L'argomento "progressione aritmetica" è studiato nel corso generale di algebra nelle scuole del 9° grado. Questo argomento è importante per ulteriori approfondimenti sulla matematica delle serie numeriche. In questo articolo conosceremo la progressione aritmetica, la sua differenza e i compiti tipici che gli scolari possono affrontare.
Il concetto di progressione algebrica
La progressione numerica è una sequenza di numeri in cui ogni elemento successivo può essere ottenuto dal precedente, se si applica qualche legge matematica. Esistono due semplici tipi di progressione: geometrica e aritmetica, detta anche algebrica. Soffermiamoci su di esso in modo più dettagliato.
Immaginiamo un numero razionale, indichiamolo con il simbolo a1, dove l'indice indica il suo numero ordinale nella serie in esame. Aggiungiamo qualche altro numero a a1 , indichiamolo d. Poi il secondoun elemento di una serie può essere riflesso come segue: a2=a1+d. Ora aggiungi di nuovo d, otteniamo: a3=a2+d. Continuando questa operazione matematica, puoi ottenere un'intera serie di numeri, che sarà chiamata progressione aritmetica.
Come si può capire da quanto sopra, per trovare l'n-esimo elemento di questa sequenza, devi usare la formula: a =a1+ (n -1)g. Infatti, sostituendo n=1 nell'espressione, otteniamo a1=a1, se n=2, allora la formula implica: a2=a1 + 1d, e così via.
Ad esempio, se la differenza di una progressione aritmetica è 5 e a1=1, significa che la serie numerica del tipo in questione è: 1, 6, 11, 16, 21, … Come puoi vedere, ciascuno dei suoi termini è maggiore del precedente di 5.
Formule per la differenza di progressione aritmetica
Dalla definizione sopra della serie di numeri considerata, ne consegue che per determinarla è necessario conoscere due numeri: a1 e d. Quest'ultimo è chiamato la differenza di questa progressione. Determina in modo univoco il comportamento dell'intera serie. Infatti, se d è positivo, allora la serie numerica aumenterà costantemente, al contrario, nel caso di d negativo, i numeri della serie aumenteranno solo modulo, mentre il loro valore assoluto diminuirà all'aumentare del numero n.
Qual è la differenza della progressione aritmetica? Considera le due formule principali utilizzate per calcolare questo valore:
- d=an+1-a , questa formula segue direttamente dalla definizione della serie numerica in questione.
- d=(-a1+a)/(n-1), questa espressione si ottiene esprimendo d dalla formula data al comma precedente dell'art. Si noti che questa espressione diventa indeterminata (0/0) se n=1. Ciò è dovuto al fatto che è necessario conoscere almeno 2 elementi della serie per poterne determinare la differenza.
Queste due formule di base vengono utilizzate per risolvere qualsiasi problema di trovare la differenza di progressione. Tuttavia, c'è un' altra formula che devi conoscere.
Somma dei primi elementi
La formula che può essere utilizzata per determinare la somma di un numero qualsiasi di membri di una progressione algebrica, secondo l'evidenza storica, fu ottenuta per la prima volta dal "principe" della matematica del 18° secolo, Carl Gauss. Uno scienziato tedesco, ancora ragazzo alle elementari di una scuola di paese, ha notato che per sommare i numeri naturali nelle serie da 1 a 100 bisogna sommare prima il primo elemento e l'ultimo (il valore risultante sarà uguale alla somma del penultimo e del secondo, del penultimo e del terzo elemento, e così via), e poi questo numero dovrebbe essere moltiplicato per il numero di questi importi, cioè per 50.
La formula che riflette il risultato dichiarato su un particolare esempio può essere generalizzata a un caso arbitrario. Si presenterà così: S =n/2(a +a1). Si noti che per trovare il valore specificato non è richiesta la conoscenza della differenza d,se sono noti due termini della progressione (a e a1).
Esempio 1. Determina la differenza, conoscendo i due termini della serie a1 e an
Mostriamo come applicare le formule sopra menzionate nell'articolo. Facciamo un semplice esempio: la differenza della progressione aritmetica è sconosciuta, occorre determinare a cosa sarà uguale se a13=-5, 6 e a1 =-12, 1.
Poiché conosciamo i valori di due elementi della sequenza numerica, e uno di essi è il primo numero, possiamo usare la formula n. 2 per determinare la differenza d. Abbiamo: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Nell'espressione abbiamo utilizzato il valore n=13, poiché il membro con questo numero di serie è noto.
La differenza risultante indica che la progressione è in aumento, nonostante gli elementi dati nella condizione del problema abbiano un valore negativo. Si può vedere che a13>a1, sebbene |a13|<|a 1 |.
Esempio 2. Membri positivi della progressione nell'esempio 1
Usiamo il risultato ottenuto nell'esempio precedente per risolvere un nuovo problema. È formulato come segue: da quale numero progressivo gli elementi della progressione nell'esempio 1 iniziano ad assumere valori positivi?
Come mostrato, la progressione in cui a1=-12, 1 e d=0. 54167 è crescente, quindi da un certo numero i numeri inizieranno ad assumere solo positivi valori. Per determinare questo numero n, si deve risolvere una semplice disuguaglianza, che èmatematicamente scritto come segue: a >0 oppure, usando la formula appropriata, riscriviamo la disuguaglianza: a1 + (n-1)d>0. Occorre trovare l'incognita n, esprimiamola: n>-1a1/d + 1. Adesso resta da sostituire i valori noti della differenza e il primo membro della sequenza. Otteniamo: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 o n>23, 338. Poiché n può assumere solo valori interi, dalla disuguaglianza risultante deriva che qualsiasi membro della serie che avere un numero maggiore di 23 sarà positivo.
Controlla la tua risposta usando la formula sopra per calcolare il 23° e il 24° elemento di questa progressione aritmetica. Abbiamo: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (numero negativo); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (valore positivo). Quindi il risultato ottenuto è corretto: partendo da n=24, tutti i membri della serie numerica saranno maggiori di zero.
Esempio 3. Quanti registri possono contenere?
Diamo un problema curioso: durante la registrazione, è stato deciso di impilare i tronchi segati uno sopra l' altro come mostrato nella figura seguente. Quanti registri possono essere impilati in questo modo, sapendo che 10 righe si adatteranno in totale?
In questo modo di impilare i log, puoi notare una cosa interessante: ogni riga successiva conterrà un log in meno rispetto alla precedente, ovvero c'è una progressione algebrica, la cui differenza è d=1. Supponendo che il numero di log in ogni riga sia un membro di questa progressione,e anche dato che a1=1 (solo un log andrà bene in cima), troviamo il numero a10. Abbiamo: a10=1 + 1(10-1)=10. Cioè, nella decima riga, che giace a terra, ci saranno 10 tronchi.
La quantità totale di questa costruzione "piramidale" può essere ottenuta usando la formula di Gauss. Otteniamo: S10=10/2(10+1)=55 log.
