcoliamo la media aritmetica: la somma degli elementi, ovviamente, è 21. Dividilo per 7, ottenendo 3. Ora sottrai 3 da ogni numero nella sequenza originale, quadra ogni valore e aggiungi i risultati insieme. Risulta 12. Ora ci resta da dividere il numero per il numero di elementi e, sembrerebbe, questo è tutto. Ma c'è un problema! Discutiamone.
Dipende dal numero di esperimenti
Risulta che quando si calcola la varianza, il denominatore può essere uno di due numeri: N o N-1. Qui N è il numero di esperimenti eseguiti o il numero di elementi nella sequenza (che, in effetti, è lo stesso). Da cosa dipende?
Se il numero di test è misurato in centinaia, allora dobbiamo mettere al denominatore N. Se in unità, allora N-1. Gli scienziati hanno deciso di disegnare il confine in modo abbastanza simbolico: oggi corre lungo il numero 30. Se abbiamo condotto meno di 30 esperimenti, divideremo l'importo per N-1 e, se di più, per N.
Compito
Torniamo al nostro esempio di risoluzione del problema di varianza e aspettativa. Noiha ricevuto un numero intermedio di 12, che doveva essere diviso per N o N-1. Poiché abbiamo condotto 21 esperimenti, che sono meno di 30, sceglieremo la seconda opzione. Quindi la risposta è: la varianza è 12 / 2=2.
Aspettativa
Passiamo al secondo concetto, che dobbiamo considerare in questo articolo. L'aspettativa matematica è il risultato della somma di tutti i possibili risultati moltiplicati per le probabilità corrispondenti. È importante capire che il valore risultante, così come il risultato del calcolo della varianza, si ottiene solo una volta per l'intera attività, indipendentemente dal numero di risultati considerati.
La formula dell'aspettativa è abbastanza semplice: prendiamo un risultato, lo moltiplichiamo per la sua probabilità, aggiungiamo lo stesso per il secondo, terzo risultato, ecc. Tutto ciò che riguarda questo concetto è facile da calcolare. Ad esempio, la somma delle aspettative matematiche è uguale all'aspettativa matematica della somma. Lo stesso vale per il lavoro. Non tutte le quantità nella teoria della probabilità consentono di eseguire operazioni così semplici. Prendiamo un compito e calcoliamo il valore di due concetti che abbiamo studiato contemporaneamente. Inoltre, siamo stati distratti dalla teoria: è ora di esercitarci.
Un altro esempio
Abbiamo eseguito 50 prove e ottenuto 10 tipi di risultati - numeri da 0 a 9 - visualizzati in percentuali diverse. Questi sono rispettivamente: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Ricordiamo che per ottenere le probabilità, è necessario dividere i valori percentuali per 100. Quindi, otteniamo 0,02; 0, 1, ecc. Rappresentiamo per la varianza di un casualeesempio di valore e aspettativa matematica per risolvere il problema.
Calcola la media aritmetica usando la formula che ricordiamo dalle elementari: 50/10=5.
Ora traduciamo le probabilità nel numero di risultati "in pezzi" per facilitare il conteggio. Otteniamo 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 e 9. Sottrarre la media aritmetica da ogni valore ottenuto, dopodiché quadrare ciascuno dei risultati ottenuti. Guarda come farlo usando il primo elemento come esempio: 1 - 5=(-4). Inoltre: (-4)(-4)=16. Per altri valori, eseguire queste operazioni da soli. Se hai fatto tutto bene, dopo aver aggiunto tutti i risultati intermedi otterrai 90.
Continua a calcolare varianza e media dividendo 90 per N. Perché scegliamo N e non N-1? Esatto, perché il numero di esperimenti eseguiti supera 30. Quindi: 90/10=9. Abbiamo ottenuto la dispersione. Se ottieni un numero diverso, non disperare. Molto probabilmente, hai commesso un errore banale nei calcoli. Ricontrolla ciò che hai scritto e tutto andrà sicuramente a posto.
Ricordiamo infine la formula dell'aspettativa. Non daremo tutti i calcoli, scriveremo solo la risposta con cui potrai verificare dopo aver completato tutte le procedure richieste. L'aspettativa sarà pari a 5, 48. Ricordiamo solo come eseguire le operazioni, usando l'esempio dei primi elementi: 00, 02 + 10, 1… e così via. Come puoi vedere, moltiplichiamo semplicemente il valore del risultato per la sua probabilità.
Deviazione
Un altro concetto strettamente correlato alla varianza e al valore atteso èdeviazione standard. È indicato o dalle lettere latine sd, o dal greco minuscolo "sigma". Questo concetto mostra come, in media, i valori si discostino dalla caratteristica centrale. Per trovarne il valore, devi calcolare la radice quadrata della varianza.
Se costruisci un grafico di una distribuzione normale e vuoi vedere il valore della deviazione standard direttamente su di esso, questo può essere fatto in più fasi. Prendi metà dell'immagine a sinistra oa destra della modalità (valore centrale), disegna una perpendicolare all'asse orizzontale in modo che le aree delle figure risultanti siano uguali. Il valore del segmento tra il centro della distribuzione e la proiezione risultante sull'asse orizzontale sarà la deviazione standard.
Software
Come puoi vedere dalle descrizioni delle formule e dagli esempi presentati, calcolare la varianza e l'aspettativa matematica non è la procedura più semplice da un punto di vista aritmetico. Per non perdere tempo, ha senso utilizzare il programma utilizzato nell'istruzione superiore: si chiama "R". Ha funzioni che ti consentono di calcolare i valori per molti concetti dalla statistica e dalla teoria della probabilità.
Ad esempio, definisci un vettore di valori. Questo viene fatto come segue: vettore <-c(1, 5, 2…). Ora, quando devi calcolare alcuni valori per questo vettore, scrivi una funzione e la dai come argomento. Per trovare la varianza, dovrai usare la var. Un suo esempioutilizzo: var(vettore). Quindi premi semplicemente "invio" e ottieni il risultato.
In conclusione
Varianza e aspettativa matematica sono i concetti base della teoria della probabilità, senza i quali è difficile calcolare qualcosa in futuro. Nel corso principale delle lezioni nelle università, sono considerati già nei primi mesi di studio della materia. È proprio a causa della mancanza di comprensione di questi semplici concetti e dell'incapacità di calcolarli che molti studenti iniziano immediatamente a rimanere indietro nel programma e successivamente ricevono voti bassi alla fine della sessione, il che li priva di borse di studio.
Esercitati almeno una settimana per mezz'ora al giorno, risolvendo problemi simili a quelli presentati in questo articolo. Quindi in qualsiasi test di teoria della probabilità affronterai esempi senza suggerimenti e trucchi estranei.
