Risolvere le equazioni in matematica ha un posto speciale. Questo processo è preceduto da molte ore di studio della teoria, durante le quali lo studente impara a risolvere equazioni, determinarne la forma e portare l'abilità al pieno automatismo. Tuttavia, la ricerca delle radici non ha sempre senso, poiché potrebbero semplicemente non esistere. Esistono metodi speciali per trovare le radici. In questo articolo analizzeremo le funzioni principali, i loro scopi e i casi in cui le loro radici sono assenti.
Quale equazione non ha radici?
Un'equazione non ha radici se non ci sono argomenti reali x per i quali l'equazione è identicamente vera. Per un non specialista, questa formulazione, come la maggior parte dei teoremi e delle formule matematiche, sembra molto vaga e astratta, ma in teoria è così. In pratica, tutto diventa estremamente semplice. Ad esempio: l'equazione 0x=-53 non ha soluzione, poiché non esiste un tale numero x, il cui prodotto con zero darebbe qualcosa di diverso da zero.
Ora esamineremo i tipi più elementari di equazioni.
1. Equazione lineare
Un'equazione si dice lineare se le sue parti destra e sinistra sono rappresentate come funzioni lineari: ax + b=cx + d oppure in forma generalizzata kx + b=0. Dove a, b, c, d sono noti numeri e x è una quantità incognita. Quale equazione non ha radici? Esempi di equazioni lineari sono mostrati nell'illustrazione seguente.
Fondamentalmente, le equazioni lineari vengono risolte semplicemente spostando la parte dei numeri in una parte e il contenuto di x nell' altra. Si scopre un'equazione della forma mx \u003d n, dove m e n sono numeri e x è un'incognita. Per trovare x basta dividere entrambe le parti per m. Allora x=n/m. Fondamentalmente, le equazioni lineari hanno solo una radice, ma ci sono casi in cui ci sono infinite radici o nessuna. Con m=0 e n=0, l'equazione assume la forma 0x=0. Assolutamente qualsiasi numero sarà la soluzione a tale equazione.
Ma quale equazione non ha radici?
Quando m=0 e n=0, l'equazione non ha radici dall'insieme dei numeri reali. 0x=-1; 0x=200 - queste equazioni non hanno radici.
2. Equazione quadratica
Un'equazione di secondo grado è un'equazione della forma ax2 + bx + c=0 per a=0. Il modo più comune per risolvere un'equazione di secondo grado è risolverlo attraverso il discriminante. La formula per trovare il discriminante di un'equazione quadratica: D=b2 - 4ac. Allora ci sono due radici x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Quando D > 0 l'equazione ha due radici, quando D=0 - una radice. Ma quale equazione quadratica non ha radici?Il modo più semplice per osservare il numero di radici di un'equazione quadratica è sul grafico di una funzione, che è una parabola. A > 0 i rami sono diretti verso l' alto, a < 0 i rami sono abbassati. Se il discriminante è negativo, tale equazione quadratica non ha radici nell'insieme dei numeri reali.
Puoi anche determinare visivamente il numero di radici senza calcolare il discriminante. Per fare ciò, devi trovare la parte superiore della parabola e determinare in quale direzione sono diretti i rami. Puoi determinare la coordinata x di un vertice usando la formula: x0 =-b / 2a. In questo caso, la coordinata y del vertice si trova semplicemente sostituendo il valore x0 nell'equazione originale.
L'equazione quadratica x2 – 8x + 72=0 non ha radici perché ha un discriminante negativo D=(–8)2 - 4172=-224. Ciò significa che la parabola non tocca l'asse x e la funzione non assume mai il valore 0, quindi l'equazione non ha radici reali.
3. Equazioni trigonometriche
Le funzioni trigonometriche sono considerate su un cerchio trigonometrico, ma possono anche essere rappresentate in un sistema di coordinate cartesiane. In questo articolo, esamineremo due funzioni trigonometriche di base e le loro equazioni: sinx e cosx. Poiché queste funzioni formano un cerchio trigonometrico di raggio 1, |sinx| e |cosx| non può essere maggiore di 1. Quindi quale equazione sinx non ha radici? Considera il grafico della funzione sinx presentato nell'immaginesotto.
Vediamo che la funzione è simmetrica e ha un periodo di ripetizione di 2pi. Sulla base di ciò, possiamo dire che il valore massimo di questa funzione può essere 1 e il minimo -1. Ad esempio, l'espressione cosx=5 non avrà radici, poiché il suo modulo è maggiore di uno.
Questo è l'esempio più semplice di equazioni trigonometriche. La loro soluzione, infatti, può richiedere molte pagine, al termine delle quali ti rendi conto di aver usato la formula sbagliata e devi ricominciare tutto da capo. A volte, anche con la corretta ricerca delle radici, puoi dimenticare di tenere conto delle restrizioni sull'ODZ, motivo per cui nella risposta appare una radice o un intervallo in più e l'intera risposta si trasforma in una risposta errata. Pertanto, segui rigorosamente tutte le restrizioni, perché non tutte le radici rientrano nell'ambito dell'attività.
4. Sistemi di equazioni
Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni combinate con parentesi graffe o quadre. Le parentesi graffe denotano l'esecuzione congiunta di tutte le equazioni. Cioè, se almeno una delle equazioni non ha radici o contraddice l' altra, l'intero sistema non ha soluzione. Le parentesi quadre indicano la parola "o". Ciò significa che se almeno una delle equazioni del sistema ha una soluzione, allora l'intero sistema ha una soluzione.
La risposta del sistema tra parentesi quadre è la totalità di tutte le radici delle singole equazioni. E i sistemi con parentesi graffe hanno solo radici comuni. I sistemi di equazioni possono includere funzioni assolutamente diverse, quindi questa complessità non lo èti permette di dire immediatamente quale equazione non ha radici.
Generalizzazione e suggerimenti per trovare le radici dell'equazione
Nei libri problematici e nei libri di testo ci sono diversi tipi di equazioni: quelle che hanno radici e quelle che non le hanno. Innanzitutto, se non trovi le radici, non pensare che non esistano affatto. Potresti aver commesso un errore da qualche parte, quindi ricontrolla la tua soluzione.
Abbiamo trattato le equazioni più elementari e i loro tipi. Ora puoi dire quale equazione non ha radici. Nella maggior parte dei casi, questo non è affatto difficile da fare. Per raggiungere il successo nella risoluzione delle equazioni, sono richieste solo attenzione e concentrazione. Esercitati di più, ti aiuterà a navigare nel materiale molto meglio e più velocemente.
Quindi, l'equazione non ha radici se:
- nell'equazione lineare mx=n il valore m=0 e n=0;
- in un'equazione quadratica se il discriminante è minore di zero;
- in un'equazione trigonometrica della forma cosx=m / sinx=n, se |m| > 0, |n| > 0;
- in un sistema di equazioni con parentesi graffe se almeno un'equazione non ha radici e con parentesi quadre se tutte le equazioni non hanno radici.
