Disuguaglianze e sistemi di disuguaglianze è uno degli argomenti insegnati nell'algebra delle scuole superiori. In termini di difficoltà, non è il più difficile, perché ha regole semplici (su di loro un po 'più tardi). Di norma, gli scolari imparano abbastanza facilmente la soluzione dei sistemi di disuguaglianza. Ciò è dovuto anche al fatto che gli insegnanti semplicemente "formano" i loro studenti su questo argomento. E non possono che farlo, perché si studia in futuro con l'utilizzo di altre grandezze matematiche, e viene anche verificato per l'OGE e l'Unified State Examination. Nei libri di testo scolastici, l'argomento delle disuguaglianze e dei sistemi di disuguaglianze è trattato in modo molto dettagliato, quindi se lo studierai, allora è meglio ricorrere a loro. Questo articolo è solo una parafrasi di molto materiale e potrebbe contenere alcune omissioni.
Il concetto di un sistema di disuguaglianze
Se ci volgiamo al linguaggio scientifico, possiamo definire il concetto di "sistemadisuguaglianze". Questo è un tale modello matematico che rappresenta diverse disuguaglianze. Naturalmente, questo modello richiede una soluzione e sarà la risposta generale per tutte le disuguaglianze del sistema proposto nel compito (di solito è scritto così, per esempio: "Risolvi il sistema delle disuguaglianze 4 x + 1 > 2 e 30 - x > 6… ").
Sistemi di disequazioni e sistemi di equazioni
Nel processo di apprendimento di un nuovo argomento, spesso sorgono incomprensioni. Da un lato è tutto chiaro e preferirei iniziare a risolvere dei compiti, ma dall' altro alcuni momenti rimangono "in ombra", non sono ben compresi. Inoltre, alcuni elementi delle conoscenze già acquisite possono essere intrecciati con quelli nuovi. Gli errori si verificano spesso come risultato di questa sovrapposizione.
Pertanto, prima di procedere all'analisi del nostro argomento, dovremmo ricordare le differenze tra equazioni e disuguaglianze, i loro sistemi. Per fare ciò, è necessario chiarire ancora una volta quali sono questi concetti matematici. Un'equazione è sempre un'uguaglianza, ed è sempre uguale a qualcosa (in matematica, questa parola è indicata dal segno "="). La disuguaglianza è un modello in cui un valore è maggiore o minore di un altro o contiene l'affermazione che non sono la stessa cosa. Quindi, nel primo caso, è opportuno parlare di uguaglianza, e nel secondo, per quanto ovvio possa sembrare dail nome stesso, sulla disuguaglianza dei dati iniziali. I sistemi di equazioni e disequazioni praticamente non differiscono tra loro e i metodi per la loro soluzione sono gli stessi. L'unica differenza è che il primo usa le uguaglianze mentre il secondo usa le disuguaglianze.
Tipi di disuguaglianze
Ci sono due tipi di disuguaglianze: numeriche e con una variabile sconosciuta. Al primo tipo vengono forniti valori (numeri) che non sono uguali tra loro, ad esempio 8 > 10. Il secondo tipo sono le disuguaglianze contenenti una variabile sconosciuta (indicata da alcune lettere dell'alfabeto latino, il più delle volte X). Questa variabile deve essere trovata. A seconda di quante sono, il modello matematico distingue tra disuguaglianze con una (costituiscono un sistema di disuguaglianze con una variabile) o più variabili (costituiscono un sistema di disuguaglianze con più variabili).
Le ultime due tipologie, in base al grado di costruzione e al livello di complessità della soluzione, si dividono in semplici e complesse. Quelle semplici sono anche dette disuguaglianze lineari. A loro volta, sono divisi in severi e non severi. Rigorosamente "dire" in modo specifico che un valore deve essere inferiore o superiore, quindi questa è pura disuguaglianza. Esistono diversi esempi: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, ecc. Anche quelli non rigidi includono l'uguaglianza. Cioè, un valore può essere maggiore o uguale a un altro valore (segno "≧") o minore o uguale a un altro valore (segno "≦"). Ancora in lineaNelle disuguaglianze la variabile non sta alla radice, al quadrato, non è divisibile per nulla, per questo vengono dette "semplici". Quelli complessi includono variabili sconosciute, la cui ricerca richiede più operazioni matematiche. Sono spesso in un quadrato, un cubo o sotto la radice, possono essere modulari, logaritmici, frazionari, ecc. Ma poiché il nostro compito è capire la soluzione dei sistemi di disequazioni, parleremo di un sistema di disequazioni lineari. Tuttavia, prima di ciò, dovrebbero essere dette alcune parole sulle loro proprietà.
Proprietà delle disuguaglianze
Le proprietà delle disuguaglianze includono le seguenti disposizioni:
- Il segno di disuguaglianza viene invertito se viene applicata l'operazione per cambiare la sequenza dei lati (ad esempio, se t1 ≦ t2, quindi t 2 ≧ t1).
- Entrambe le parti della disuguaglianza ti consentono di aggiungere lo stesso numero a te stesso (ad esempio, se t1 ≦ t2, quindi t 1 + numero ≦ t2 + numero).
- Due o più disuguaglianze con il segno della stessa direzione consentono di sommare le loro parti sinistra e destra (ad esempio, se t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, quindi t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Entrambe le parti della disuguaglianza si lasciano moltiplicare o dividere per lo stesso numero positivo (ad esempio, se t1 ≦ t2e numero ≦ 0, quindi numero t1 ≧ numero t2).
- Due o più disuguaglianze che hanno termini positivi e un segno della stessa direzione consentonomoltiplicarsi (ad esempio, se t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 quindi t1 t3 ≦ t2 t4).
- Entrambe le parti della disuguaglianza si lasciano moltiplicare o dividere per lo stesso numero negativo, ma il segno di disuguaglianza cambia (ad esempio, se t1 ≦ t2 e numero ≦ 0, quindi numero t1 ≧ numero t2).
- Tutte le disuguaglianze sono transitive (ad esempio, se t1 ≦ t2 e t2≦ t3, quindi t1 ≦ t3).
Ora, dopo aver studiato le principali disposizioni della teoria relativa alle disuguaglianze, possiamo procedere direttamente alla considerazione delle regole per la risoluzione dei loro sistemi.
Soluzione dei sistemi delle disuguaglianze. Informazione Generale. Soluzioni
Come accennato in precedenza, la soluzione sono i valori della variabile che si adattano a tutte le disuguaglianze del sistema dato. La soluzione dei sistemi di disuguaglianze è l'implementazione di operazioni matematiche che alla fine portano alla soluzione dell'intero sistema o dimostrano che non ha soluzioni. In questo caso, si dice che la variabile si riferisce all'insieme di numeri vuoto (scritto come segue: la lettera che denota la variabile ∈ (il segno "appartiene") ø (il segno "insieme vuoto"), ad esempio x ∈ ø (si legge così: "La variabile "x" appartiene all'insieme vuoto". Esistono diversi modi per risolvere i sistemi di disuguaglianza:grafico, algebrico, metodo di sostituzione. Vale la pena notare che si riferiscono a quei modelli matematici che hanno diverse variabili sconosciute. Nel caso in cui ce ne sia solo uno, il metodo di spaziatura andrà bene.
Metodo grafico
Ti permette di risolvere un sistema di disuguaglianze con diverse incognite (da due o più). Grazie a questo metodo, il sistema delle disuguaglianze lineari viene risolto abbastanza facilmente e rapidamente, quindi è il metodo più comune. Questo perché il tracciamento riduce la quantità di operazioni matematiche di scrittura. Diventa particolarmente piacevole prendersi una piccola pausa dalla penna, prendere una matita con un righello e procedere con ulteriori azioni con il loro aiuto quando è stato svolto molto lavoro e si desidera un po' di varietà. Tuttavia, ad alcuni non piace questo metodo a causa del fatto che devi staccarti dal compito e passare la tua attività mentale al disegno. Tuttavia, è un modo molto efficace.
Per risolvere un sistema di disuguaglianze usando un metodo grafico, è necessario trasferire tutti i membri di ciascuna disuguaglianza alla loro sinistra. I segni verranno invertiti, zero dovrebbe essere scritto a destra, quindi ogni disuguaglianza dovrebbe essere scritta separatamente. Di conseguenza, le funzioni saranno ottenute dalle disuguaglianze. Dopodiché, puoi ottenere una matita e un righello: ora devi disegnare un grafico di ogni funzione ottenuta. L'intero insieme di numeri che sarà nell'intervallo della loro intersezione sarà la soluzione al sistema delle disuguaglianze.
Modo algebrico
Ti permette di risolvere un sistema di disuguaglianze con due variabili sconosciute. Anche le disuguaglianze devono avere lo stesso segno di disuguaglianza (cioè devono contenere solo il segno "maggiore di" o solo il segno "minore di", ecc.) Nonostante i suoi limiti, questo metodo è anche più complicato. Si applica in due passaggi.
Il primo riguarda l'eliminazione di una delle variabili sconosciute. Per prima cosa devi selezionarlo, quindi verificare la presenza di numeri davanti a questa variabile. Se non ce ne sono (quindi la variabile apparirà come una singola lettera), allora non cambiamo nulla, se c'è (il tipo di variabile sarà, ad esempio, 5y o 12y), allora è necessario assicurarsi che in ogni disuguaglianza il numero davanti alla variabile selezionata è lo stesso. Per fare ciò, devi moltiplicare ogni membro delle disuguaglianze per un fattore comune, ad esempio, se 3y è scritto nella prima disuguaglianza e 5y nella seconda, allora devi moltiplicare tutti i membri della prima disuguaglianza per 5, e il secondo di 3. Ottieni rispettivamente 15 e 15 anni.
La seconda fase della decisione. È necessario trasferire il lato sinistro di ciascuna disuguaglianza sul lato destro con un cambiamento nel segno di ogni termine al contrario, scrivere zero a destra. Poi arriva la parte divertente: eliminare la variabile scelta (altrimenti nota come "riduzione") sommando le disuguaglianze. Otterrai una disuguaglianza con una variabile che deve essere risolta. Dopodiché, dovresti fare lo stesso, solo con un' altra variabile sconosciuta. I risultati ottenuti saranno la soluzione del sistema.
Metodo di sostituzione
Ti permette di risolvere un sistema di disuguaglianze quando hai l'opportunità di introdurre una nuova variabile. Solitamente questo metodo viene utilizzato quando la variabile incognita in un termine della disuguaglianza è elevata alla quarta potenza e nell' altro termine è al quadrato. Pertanto, questo metodo mira a ridurre il grado di disuguaglianza nel sistema. La disuguaglianza campionaria x4 - x2 - 1 ≦ 0 viene risolta in questo modo come segue. Viene introdotta una nuova variabile, ad esempio t. Scrivono: "Let t=x2", quindi il modello viene riscritto in una nuova forma. Nel nostro caso, otteniamo t2 - t - 1 ≦0. Questa disuguaglianza deve essere risolta con il metodo dell'intervallo (a questo proposito un po 'più tardi), quindi tornare alla variabile X, quindi fare lo stesso con un' altra disuguaglianza. Le risposte ricevute saranno una decisione del sistema.
Metodo intervallo
Questo è il modo più semplice per risolvere i sistemi di disuguaglianze, e allo stesso tempo è universale e diffuso. È usato al liceo e anche al liceo. La sua essenza sta nel fatto che lo studente sta cercando intervalli di disuguaglianza sulla linea dei numeri, che viene disegnata su un quaderno (questo non è un grafico, ma solo una normale linea retta con numeri). Dove gli intervalli delle disuguaglianze si intersecano, si trova la soluzione del sistema. Per utilizzare il metodo di spaziatura, attenersi alla seguente procedura:
- Tutti i membri di ciascuna disuguaglianza vengono trasferiti sul lato sinistro con un cambio di segno all'opposto (a destra viene scritto zero).
- Le disuguaglianze vengono scritte separatamente, viene determinata la soluzione di ciascuna di esse.
- Le intersezioni delle disuguaglianze sul numericodritto. Tutti i numeri a questi incroci saranno la soluzione.
Come utilizzare?
Ovviamente quello che sembra il più semplice e conveniente, ma ci sono momenti in cui le attività richiedono un certo metodo. Molto spesso, dicono che devi risolvere usando un grafico o usando il metodo dell'intervallo. Il metodo algebrico e la sostituzione sono usati molto raramente o per niente, poiché sono piuttosto complessi e confusi, e inoltre sono più usati per risolvere sistemi di equazioni piuttosto che disequazioni, quindi dovresti ricorrere a disegnare grafici e intervalli. Portano visibilità, che non può che contribuire alla conduzione efficiente e veloce delle operazioni matematiche.
Se qualcosa non funziona
Durante lo studio di un particolare argomento in algebra, ovviamente, potrebbero esserci problemi con la sua comprensione. E questo è normale, perché il nostro cervello è progettato in modo tale da non essere in grado di comprendere materiale complesso in una volta sola. Spesso è necessario rileggere un paragrafo, farsi aiutare da un insegnante o esercitarsi a risolvere problemi tipici. Nel nostro caso si presentano, ad esempio, così: "Risolvi il sistema delle disuguaglianze 3 x + 1 ≧ 0 e 2 x - 1 > 3". Pertanto, l'impegno personale, l'aiuto di estranei e la pratica aiutano a comprendere qualsiasi argomento complesso.
Reshebnik?
E anche il libro delle soluzioni è molto buono, ma non per imbrogliare i compiti, ma per auto-aiuto. In essi puoi trovare sistemi di disuguaglianze con una soluzione, guardaloro (come i modelli), cerca di capire esattamente come l'autore della soluzione ha affrontato l'attività, quindi prova a farlo da solo.
Conclusioni
L'algebra è una delle materie più difficili a scuola. Dunque, cosa puoi fare? La matematica è sempre stata così: per alcuni arriva facilmente, per altri è difficile. Ma in ogni caso, va ricordato che il programma di istruzione generale è progettato in modo tale che qualsiasi studente possa affrontarlo. Inoltre, devi tenere a mente un numero enorme di assistenti. Alcuni di loro sono stati menzionati sopra.
