Cos'è l'aritmetica? Quando l'umanità ha iniziato a usare i numeri ea lavorare con essi? Dove vanno le radici di concetti quotidiani come numeri, frazioni, sottrazione, addizione e moltiplicazione, che una persona ha reso una parte inseparabile della sua vita e visione del mondo? Le menti dell'antica Grecia ammiravano le scienze come la matematica, l'aritmetica e la geometria come le più belle sinfonie della logica umana.
Forse l'aritmetica non è così profonda come le altre scienze, ma cosa accadrebbe se una persona dimenticasse la tabellina elementare? Il pensiero logico a noi abituale, utilizzando numeri, frazioni e altri strumenti, non era facile per le persone e per molto tempo è stato inaccessibile ai nostri antenati. In effetti, prima dello sviluppo dell'aritmetica, nessuna area della conoscenza umana era veramente scientifica.
L'aritmetica è l'ABC della matematica
L'aritmetica è la scienza dei numeri, con la quale qualsiasi persona inizia a conoscere l'affascinante mondo della matematica. Come ha detto M. V. Lomonosov, l'aritmetica è la porta dell'apprendimento, che ci apre la strada alla conoscenza del mondo. Ma ha ragioneLa conoscenza del mondo può essere separata dalla conoscenza dei numeri e delle lettere, della matematica e della parola? Forse ai vecchi tempi, ma non nel mondo moderno, dove il rapido sviluppo della scienza e della tecnologia detta le proprie leggi.
La parola "aritmetica" (greco "arithmos") di origine greca, significa "numero". Studia i numeri e tutto ciò che può essere collegato ad essi. Questo è il mondo dei numeri: varie operazioni sui numeri, regole numeriche, risoluzione di problemi legati alla moltiplicazione, sottrazione, ecc.
È generalmente accettato che l'aritmetica sia il passo iniziale della matematica e una solida base per le sue sezioni più complesse, come l'algebra, l'analisi matematica, la matematica superiore, ecc.
Oggetto principale dell'aritmetica
La base dell'aritmetica è un numero intero, le cui proprietà e schemi sono considerati nell'aritmetica superiore o nella teoria dei numeri. In effetti, la forza dell'intero edificio - matematica - dipende da quanto corretto viene adottato l'approccio nel considerare un blocco così piccolo come un numero naturale.
Pertanto, la domanda su cosa sia l'aritmetica può essere risolta semplicemente: è la scienza dei numeri. Sì, sui soliti sette, nove e tutta questa comunità diversificata. E come non si può scrivere una poesia buona e nemmeno la più mediocre senza un alfabeto elementare, così non si può risolvere nemmeno un problema elementare senza l'aritmetica. Ecco perché tutte le scienze sono avanzate solo dopo lo sviluppo dell'aritmetica e della matematica, prima che fosse solo un insieme di ipotesi.
L'aritmetica è una scienza fantasma
Cos'è l'aritmetica: scienze naturali o fantasma? Infatti, come sostenevano gli antichi filosofi greci, nella re altà non esistono né numeri né cifre. Questo è solo un fantasma che si crea nel pensiero umano quando si considera l'ambiente con i suoi processi. In effetti, cos'è un numero? Da nessuna parte in giro vediamo qualcosa di simile che potrebbe essere chiamato un numero, piuttosto, un numero è un modo della mente umana di studiare il mondo. O forse è lo studio di noi stessi dall'interno? I filosofi ne discutono da molti secoli di seguito, quindi non ci impegniamo a dare una risposta esauriente. In un modo o nell' altro, l'aritmetica è riuscita a prendere il suo posto così saldamente che nel mondo moderno nessuno può essere considerato socialmente adattato senza conoscerne le basi.
Come è apparso il numero naturale
Naturalmente, l'oggetto principale su cui opera l'aritmetica è un numero naturale, come 1, 2, 3, 4, …, 152… ecc. L'aritmetica dei numeri naturali è il risultato del conteggio di oggetti ordinari, come le mucche in un prato. Tuttavia, la definizione di "molto" o "poco" una volta smise di adattarsi alle persone e dovettero inventare tecniche di conteggio più avanzate.
Ma la vera svolta è avvenuta quando il pensiero umano ha raggiunto il punto in cui è possibile designare 2 chilogrammi e 2 mattoni e 2 parti con lo stesso numero "due". Il fatto è che devi astrarre dalle forme, dalle proprietà e dal significato degli oggetti, quindi puoi eseguire alcune azioni con questi oggetti sotto forma di numeri naturali. Nacque così l'aritmetica dei numeri, cheulteriormente sviluppato e ampliato, occupando posizioni sempre maggiori nella vita della società.
Concetti così approfonditi di numero come zero e numero negativo, frazioni, designazioni di numeri in base a numeri e in altri modi, hanno una storia di sviluppo ricca e interessante.
Egiziani aritmetici e pratici
I due più antichi compagni umani nell'esplorazione del mondo che ci circonda e nella risoluzione dei problemi quotidiani sono l'aritmetica e la geometria.
Si ritiene che la storia dell'aritmetica abbia origine nell'Antico Oriente: in India, Egitto, Babilonia e Cina. Nasce così il papiro Rinda di origine egizia (così chiamato perché appartenuto all'omonimo proprietario), risalente al XX secolo. BC, oltre ad altri dati preziosi, contiene l'espansione di una frazione nella somma di frazioni con denominatori diversi e un numeratore uguale a uno.
Ad esempio: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Ma qual è lo scopo di una scomposizione così complessa? Il fatto è che l'approccio egiziano non tollerava pensieri astratti sui numeri, al contrario, i calcoli venivano fatti solo per scopi pratici. Cioè, l'egiziano si impegnerà in cose come i calcoli, solo per costruire una tomba, ad esempio. È stato necessario calcolare la lunghezza del bordo della struttura e questo ha costretto una persona a sedersi dietro il papiro. Come puoi vedere, il progresso egiziano nei calcoli è stato causato, piuttosto, dalla costruzione di massa che dall'amore per la scienza.
Per questo i calcoli che si trovano sui papiri non possono essere chiamati riflessioni sul tema delle frazioni. Molto probabilmente, questa è una preparazione pratica che ha aiutato in futuro.risolvere i problemi con le frazioni. Gli antichi egizi, che non conoscevano le tabelline, facevano calcoli piuttosto lunghi, scomposti in molti sottocompiti. Forse questo è uno di quei compiti secondari. È facile vedere che i calcoli con tali pezzi sono molto laboriosi e poco promettenti. Forse per questo non vediamo il grande contributo dell'Antico Egitto allo sviluppo della matematica.
L'antica Grecia e l'aritmetica filosofica
Molte conoscenze dell'Antico Oriente furono padroneggiate con successo dagli antichi greci, famosi amanti delle riflessioni astratte, astratte e filosofiche. Non erano meno interessati alla pratica, ma è difficile trovare i migliori teorici e pensatori. Ciò ha giovato alla scienza, poiché è impossibile approfondire l'aritmetica senza staccarla dalla re altà. Certo, puoi moltiplicare 10 mucche e 100 litri di latte, ma non andrai molto lontano.
I greci profondi hanno lasciato un segno significativo nella storia e i loro scritti sono giunti fino a noi:
- Euclide e gli elementi.
- Pitagora.
- Archimede.
- Eratostene.
- Zeno.
- Anassagora.
E, naturalmente, i Greci, che trasformarono tutto in filosofia, e soprattutto i successori dell'opera di Pitagora, furono così affascinati dai numeri da considerarli il mistero dell'armonia del mondo. I numeri sono stati studiati e ricercati a tal punto che ad alcuni di loro e alle loro coppie sono state assegnate proprietà speciali. Ad esempio:
- I numeri perfetti sono quelli che sono uguali alla somma di tutti i loro divisori, ad eccezione del numero stesso (6=1+2+3).
- I numeri amichevoli sono quei numeri, uno dei qualiè uguale alla somma di tutti i divisori del secondo e viceversa (i Pitagorici conoscevano solo una di queste coppie: 220 e 284).
I Greci, che credevano che la scienza dovesse essere amata e non essere con essa per motivi di profitto, ottennero un grande successo esplorando, giocando e aggiungendo numeri. Va notato che non tutte le loro ricerche sono state ampiamente utilizzate, alcune sono rimaste solo "per bellezza".
Pensatori orientali del Medioevo
Allo stesso modo, nel Medioevo, l'aritmetica deve il suo sviluppo ai contemporanei orientali. Gli indiani ci hanno fornito i numeri che utilizziamo attivamente, un concetto come "zero" e la versione posizionale del calcolo, familiare alla percezione moderna. Da Al-Kashi, che lavorò a Samarcanda nel XV secolo, abbiamo ereditato le frazioni decimali, senza le quali è difficile immaginare l'aritmetica moderna.
In molti modi, la conoscenza dell'Europa con le conquiste dell'Oriente è diventata possibile grazie al lavoro dello scienziato italiano Leonardo Fibonacci, che ha scritto l'opera "Il libro dell'abaco", introducendo innovazioni orientali. Divenne la pietra angolare dello sviluppo dell'algebra e dell'aritmetica, della ricerca e delle attività scientifiche in Europa.
Aritmetica russa
E, infine, l'aritmetica, che ha trovato il suo posto e ha messo radici in Europa, ha cominciato a diffondersi nelle terre russe. La prima aritmetica russa fu pubblicata nel 1703: era un libro sull'aritmetica di Leonty Magnitsky. Per molto tempo è rimasto l'unico libro di testo in matematica. Contiene i momenti iniziali dell'algebra e della geometria. I numeri usati negli esempi dal primo libro di testo di aritmetica in Russia sono arabi. Sebbene i numeri arabi siano stati visti prima, su incisioni risalenti al XVII secolo.
Il libro stesso è decorato con immagini di Archimede e Pitagora e sul primo foglio - l'immagine dell'aritmetica sotto forma di una donna. Si siede su un trono, sotto di lei è scritta in ebraico una parola che denota il nome di Dio, e sui gradini che portano al trono sono iscritte le parole "divisione", "moltiplicazione", "addizione", ecc. che ora sono considerati un luogo comune.
Un libro di testo di 600 pagine copre entrambe le nozioni di base come le tabelline di addizione e moltiplicazione e le applicazioni alle scienze della navigazione.
Non sorprende che l'autore abbia scelto immagini di pensatori greci per il suo libro, perché lui stesso è stato affascinato dalla bellezza dell'aritmetica, dicendo: "L'aritmetica è il numeratore, c'è arte onesta, non invidiabile …". Questo approccio all'aritmetica è abbastanza giustificato, perché è la sua introduzione diffusa che può essere considerata l'inizio del rapido sviluppo del pensiero scientifico in Russia e dell'istruzione generale.
Unprime prime
Un numero primo è un numero naturale che ha solo 2 divisori positivi: 1 e se stesso. Tutti gli altri numeri, tranne 1, sono chiamati composti. Esempi di numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11 e tutti gli altri che non hanno divisori diversi da 1 e se stesso.
Per quanto riguarda il numero 1, è su un conto speciale - c'è un accordo che non dovrebbe essere considerato né semplice né composto. Semplice a prima vista, un semplice numero nasconde al suo interno molti misteri irrisolti.
Il teorema di Euclide dice che ci sono un numero infinito di numeri primi, ed Eratostene inventò uno speciale "setaccio" aritmetico che elimina i numeri non primi, lasciando solo quelli semplici.
La sua essenza è sottolineare il primo numero non barrato, e successivamente barrare quelli che ne sono multipli. Ripetiamo questa procedura molte volte - e otteniamo una tabella di numeri primi.
Il teorema fondamentale dell'aritmetica
Tra le osservazioni sui numeri primi, il teorema fondamentale dell'aritmetica dovrebbe essere menzionato in modo speciale.
Il teorema fondamentale dell'aritmetica dice che qualsiasi intero maggiore di 1 o è primo, oppure può essere scomposto in un prodotto di numeri primi fino all'ordine dei fattori, e in un modo unico.
Il teorema principale dell'aritmetica si è dimostrato piuttosto ingombrante e comprenderlo non sembra più le basi più semplici.
A prima vista, i numeri primi sono un concetto elementare, ma non lo sono. Anche la fisica un tempo considerava l'atomo elementare, finché non trovò l'intero universo al suo interno. Una meravigliosa storia del matematico Don Tzagir "I primi cinquanta milioni di numeri primi" è dedicata ai numeri primi.
Da "tre mele" a leggi deduttive
Quello che può essere veramente chiamato il fondamento rinforzato di tutta la scienza sono le leggi dell'aritmetica. Anche durante l'infanzia, tutti si confrontano con l'aritmetica, studiando il numero di gambe e braccia delle bambole,il numero di cubi, mele, ecc. È così che studiamo l'aritmetica, che poi passa a regole più complesse.
Tutta la nostra vita ci fa conoscere le regole dell'aritmetica, che sono diventate per l'uomo comune la più utile di tutto ciò che la scienza offre. Lo studio dei numeri è "aritmetica-bambino", che introduce una persona nel mondo dei numeri sotto forma di numeri nella prima infanzia.
L'aritmetica superiore è una scienza deduttiva che studia le leggi dell'aritmetica. Conosciamo la maggior parte di loro, anche se potremmo non conoscere la loro esatta formulazione.
La legge dell'addizione e della moltiplicazione
Due numeri naturali aeb possono essere espressi come una somma a+b, che sarà anche un numero naturale. Le seguenti leggi si applicano all'addizione:
- Commutativo, che dice che la somma non cambia dal riarrangiamento dei termini, oppure a+b=b+a.
- Associativo, che dice che la somma non dipende dal modo in cui i termini sono raggruppati in luoghi, oppure a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Le regole dell'aritmetica, come l'addizione, sono tra le più elementari, ma sono usate da tutte le scienze, per non parlare della vita di tutti i giorni.
Due numeri naturali aeb possono essere espressi come un prodotto ab o ab, che è anche un numero naturale. Le stesse leggi commutative e associative si applicano al prodotto per quanto riguarda l'addizione:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Mi chiedoche esiste una legge che unisce addizione e moltiplicazione, detta anche legge distributiva o distributiva:
a(b+c)=ab+ac
Questa legge in re altà ci insegna a lavorare con le parentesi espandendole, così possiamo lavorare con formule più complesse. Queste sono le leggi che ci guideranno attraverso il mondo bizzarro e complesso dell'algebra.
La legge dell'ordine aritmetico
La legge dell'ordine è usata dalla logica umana ogni giorno, confrontando orologi e contando banconote. E, tuttavia, deve essere formalizzato sotto forma di formulazioni specifiche.
Se abbiamo due numeri naturali aeb, allora sono possibili le seguenti opzioni:
- a è uguale a b, o a=b;
- a è minore di b, o a < b;
- a è maggiore di b, o a > b.
Di tre opzioni, solo una può essere equa. La legge fondamentale che regola l'ordine dice: se a < b e b < c, allora a< c.
Ci sono anche leggi relative all'ordine alla moltiplicazione e all'addizione: se a< è b, allora a + c < b+c e ac< bc.
Le leggi dell'aritmetica ci insegnano a lavorare con numeri, segni e parentesi, trasformando tutto in un'armoniosa sinfonia di numeri.
Calcolo posizionale e non posizionale
Si può dire che i numeri sono un linguaggio matematico, dalla cui comodità molto dipende. Esistono molti sistemi numerici che, come gli alfabeti delle diverse lingue, differiscono l'uno dall' altro.
Consideriamo i sistemi numerici dal punto di vista dell'influenza della posizione sul valore quantitativonumeri in questa posizione. Quindi, ad esempio, il sistema romano non è posizionale, dove ogni numero è codificato da un certo insieme di caratteri speciali: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Sono uguali, rispettivamente, ai numeri 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. In un tale sistema, il numero non cambia la sua definizione quantitativa a seconda della posizione in cui si trova: primo, secondo, ecc. Per ottenere altri numeri, è necessario sommare quelli di base. Ad esempio:
- DCC=700.
- CCM=800.
Il sistema numerico a noi più familiare che utilizza i numeri arabi è posizionale. In un tale sistema, la cifra di un numero determina il numero di cifre, ad esempio numeri a tre cifre: 333, 567, ecc. Il peso di qualsiasi cifra dipende dalla posizione in cui si trova questa o quella cifra, ad esempio il numero 8 nella seconda posizione ha un valore di 80. Questo è tipico per il sistema decimale, esistono altri sistemi posizionali, ad esempio, binario.
Aritmetica binaria
Abbiamo familiarità con il sistema decimale, composto da numeri a una cifra e numeri a più cifre. Il numero a sinistra di un numero a più cifre è dieci volte più significativo di quello a destra. Quindi, siamo abituati a leggere 2, 17, 467, ecc. La sezione chiamata "aritmetica binaria" ha una logica e un approccio completamente diversi. Ciò non sorprende, perché l'aritmetica binaria non è stata creata per la logica umana, ma per la logica del computer. Se l'aritmetica dei numeri ha avuto origine dal conteggio degli oggetti, che è stato ulteriormente astratto dalle proprietà dell'oggetto all'aritmetica "nuda", allora questo non funzionerà con un computer. Per poter condividerecon la sua conoscenza di un computer, una persona doveva inventare un tale modello di calcolo.
L'aritmetica binaria funziona con l'alfabeto binario, che consiste solo di 0 e 1. E l'uso di questo alfabeto è chiamato sistema binario.
La differenza tra aritmetica binaria e aritmetica decimale è che il significato della posizione a sinistra non è più 10, ma 2 volte. I numeri binari sono nella forma 111, 1001, ecc. Come capire tali numeri? Quindi, considera il numero 1100:
- La prima cifra a sinistra è 18=8, ricordando che la quarta cifra, il che significa che deve essere moltiplicata per 2, otteniamo la posizione 8.
- Seconda cifra 14=4 (posizione 4).
- Terza cifra 02=0 (posizione 2).
- Quarta cifra 01=0 (posizione 1).
- Quindi il nostro numero è 1100=8+4+0+0=12.
Cioè, quando ci si sposta su una nuova cifra a sinistra, il suo significato nel sistema binario viene moltiplicato per 2 e in decimale - per 10. Un tale sistema ha un meno: è un aumento troppo grande di cifre necessarie per scrivere i numeri. Esempi di rappresentazione di numeri decimali come numeri binari possono essere trovati nella tabella seguente.
I numeri decimali in forma binaria sono mostrati sotto.
Si utilizzano anche i sistemi ottale ed esadecimale.
Questa misteriosa aritmetica
Che cos'è l'aritmetica, il "due volte due" o i misteri inesplorati dei numeri? Come puoi vedere, l'aritmetica può sembrare semplice a prima vista, ma la sua non ovvia facilità è ingannevole. Può anche essere studiato dai bambini insieme a Zia Gufocartone animato "Arithmetic-baby", e puoi immergerti in una ricerca profondamente scientifica di ordine quasi filosofico. Nella storia, è passata dal contare gli oggetti all'adorare la bellezza dei numeri. Solo una cosa è certa: con l'istituzione dei postulati di base dell'aritmetica, tutta la scienza può contare sulla sua forte spalla.
