La capacità di lavorare con espressioni numeriche contenenti una radice quadrata è necessaria per la riuscita soluzione di una serie di problemi dell'OGE e dell'USE. In questi esami, di solito è sufficiente una comprensione di base di cosa sia l'estrazione della radice e come viene eseguita in pratica.
Definizione
La radice n-esima di un numero X è un numero x per il quale l'uguaglianza è vera: xn =X.
Trovare il valore di un'espressione con una radice significa trovare x dati X e n.
La radice quadrata o, che è la stessa, la seconda radice di X - il numero x per il quale è soddisfatta l'uguaglianza: x2 =X.
Designazione: ∛Х. Qui 3 è il grado della radice, X è l'espressione della radice. Il segno '√' è spesso chiamato radicale.
Se il numero sopra la radice non indica il grado, il valore predefinito è il grado 2.
In un corso scolastico per diplomi pari, le radici negative e le espressioni radicali di solito non vengono considerate. Ad esempio, non c'è√-2, e per l'espressione √4, la risposta corretta è 2, nonostante anche (-2)2 sia uguale a 4.
Razionalità e irrazionalità delle radici
Il compito più semplice possibile con una radice è trovare il valore di un'espressione o verificarne la razionalità.
Ad esempio, calcola i valori √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 perché 52 =25;
- ∛8=2 perché 23 =8;
- ∛ - 125=-5 poiché (-5)3 =-125.
Le risposte negli esempi forniti sono numeri razionali.
Quando si lavora con espressioni che non contengono costanti e variabili letterali, si consiglia di eseguire sempre tale controllo utilizzando l'operazione inversa di elevazione a una potenza naturale. Trovare il numero x all'ennesima potenza equivale a calcolare il prodotto di n fattori di x.
Ci sono molte espressioni con una radice, il cui valore è irrazionale, cioè scritto come una frazione infinita non periodica.
Per definizione, i razionali sono quelli che possono essere espressi come una frazione comune e gli irrazionali sono tutti gli altri numeri reali.
Questi includono √24, √0, 1, √101.
Se il libro dei problemi dice: trova il valore dell'espressione con radice 2, 3, 5, 6, 7, ecc., cioè da quei numeri naturali che non sono contenuti nella tabella dei quadrati, allora la risposta corretta è √ 2 possono essere presenti (se non diversamente specificato).
Valutazione
In problemi conuna risposta aperta, se è impossibile trovare il valore di un'espressione con una radice e scriverlo come numero razionale, il risultato dovrebbe essere lasciato come un radicale.
Alcuni incarichi potrebbero richiedere una valutazione. Ad esempio, confronta 6 e √37. La soluzione richiede la quadratura di entrambi i numeri e il confronto dei risultati. Di due numeri, quello il cui quadrato è maggiore è maggiore. Questa regola funziona per tutti i numeri positivi:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- significa √37 > 6.
Allo stesso modo, vengono risolti problemi in cui diversi numeri devono essere disposti in ordine crescente o decrescente.
Esempio: Disponi 5, √6, √48, √√64 in ordine crescente.
Dopo la quadratura, abbiamo: 25, 6, 48, √64. Si potrebbero quadrare di nuovo tutti i numeri per confrontarli con √64, ma è uguale al numero razionale 8. 6 < 8 < 25 < 48, quindi la soluzione è: 48.
Semplificare l'espressione
Succede che è impossibile trovare il valore di un'espressione con una radice, quindi deve essere semplificato. La seguente formula aiuta in questo:
√ab=√a√b.
La radice del prodotto di due numeri è uguale al prodotto delle loro radici. Questa operazione richiederà anche la capacità di fattorizzare un numero.
Nella fase iniziale, per velocizzare il lavoro, si consiglia di avere a portata di mano una tabella di numeri primi e quadrati. Queste tabelle con frequentel'uso in futuro sarà ricordato.
Ad esempio, √242 è un numero irrazionale, puoi convertirlo in questo modo:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Di solito il risultato è scritto come 11√2 (leggi: undici radici su due).
Se è difficile vedere immediatamente in quali due fattori deve essere scomposto un numero in modo che una radice naturale possa essere estratta da uno di essi, puoi usare la scomposizione completa in fattori primi. Se lo stesso numero primo ricorre due volte nell'espansione, viene tolto dal segno radice. Quando ci sono molti fattori, puoi estrarre la radice in diversi passaggi.
Esempio: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Il numero 2 compare nell'espansione 2 volte (in effetti, più di due volte, ma siamo ancora interessati alle prime due occorrenze nell'espansione).
Lo togliamo da sotto il segno della radice:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Ripeti la stessa azione:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
Nella restante espressione radicale, 2 e 3 ricorrono una volta, quindi resta da eliminare il fattore 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
ed eseguire operazioni aritmetiche:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Quindi, otteniamo √2400=20√6.
Se l'attività non afferma esplicitamente: "trova il valore dell'espressione con radice quadrata", allora la scelta,in quale forma lasciare la risposta (se estrarre la radice da sotto il radicale) rimane con lo studente e può dipendere dalla risoluzione del problema.
In primo luogo, vengono posti requisiti elevati alla progettazione dei compiti, al calcolo, anche orale o scritto, senza l'uso di mezzi tecnici.
Solo dopo una buona padronanza delle regole per lavorare con le espressioni numeriche irrazionali, ha senso passare a espressioni letterali più difficili e alla risoluzione di equazioni irrazionali e al calcolo dell'intervallo di valori possibili dell'espressione sotto il radicale.
Gli studenti incontrano questo tipo di problema all'esame di stato unificato in matematica, così come al primo anno di università specializzate quando studiano analisi matematica e discipline correlate.
