In questo articolo, il metodo è considerato un modo per risolvere i sistemi di equazioni lineari (SLAE). Il metodo è analitico, ovvero consente di scrivere un algoritmo di soluzione generale e quindi di sostituire i valori di esempi specifici lì. A differenza del metodo matriciale o delle formule di Cramer, quando si risolve un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss, si può lavorare anche con quelli che hanno infinite soluzioni. O non ce l'hai affatto.
Cosa significa risolvere con il metodo di Gauss?
Per prima cosa, dobbiamo scrivere il nostro sistema di equazioni come una matrice. Sembra questo. Il sistema è preso:
I coefficienti sono scritti sotto forma di tabella ea destra in una colonna separata - membri liberi. La colonna con i membri liberi è separata per comodità da una barra verticale. Una matrice che include questa colonna è chiamata estesa.
Successivamente, la matrice principale con i coefficienti deve essere ridotta alla forma triangolare superiore. Questo è il punto principale della risoluzione del sistema con il metodo di Gauss. In poche parole, dopo alcune manipolazioni, la matrice dovrebbe apparire così, in modo che ci siano solo zeri nella sua parte in basso a sinistra:
Allora, se scrivi di nuovo la nuova matrice come sistema di equazioni, noterai che l'ultima riga contiene già il valore di una delle radici, che viene poi sostituita nell'equazione sopra, si trova un' altra radice, e così via.
Questa è una descrizione della soluzione gaussiana nei termini più generali. E cosa succede se all'improvviso il sistema non ha una soluzione? O ce ne sono un numero infinito? Per rispondere a queste ea molte altre domande, è necessario considerare separatamente tutti gli elementi utilizzati nella soluzione dal metodo di Gauss.
Matrici, le loro proprietà
Non c'è alcun significato nascosto nella matrice. È solo un modo conveniente per registrare i dati per le operazioni successive. Anche gli scolari non dovrebbero aver paura di loro.
La matrice è sempre rettangolare perché è più comoda. Anche nel metodo di Gauss, dove tutto si riduce alla costruzione di una matrice triangolare, nella voce compare un rettangolo, solo con zeri nel punto in cui non ci sono numeri. Gli zeri possono essere omessi, ma sono impliciti.
Matrix ha dimensioni. La sua "larghezza" è il numero di righe (m), la sua "lunghezza" è il numero di colonne (n). Quindi la dimensione della matrice A (le lettere latine maiuscole sono solitamente usate per la loro designazione) sarà indicata come Am×n. Se m=n, allora questa matrice è quadrata, em=n - il suo ordine. Di conseguenza, qualsiasi elemento della matrice A può essere indicato dal numero della sua riga e colonna: axy; x - numero di riga, modifica [1, m], y - numero di colonna, modifica [1, n].
Nel metodo gaussiano, le matrici non sono il punto principale della soluzione. In linea di principio, tutte le operazioni possono essere eseguite direttamente con le equazioni stesse, tuttavia, la notazione sarà molto più ingombrante e sarà molto più facile confondersi in essa.
Qualificazione
Anche la matrice ha un determinante. Questa è una caratteristica molto importante. Scoprire il suo significato ora non vale la pena, puoi semplicemente mostrare come viene calcolato e quindi dire quali proprietà della matrice determina. Il modo più semplice per trovare il determinante è attraverso le diagonali. Le diagonali immaginarie sono disegnate nella matrice; si moltiplicano gli elementi posti su ciascuno di essi, quindi si sommano i prodotti risultanti: diagonali con pendenza a destra - con segno "più", con pendenza a sinistra - con segno "meno".
È estremamente importante notare che il determinante può essere calcolato solo per una matrice quadrata. Per una matrice rettangolare, puoi fare quanto segue: scegliere il più piccolo tra il numero di righe e il numero di colonne (lascia che sia k), quindi contrassegnare casualmente k colonne e k righe nella matrice. Gli elementi situati all'intersezione delle colonne e delle righe selezionate formeranno una nuova matrice quadrata. Se il determinante di tale matrice è un numero diverso da zero, allora sarà chiamato minore di base della matrice rettangolare originale.
Primacome iniziare a risolvere un sistema di equazioni con il metodo di Gauss, non fa male calcolare il determinante. Se risulta essere zero, allora possiamo immediatamente dire che la matrice ha un numero infinito di soluzioni o non ce ne sono affatto. In un caso così triste, devi andare oltre e scoprire il rango della matrice.
Classificazione dei sistemi
Esiste qualcosa come il rango di una matrice. Questo è l'ordine massimo del suo determinante diverso da zero (ricordando la base minore, possiamo dire che il rango di una matrice è l'ordine della base minore).
Per come stanno le cose con il grado, SLOW può essere suddiviso in:
- Unito. Per i sistemi articolari, il rango della matrice principale (costituita solo da coefficienti) coincide con il rango di quella estesa (con colonna di termini liberi). Tali sistemi hanno una soluzione, ma non necessariamente una, quindi i sistemi articolari sono ulteriormente suddivisi in:
- - definito - avendo una soluzione unica. In alcuni sistemi, il rango della matrice e il numero di incognite sono uguali (o il numero di colonne, che è la stessa cosa);
- - indefinito - con un numero infinito di soluzioni. Il rango delle matrici in tali sistemi è inferiore al numero di incognite.
- Incompatibile. Per tali sistemi, i ranghi della matrice principale ed estesa non corrispondono. I sistemi incompatibili non hanno soluzione.
Il metodo di Gauss è buono perché permette di ottenere sia una dimostrazione univoca dell'incoerenza del sistema (senza calcolare i determinanti di grandi matrici) sia una soluzione generale per un sistema con un numero infinito di soluzioni.
Trasformazioni elementari
Primacome procedere direttamente alla soluzione del sistema, puoi renderlo meno ingombrante e più comodo per i calcoli. Ciò si ottiene attraverso trasformazioni elementari, in modo tale che la loro implementazione non modifichi in alcun modo la risposta finale. Si noti che alcune delle suddette trasformazioni elementari sono valide solo per matrici la cui sorgente era proprio lo SLAE. Ecco un elenco di queste trasformazioni:
- Cambia le stringhe. È ovvio che se cambiamo l'ordine delle equazioni nel record di sistema, ciò non influirà in alcun modo sulla soluzione. Pertanto, è anche possibile scambiare righe nella matrice di questo sistema, senza dimenticare, ovviamente, la colonna dei membri liberi.
- Moltiplicare tutti gli elementi di una stringa per qualche fattore. Molto utile! Con esso, puoi ridurre i numeri grandi nella matrice o rimuovere gli zeri. L'insieme di soluzioni, come al solito, non cambierà e diventerà più conveniente eseguire ulteriori operazioni. La cosa principale è che il coefficiente non dovrebbe essere uguale a zero.
- Cancella linee con coefficienti proporzionali. Ciò deriva in parte dal paragrafo precedente. Se due o più righe nella matrice hanno coefficienti proporzionali, quando si moltiplica / divide una delle righe per il coefficiente di proporzionalità, si ottengono due (o, ancora, più) righe assolutamente identiche e puoi rimuovere quelle extra, lasciando solo uno.
- Cancella la riga nulla. Se nel corso delle trasformazioni si ottiene una stringa da qualche parte in cui tutti gli elementi, incluso il membro libero, sono zero, allora tale stringa può essere chiamata zero ed espulsa dalla matrice.
- Aggiungere agli elementi di una riga di elementi di un' altra (secondocolonne corrispondenti) moltiplicato per un coefficiente. La trasformazione più oscura e più importante di tutte. Vale la pena soffermarsi su di esso in modo più dettagliato.
Aggiungere una stringa moltiplicata per un fattore
Per facilità di comprensione, vale la pena smontare questo processo passo dopo passo. Due righe sono prese dalla matrice:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Diciamo che devi sommare il primo moltiplicato per il coefficiente "-2" al secondo.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Quindi la seconda riga della matrice viene sostituita con una nuova, mentre la prima rimane invariata.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Si noti che il fattore di moltiplicazione può essere scelto in modo tale che, sommando due stringhe, uno degli elementi della nuova stringa sia uguale a zero. Pertanto, è possibile ottenere un'equazione nel sistema, dove ce ne sarà un'incognita in meno. E se ottieni due di queste equazioni, l'operazione può essere eseguita di nuovo e ottenere un'equazione che conterrà già due incognite in meno. E se ogni volta che giriamo a zero un coefficiente per tutte le righe che sono inferiori a quella originale, allora possiamo, come dei passaggi, scendere fino in fondo alla matrice e ottenere un'equazione con un'incognita. Questo è chiamatorisolvere il sistema usando il metodo di Gauss.
Generalmente
Che ci sia un sistema. Ha m equazioni e n radici sconosciute. Puoi scriverlo in questo modo:
La matrice principale viene compilata dai coefficienti del sistema. Una colonna di membri gratuiti viene aggiunta alla matrice espansa e separata da una barra per comodità.
Successivo:
- la prima riga della matrice viene moltiplicata per il coefficiente k=(-a21/a11);
- vengono aggiunte la prima riga modificata e la seconda riga della matrice;
- invece della seconda riga, viene inserito nella matrice il risultato dell'addizione del paragrafo precedente;
- ora il primo coefficiente nella nuova seconda riga è a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Ora viene eseguita la stessa serie di trasformazioni, sono coinvolte solo la prima e la terza riga. Di conseguenza, in ogni fase dell'algoritmo, l'elemento a21 viene sostituito da a31. Quindi tutto si ripete per a41, … am1. Il risultato è una matrice in cui il primo elemento nelle righe [2, m] è uguale a zero. Ora devi dimenticare la riga numero uno ed eseguire lo stesso algoritmo a partire dalla seconda riga:
- Coefficiente di k=(-a32/a22);
- la seconda riga modificata viene aggiunta alla riga "corrente";
- il risultato dell'addizione viene sostituito nella terza, quarta e così via, mentre la prima e la seconda rimangono invariate;
- nelle righe [3, m] della matrice, i primi due elementi sono già uguali a zero.
L'algoritmo deve essere ripetuto fino a quando appare il coefficiente k=(-am, m-1/amm). Ciò significa che l'algoritmo è stato eseguito l'ultima volta solo per l'equazione inferiore. Ora la matrice sembra un triangolo o ha una forma a gradini. La riga inferiore contiene l'equazione amn × x =bm. Il coefficiente e il termine libero sono noti e tramite essi si esprime la radice: x =bm/amn. La radice risultante viene sostituita nella riga superiore per trovare xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. E così via per analogia: in ogni riga successiva c'è una nuova radice, e, raggiunto il "top" del sistema, si può trovare un insieme di soluzioni [x1, … x ]. Sarà l'unico.
Quando non ci sono soluzioni
Se in una delle righe della matrice tutti gli elementi, ad eccezione del termine libero, sono uguali a zero, l'equazione corrispondente a questa riga appare come 0=b. Non ha soluzione. E poiché tale equazione è inclusa nel sistema, allora l'insieme delle soluzioni dell'intero sistema è vuoto, cioè è degenerato.
Quando c'è un numero infinito di soluzioni
Può risultare che nella matrice triangolare ridotta non ci sono righe con un elemento - il coefficiente dell'equazione, e uno - un membro libero. Ci sono solo stringhe che, una volta riscritte, sembrerebbero un'equazione con due o più variabili. Ciò significa che il sistema ha un numero infinito di soluzioni. In questo caso, la risposta può essere data sotto forma di una soluzione generale. Come si fa?
Tuttile variabili nella matrice sono divise in base e libere. Base: questi sono quelli che stanno "sul bordo" delle righe nella matrice a gradini. Il resto è gratuito. Nella soluzione generale, le variabili di base sono scritte in termini di quelle libere.
Per comodità, la matrice viene prima riscritta in un sistema di equazioni. Quindi nell'ultimo di essi, dove è rimasta esattamente una sola variabile di base, rimane da un lato e tutto il resto viene trasferito dall' altro. Questo viene fatto per ogni equazione con una variabile di base. Quindi, nel resto delle equazioni, ove possibile, al posto della variabile di base, viene sostituita l'espressione ottenuta per essa. Se il risultato è di nuovo un'espressione contenente solo una variabile di base, viene espressa di nuovo da lì, e così via, finché ogni variabile di base non viene scritta come un'espressione con variabili libere. Questa è la soluzione generale di SLAE.
Puoi anche trovare la soluzione di base del sistema: dai qualsiasi valore alle variabili libere, quindi calcola i valori delle variabili di base per questo caso particolare. Ci sono infinite soluzioni particolari.
Soluzione con esempi specifici
Ecco un sistema di equazioni.
Per comodità, è meglio creare subito la sua matrice
È noto che risolvendo con il metodo di Gauss, l'equazione corrispondente alla prima riga rimarrà invariata al termine delle trasformazioni. Pertanto, sarà più redditizio se l'elemento in alto a sinistra della matrice è il più piccolo, quindi i primi elementiil resto delle righe dopo le operazioni andrà a zero. Ciò significa che nella matrice compilata sarà utile inserire la seconda riga al posto della prima.
Successivamente, devi cambiare la seconda e la terza riga in modo che i primi elementi diventino zero. Per fare ciò, aggiungili al primo, moltiplicato per un coefficiente:
seconda riga: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
terza riga: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Ora, per non confonderti, devi scrivere una matrice con risultati intermedi di trasformazioni.
Ovviamente, una tale matrice può essere resa più leggibile con l'aiuto di alcune operazioni. Ad esempio, puoi rimuovere tutti gli "meno" dalla seconda riga moltiplicando ogni elemento per "-1".
Vale anche la pena notare che nella terza riga tutti gli elementi sono multipli di tre. Allora puoitaglia la stringa per questo numero, moltiplicando ogni elemento per "-1/3" (meno - allo stesso tempo per rimuovere i valori negativi).
Sembra molto più bello. Ora dobbiamo lasciare da sola la prima riga e lavorare con la seconda e la terza. Il compito è aggiungere la seconda riga alla terza riga, moltiplicata per un fattore tale che l'elemento a32 diventi zero.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (se durante alcune trasformazioni nella risposta risultata non essere un numero intero, si consiglia di lasciarlo “così com'è”, sotto forma di frazione ordinaria, e solo allora, quando si ricevono le risposte, decidere se arrotondare e convertire in un' altra forma di notazione)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
La matrice viene riscritta con nuovi valori.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Come puoi vedere, la matrice risultante ha già una forma a gradini. Non sono quindi necessarie ulteriori trasformazioni del sistema con il metodo di Gauss. Quello che si può fare qui è rimuovere il coefficiente complessivo "-1/7" dalla terza riga.
Ora tuttisimpatico. Il punto è piccolo: scrivi di nuovo la matrice sotto forma di un sistema di equazioni e calcola le radici
x + 2y + 4z=12 (1)
7a + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
L'algoritmo con il quale verranno ora trovate le radici è chiamato movimento inverso nel metodo di Gauss. L'equazione (3) contiene il valore z:
z=61/9
Successivamente, torna alla seconda equazione:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
E la prima equazione ti permette di trovare x:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Abbiamo il diritto di chiamare un tale sistema congiunto e persino definito, cioè avere una soluzione unica. La risposta è scritta nella forma seguente:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Esempio di sistema indefinito
È stata analizzata la variante di risolvere un certo sistema con il metodo di Gauss, ora è necessario considerare il caso se il sistema è indefinito, cioè si possono trovare infinite soluzioni per esso.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
La stessa forma del sistema è già allarmante, perché il numero di incognite è n=5, e il rango della matrice del sistema è già esattamente inferiore a questo numero, perché il numero di righe è m=4, cioè l'ordine più grande del determinante quadrato è 4. Quindi,Ci sono un numero infinito di soluzioni e dobbiamo cercare la sua forma generale. Il metodo di Gauss per le equazioni lineari ti consente di farlo.
Prima, come al solito, viene compilata la matrice aumentata.
Seconda riga: coefficiente k=(-a21/a11)=-3. Nella terza riga, il primo elemento è prima delle trasformazioni, quindi non devi toccare nulla, devi lasciarlo così com'è. Quarta riga: k=(-a41/a11)=-5
Moltiplicando a turno gli elementi della prima riga per ciascuno dei loro coefficienti e sommandoli alle righe richieste, otteniamo una matrice della forma seguente:
Come puoi vedere, la seconda, la terza e la quarta riga sono costituite da elementi proporzionali tra loro. Il secondo e il quarto sono generalmente gli stessi, quindi uno di essi può essere rimosso immediatamente e il resto moltiplicato per il coefficiente "-1" e ottieni la riga numero 3. E ancora, lascia una delle due righe identiche.
Il risultato è una tale matrice. Il sistema non è stato ancora scritto, è necessario qui determinare le variabili di base - stando ai coefficienti a11=1 e a22=1 e gratis - tutto il resto.
C'è solo una variabile di base nella seconda equazione - x2. Quindi, può essere espresso da lì, scrivendo attraverso le variabili x3, x4, x5, che sono gratuiti.
Sostituisci l'espressione risultante nella prima equazione.
Si è rivelata un'equazione in cuil'unica variabile di base è x1. Facciamo lo stesso con x2.
Tutte le variabili di base, di cui ce ne sono due, sono espresse in termini di tre libere, ora puoi scrivere la risposta in forma generale.
Puoi anche specificare una delle soluzioni particolari del sistema. Per tali casi, di norma, gli zeri vengono scelti come valori per le variabili libere. Allora la risposta sarà:
-16, 23, 0, 0, 0.
Un esempio di sistema incoerente
La soluzione di sistemi di equazioni incoerenti con il metodo di Gauss è la più veloce. Termina non appena in uno degli stadi si ottiene un'equazione che non ha soluzione. Cioè, la fase con il calcolo delle radici, che è piuttosto lunga e triste, scompare. Si sta prendendo in considerazione il seguente sistema:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Come al solito, la matrice viene compilata:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
E ridotto a una forma a gradini:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Dopo la prima trasformazione, la terza riga contiene un'equazione della forma
0=7, nessuna soluzione. Pertanto, il sistemaè incoerente e la risposta è il set vuoto.
Vantaggi e svantaggi del metodo
Se scegli quale metodo risolvere SLAE su carta con una penna, il metodo considerato in questo articolo sembra il più attraente. Nelle trasformazioni elementari, è molto più difficile confondersi di quanto accada se devi cercare manualmente il determinante o qualche complicata matrice inversa. Tuttavia, se si utilizzano programmi per lavorare con dati di questo tipo, ad esempio fogli di calcolo, risulta che tali programmi contengono già algoritmi per il calcolo dei parametri principali delle matrici: determinante, minori, matrici inverse e trasposte e così via. E se sei sicuro che la macchina calcolerà da sola questi valori e non commetterà errori, è più opportuno utilizzare il metodo delle matrici o le formule di Cramer, perché la loro applicazione inizia e finisce con il calcolo di determinanti e matrici inverse.
Applicazione
Poiché la soluzione gaussiana è un algoritmo e la matrice è, in effetti, un array bidimensionale, può essere utilizzata nella programmazione. Ma poiché l'articolo si posiziona come una guida "per i manichini", va detto che il posto più semplice in cui inserire il metodo sono i fogli di calcolo, ad esempio Excel. Anche in questo caso, qualsiasi SLAE inserito in una tabella sotto forma di matrice sarà considerato da Excel come un array bidimensionale. E per le operazioni con loro, ci sono molti bei comandi: addizione (puoi aggiungere solo matrici della stessa dimensione!), Moltiplicazione per un numero, moltiplicazione di matrici (anche condeterminate restrizioni), trovare le matrici inverse e trasposte e, soprattutto, calcolare il determinante. Se questa operazione dispendiosa in termini di tempo viene sostituita da un singolo comando, è molto più veloce determinare il rango di una matrice e, quindi, stabilirne la compatibilità o l'incoerenza.
