La geometria è bella perché, a differenza dell'algebra, dove non è sempre chiaro cosa si pensi e perché, dà visibilità all'oggetto. Questo meraviglioso mondo di vari corpi è decorato con poliedri regolari.
Informazioni generali sui poliedri regolari
Secondo molti, i poliedri regolari, o come vengono anche chiamati solidi platonici, hanno proprietà uniche. Diverse ipotesi scientifiche sono associate a questi oggetti. Quando inizi a studiare questi corpi geometrici, capisci che non sai praticamente nulla di un concetto come i poliedri regolari. La presentazione di questi oggetti a scuola non è sempre interessante, quindi molti non si ricordano nemmeno come si chiamano. La maggior parte delle persone ricorda solo il cubo. Nessuno dei corpi in geometria è perfetto come i poliedri regolari. Tutti i nomi di questi corpi geometrici provenivano dall'antica Grecia. Significano il numero di facce: tetraedro - quadrilatero, esaedro - sei facce, ottaedro - ottaedrico, dodecaedro - dodici facce, icosaedro - venti facce. Tutti questi corpi geometricioccupava un posto importante nella concezione platonica dell'universo. Quattro di loro personificavano gli elementi o entità: il tetraedro - fuoco, l'icosaedro - acqua, il cubo - terra, l'ottaedro - aria. Il dodecaedro incarnava tutto ciò che esiste. Era considerato il principale, perché era un simbolo dell'universo.
Generalizzazione del concetto di poliedro
Un poliedro è una raccolta di un numero finito di poligoni tale che:
- ciascuno dei lati di uno qualsiasi dei poligoni è allo stesso tempo il lato di un solo altro poligono sullo stesso lato;
- da ciascuno dei poligoni puoi raggiungere gli altri passando lungo i poligoni adiacenti ad esso.
I poligoni che compongono un poliedro sono le sue facce e i loro lati sono i bordi. I vertici dei poliedri sono i vertici dei poligoni. Se il concetto di poligono è inteso come linee spezzate chiuse piatte, allora si arriva a una definizione di poliedro. Nel caso in cui questo concetto significhi una parte del piano che è delimitata da linee spezzate, allora si dovrebbe intendere una superficie costituita da pezzi poligonali. Un poliedro convesso è un corpo che giace su un lato di un piano adiacente alla sua faccia.
Un' altra definizione di poliedro e dei suoi elementi
Un poliedro è una superficie composta da poligoni che delimita un corpo geometrico. Sono:
- non convesso;
- convesso (corretto e errato).
Un poliedro regolare è un poliedro convesso con la massima simmetria. Elementi di poliedri regolari:
- tetraedro: 6 spigoli, 4 facce, 5 vertici;
- esaedro (cubo): 12, 6, 8;
- dodecaedro: 30, 12, 20;
- ottaedro: 12, 8, 6;
- icosaedro: 30, 20, 12.
Teorema di Eulero
Stabilisce una relazione tra il numero di spigoli, vertici e facce che sono topologicamente equivalenti a una sfera. Sommando il numero di vertici e facce (B + D) di vari poliedri regolari e confrontandoli con il numero di spigoli, si può stabilire uno schema: la somma del numero di facce e vertici è uguale al numero di spigoli (P) aumentato per 2. Puoi ricavare una semplice formula:
Si + Re=R + 2
Questa formula vale per tutti i poliedri convessi.
Definizioni di base
Il concetto di poliedro regolare non può essere descritto in una frase. È più significativo e voluminoso. Per essere riconosciuto come tale, un organismo deve soddisfare una serie di definizioni. Quindi, un corpo geometrico sarà un poliedro regolare se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
- è convesso;
- lo stesso numero di spigoli converge in ciascuno dei suoi vertici;
- tutte le sue facce sono poligoni regolari, uguali tra loro;
- tutti i suoi angoli diedri sono uguali.
Proprietà dei poliedri regolari
Ci sono 5 diversi tipi di poliedri regolari:
- Cubo (esaedro) - ha un angolo piatto nella parte superiore di 90°. Ha un angolo su 3 lati. La somma degli angoli piatti in alto è 270°.
- Tetraedro - angolo piatto in alto - 60°. Ha un angolo su 3 lati. La somma degli angoli piatti in alto è 180°.
- Ottaedro - angolo del vertice piatto - 60°. Ha un angolo a 4 lati. La somma degli angoli piatti in alto è 240°.
- Dodecaedro - angolo piatto al vertice 108°. Ha un angolo su 3 lati. La somma degli angoli piatti in alto è 324°.
- Icosaedro - ha un angolo piatto in alto - 60°. Ha un angolo a 5 lati. La somma degli angoli piatti in alto è 300°.
Area di poliedri regolari
L'area della superficie di questi corpi geometrici (S) è calcolata come l'area di un poligono regolare moltiplicata per il numero delle sue facce (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Il volume di un poliedro regolare
Questo valore si calcola moltiplicando il volume di una piramide regolare, alla base della quale si trova un poligono regolare, per il numero di facce, e la sua altezza è il raggio della sfera inscritta (r):
V=1: 3rS
Volumi di poliedri regolari
Come ogni altro corpo geometrico, i poliedri regolari hanno volumi diversi. Di seguito sono riportate le formule con cui puoi calcolarle:
- tetraedro: α x 3√2: 12;
- ottaedro: α x 3√2: 3;
- icosaedro; α x 3;
- esaedro (cubo): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodecaedro: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elementi di poliedri regolari
Esaedro e ottaedro sono due corpi geometrici. In altre parole, possono essere ottenuti l'uno dall' altro se si prende il baricentro della faccia dell'uno come vertice dell' altro, e viceversa. Anche l'icosaedro e il dodecaedro sono doppi. Solo il tetraedro è duale a se stesso. Secondo il metodo Euclide, puoi ottenere un dodecaedro da un esaedro costruendo "tetti" sulle facce di un cubo. I vertici di un tetraedro saranno 4 vertici qualsiasi di un cubo che non sono adiacenti a coppie lungo un bordo. Dall'esaedro (cubo) puoi ottenere altri poliedri regolari. Nonostante il fatto che ci siano innumerevoli poligoni regolari, ci sono solo 5 poliedri regolari.
Raggio di poligoni regolari
Ci sono 3 sfere concentriche associate a ciascuno di questi corpi geometrici:
- descritto, passando per le sue vette;
- inscritto, toccando ciascuna delle sue facce al centro;
- mediana, toccando tutti i bordi nel mezzo.
Il raggio della sfera descritta è calcolato con la seguente formula:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Il raggio di una sfera inscritta si calcola con la formula:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
dove θ è l'angolo diedro tra facce adiacenti.
Il raggio della sfera mediana può essere calcolato utilizzando la seguente formula:
ρ=un cos π/p: 2 sin π/h,
dove h valore=4, 6, 6, 10 o 10. Il rapporto tra raggi circoscritti e inscritti è simmetrico rispetto a p e q. Essocalcolato con la formula:
R/r=tg π/p x tg π/q
Simmetria dei poliedri
La simmetria dei poliedri regolari provoca il principale interesse in questi corpi geometrici. È inteso come un tale movimento del corpo nello spazio, che lascia lo stesso numero di vertici, facce e bordi. In altre parole, sotto l'effetto di una trasformazione di simmetria, uno spigolo, un vertice, una faccia mantiene la sua posizione originale o si sposta nella posizione originale di un altro spigolo, vertice o faccia.
Gli elementi di simmetria dei poliedri regolari sono caratteristici di tutti i tipi di tali corpi geometrici. Qui stiamo parlando di una trasformazione identica che lascia uno qualsiasi dei punti nella sua posizione originale. Quindi, quando ruoti un prisma poligonale, puoi ottenere diverse simmetrie. Ognuno di essi può essere rappresentato come un prodotto di riflessioni. Una simmetria che è il prodotto di un numero pari di riflessioni è chiamata retta. Se è il prodotto di un numero dispari di riflessioni, allora si chiama inverso. Pertanto, tutte le rotazioni attorno a una linea sono simmetria diretta. Qualsiasi riflesso di un poliedro è una simmetria inversa.
Per comprendere meglio gli elementi di simmetria dei poliedri regolari, possiamo prendere l'esempio di un tetraedro. Qualsiasi linea retta che passerà per uno dei vertici e il centro di questa figura geometrica passerà anche per il centro della faccia opposta ad essa. Ciascuno dei giri di 120° e 240° attorno alla linea è plurale.simmetria del tetraedro. Poiché ha 4 vertici e 4 facce, ci sono solo otto simmetrie dirette. Qualsiasi linea passante per il centro del bordo e il centro di questo corpo passa per il centro del suo bordo opposto. Qualsiasi rotazione di 180°, chiamata mezzo giro, attorno a una linea retta è una simmetria. Poiché il tetraedro ha tre coppie di spigoli, ci sono altre tre simmetrie dirette. Sulla base di quanto sopra, possiamo concludere che il numero totale di simmetrie dirette, inclusa la trasformazione identica, raggiungerà dodici. Il tetraedro non ha altre simmetrie dirette, ma ha 12 simmetrie inverse. Pertanto, il tetraedro è caratterizzato da un totale di 24 simmetrie. Per chiarezza, puoi costruire un modello di un tetraedro regolare di cartone e assicurarti che questo corpo geometrico abbia davvero solo 24 simmetrie.
Il dodecaedro e l'icosaedro sono i più vicini alla sfera del corpo. L'icosaedro ha il maggior numero di facce, il più grande angolo diedro e può essere premuto più strettamente contro una sfera inscritta. Il dodecaedro ha il più piccolo difetto angolare, il più grande angolo solido al vertice. Può riempire al massimo la sua sfera descritta.
Spazi di poliedri
I poliedri regolari da scartare, che tutti abbiamo incollato insieme durante l'infanzia, hanno molti concetti. Se esiste un insieme di poligoni, ogni lato dei quali è identificato con un solo lato del poliedro, l'identificazione dei lati deve soddisfare due condizioni:
- da ogni poligono, puoi passare sopra i poligoni che hannolato identificato;
- I lati identificati devono avere la stessa lunghezza.
È l'insieme dei poligoni che soddisfa queste condizioni che si chiama sviluppo del poliedro. Ognuno di questi corpi ne ha diversi. Quindi, ad esempio, un cubo ne ha 11.
