L'importanza delle variabili in matematica è grande, perché durante la sua esistenza, gli scienziati sono riusciti a fare molte scoperte in quest'area, e per affermare brevemente e chiaramente questo o quel teorema, usiamo le variabili per scrivere le formule corrispondenti. Ad esempio, il teorema di Pitagora su un triangolo rettangolo: a2 =b2 + c2. Come scrivere ogni volta quando si risolve un problema: secondo il teorema di Pitagora, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe - lo scriviamo con una formula e tutto diventa subito chiaro.
Quindi, questo articolo discuterà quali sono le variabili, i loro tipi e proprietà. Verranno inoltre prese in considerazione varie espressioni matematiche: disuguaglianze, formule, sistemi e algoritmi per la loro soluzione.
Concetto variabile
Prima di tutto, cos'è una variabile? Questo è un valore numerico che può assumere molti valori. Non può essere costante, poiché in diversi problemi ed equazioni, per comodità, prendiamo soluzioni comevariabile numeri diversi, ovvero, ad esempio, z è una designazione generale per ciascuna delle quantità per cui viene presa. Di solito sono indicati da lettere dell'alfabeto latino o greco (x, y, a, b e così via).
Ci sono diversi tipi di variabili. Hanno impostato sia alcune quantità fisiche - percorso (S), tempo (t) che semplicemente valori sconosciuti in equazioni, funzioni e altre espressioni.
Ad esempio, esiste una formula: S=Vt. Qui, le variabili denotano determinate quantità relative al mondo reale: il percorso, la velocità e il tempo.
E c'è un'equazione della forma: 3x - 16=12x. Qui x è già considerato un numero astratto che ha senso in questa notazione.
Tipi di quantità
Importo significa qualcosa che esprime le proprietà di un determinato oggetto, sostanza o fenomeno. Ad esempio, temperatura dell'aria, peso di un animale, percentuale di vitamine in una compressa: queste sono tutte quantità i cui valori numerici possono essere calcolati.
Ogni grandezza ha le proprie unità di misura, che insieme formano un sistema. Si chiama sistema numerico (SI).
Cosa sono variabili e costanti? Considerali con esempi specifici.
Facciamo un moto rettilineo uniforme. Un punto nello spazio si muove ogni volta alla stessa velocità. Cioè, il tempo e la distanza cambiano, ma la velocità rimane la stessa. In questo esempio, il tempo e la distanza sono variabili e la velocità è costante.
O, ad esempio, “pi”. Questo è un numero irrazionale che continua senza ripetersiuna sequenza di cifre e non può essere scritta per intero, quindi in matematica è espressa da un simbolo generalmente accettato che assume solo il valore di una data frazione infinita. Cioè, "pi" è un valore costante.
Cronologia
La storia della notazione delle variabili inizia nel XVII secolo con lo scienziato René Descartes.
Ha designato i valori conosciuti con le prime lettere dell'alfabeto: a, b e così via, e per l'ignoto ha suggerito di usare le ultime lettere: x, y, z. È interessante notare che Cartesio considerava tali variabili come numeri non negativi e, di fronte a parametri negativi, metteva un segno meno davanti alla variabile o, se non si conosceva il segno del numero, un'ellissi. Ma nel tempo, i nomi delle variabili hanno cominciato a denotare numeri di qualsiasi segno, e questo è iniziato con il matematico Johann Hudde.
Con le variabili, i calcoli in matematica sono più facili da risolvere, perché, ad esempio, come risolviamo ora le equazioni biquadratiche? Inseriamo una variabile. Ad esempio:
x4 + 15x2 + 7=0
Per x2 prendiamo qualche k e l'equazione diventa chiara:
x2=k, per k ≧ 0
k2 + 15k + 7=0
Questo è ciò che porta alla matematica l'introduzione delle variabili.
Disuguaglianze, esempi di soluzioni
Una disuguaglianza è un record in cui due espressioni matematiche o due numeri sono collegati da segni di confronto:, ≦, ≧. Sono severi e sono indicati da segni o non severi con segni ≦, ≧.
Per la prima volta sono stati introdotti questi segniTommaso Harriot. Dopo la morte di Thomas, il suo libro con queste annotazioni fu pubblicato, piacquero ai matematici e nel tempo divennero ampiamente utilizzate nei calcoli matematici.
Ci sono diverse regole da seguire quando si risolvono le disuguaglianze di una singola variabile:
- Quando trasferisci un numero da una parte all' altra della disuguaglianza, cambia il suo segno nell'opposto.
- Quando si moltiplicano o si dividono parti di una disuguaglianza per un numero negativo, i loro segni sono invertiti.
- Se moltiplichi o dividi entrambi i membri della disuguaglianza per un numero positivo, ottieni una disuguaglianza uguale a quella originale.
Risolvere una disuguaglianza significa trovare tutti i valori validi per una variabile.
Esempio di variabile singola:
10x - 50 > 150
Lo risolviamo come una normale equazione lineare - spostiamo i termini con una variabile a sinistra, senza una variabile - a destra e diamo termini simili:
10x > 200
Dividiamo entrambi i lati della disuguaglianza per 10 e otteniamo:
x > 20
Per chiarezza, nell'esempio di risoluzione di una disuguaglianza con una variabile, traccia una linea numerica, segna su di essa il punto trafitto 20, poiché la disuguaglianza è rigorosa e questo numero non è incluso nell'insieme delle sue soluzioni.
La soluzione a questa disuguaglianza è l'intervallo (20; +∞).
La soluzione di una disuguaglianza non rigorosa viene eseguita allo stesso modo di una rigorosa:
6x - 12 ≧ 18
6x ≧ 30
x ≧ 5
Ma c'è un'eccezione. Un record della forma x ≧ 5 deve essere inteso come segue: x è maggiore o uguale a cinque, il che significail numero cinque è compreso nell'insieme di tutte le soluzioni alla disuguaglianza, cioè quando scriviamo la risposta mettiamo una parentesi quadra davanti al numero cinque.
x ∈ [5; +∞)
Disequazioni quadrate
Se prendiamo un'equazione quadratica della forma ax2 + bx +c=0 e cambiamo il segno di uguale nel segno di disuguaglianza in essa, allora otterremo di conseguenza un disuguaglianza quadratica.
Per risolvere una disuguaglianza quadratica, devi essere in grado di risolvere equazioni quadratiche.
y=ax2 + bx + c è una funzione quadratica. Possiamo risolverlo usando il discriminante o usando il teorema di Vieta. Ricorda come vengono risolte queste equazioni:
1) y=x2 + 12x + 11 - la funzione è una parabola. I suoi rami sono diretti verso l' alto, poiché il segno del coefficiente "a" è positivo.
2) x2 + 12x + 11=0 - equivale a zero e risolvi usando il discriminante.
a=1, b=12, c=11
D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 radici
Secondo la formula delle radici dell'equazione quadratica, otteniamo:
x1 =-1, x2=-11
Oppure potresti risolvere questa equazione usando il teorema di Vieta:
x1 + x2 =-b/a, x1 + x 2=-12
x1x2 =c/a, x1x2=11
Utilizzando il metodo di selezione, otteniamo le stesse radici dell'equazione.
Parabola
Quindi, il primo modo per risolvere una disuguaglianza quadratica è una parabola. L'algoritmo per risolverlo è il seguente:
1. Determina dove sono diretti i rami della parabola.
2. Uguaglia la funzione a zero e trova le radici dell'equazione.
3. Costruiamo una linea numerica, segniamo le radici su di essa, disegniamo una parabola e troviamo lo spazio di cui abbiamo bisogno, a seconda del segno della disuguaglianza.
Risolvi la disuguaglianza x2 + x - 12 > 0
Scrivi come una funzione:
1) y=x2 + x - 12 - parabola, rami verso l' alto.
Imposta a zero.
2) x2 + x -12=0
Successivamente, risolviamo come equazione quadratica e troviamo gli zeri della funzione:
x1 =3, x2=-4
3) Disegna una linea numerica con i punti 3 e -4 su di essa. La parabola li attraverserà, si ramificherà e la risposta alla disuguaglianza sarà un insieme di valori positivi, cioè (-∞; -4), (3; +∞).
Metodo intervallo
Il secondo modo è il metodo di spaziatura. Algoritmo per risolverlo:
1. Trova le radici dell'equazione per cui la disuguaglianza è uguale a zero.
2. Li contrassegniamo sulla linea dei numeri. Pertanto, è diviso in diversi intervalli.
3. Determina il segno di qualsiasi intervallo.
4. Posizioniamo i segni agli intervalli rimanenti, cambiandoli dopo l'uno.
Risolvi la disuguaglianza (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0
1) Zeri di disuguaglianza: 4, 5 e -7.
2) Disegnali sulla linea dei numeri.
3) Determina i segni degli intervalli.
Risposta: (-∞; -7]; [4; 5].
Risolvi un' altra disuguaglianza: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0
1. Zeri di disuguaglianza: 0, 2, -2 e 1.
2. Segnali sulla linea dei numeri.
3. Determina i segni di intervallo.
La linea è divisa in intervalli: da -2 a 0, da 0 a 1, da 1 a 2.
Prende il valore sul primo intervallo - (-1). Sostituisci nella disuguaglianza. Con questo valore, la disuguaglianza diventa positiva, il che significa che il segno su questo intervallo sarà +.
Inoltre, partendo dal primo gap, sistemiamo i segni, cambiandoli dopo l'uno.
La disuguaglianza è maggiore di zero, cioè devi trovare un insieme di valori positivi sulla riga.
Risposta: (-2; 0), (1; 2).
Sistemi di equazioni
Un sistema di equazioni con due variabili è costituito da due equazioni unite da una parentesi graffa per cui è necessario trovare una soluzione comune.
I sistemi possono essere equivalenti se la soluzione generale di uno di essi è la soluzione dell' altro, o entrambi non hanno soluzioni.
Studieremo la soluzione di sistemi di equazioni con due variabili. Ci sono due modi per risolverli: il metodo di sostituzione o il metodo algebrico.
Metodo algebrico
Per risolvere il sistema mostrato nell'immagine usando questo metodo, devi prima moltiplicare una delle sue parti per un tale numero, in modo che in seguito puoi annullare reciprocamente una variabile da entrambe le parti dell'equazione. Qui moltiplichiamo per tre, tracciamo una linea sotto il sistema e sommiamo le sue parti. Di conseguenza, le x diventano identiche nel modulo, ma opposte nel segno, e le riduciamo. Successivamente, otteniamo un'equazione lineare con una variabile e la risolviamo.
Abbiamo trovato Y, ma non possiamo fermarci qui, perché non abbiamo ancora trovato X. SostituireY alla parte da cui sarà conveniente prelevare X, ad esempio:
-x + 5y=8, con y=1
-x + 5=8
Risolvi l'equazione risultante e trova x.
-x=-5 + 8
-x=3
x=-3
La cosa principale nella soluzione del sistema è scrivere la risposta correttamente. Molti studenti fanno l'errore di scrivere:
Risposta: -3, 1.
Ma questa è una voce sbagliata. Dopotutto, come già accennato in precedenza, quando risolviamo un sistema di equazioni, stiamo cercando una soluzione generale per le sue parti. La risposta corretta sarebbe:
(-3; 1)
Metodo di sostituzione
Questo è probabilmente il metodo più semplice ed è difficile sbagliare. Prendiamo il sistema di equazioni numero 1 da questa immagine.
Nella sua prima parte, x è già stato ridotto alla forma di cui abbiamo bisogno, quindi non ci resta che sostituirlo in un' altra equazione:
5 anni + 3 anni - 25=47
Sposta il numero senza una variabile a destra, porta i termini simili a un valore comune e trova la y:
8 anni=72
y=9
Allora, come nel metodo algebrico, sostituiamo il valore di y in una qualsiasi delle equazioni e troviamo x:
x=3y - 25, con y=9
x=27 - 25
x=2
Risposta: (2; 9).
