Matrici: metodo di Gauss. Calcolo della matrice di Gauss: esempi

2024 Autore: Angel Austin | [email protected]. Ultima modifica: 2023-12-17 05:31

L'algebra lineare, insegnata nelle università in varie specialità, combina molti argomenti complessi. Alcuni di essi sono legati alle matrici, nonché alla soluzione di sistemi di equazioni lineari con i metodi di Gauss e Gauss-Jordan. Non tutti gli studenti riescono a comprendere questi argomenti, algoritmi per risolvere vari problemi. Comprendiamo insieme matrici e metodi di Gauss e Gauss-Jordan.

Concetti di base

Una matrice in algebra lineare è una matrice rettangolare di elementi (tabella). Di seguito sono riportati gli insiemi di elementi racchiusi tra parentesi. Queste sono matrici. Dall'esempio sopra, si può vedere che gli elementi negli array rettangolari non sono solo numeri. La matrice può essere costituita da funzioni matematiche, simboli algebrici.

Per comprendere alcuni concetti, creiamo una matrice A dagli elementi a_ij. Gli indici non sono solo lettere: i è il numero della riga nella tabella e j è il numero della colonna, nell'area dell'intersezione di cui si trova l'elementoa_ij. Quindi, vediamo che abbiamo una matrice di elementi come a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ e così via La lettera n indica il numero di colonne e la lettera m indica il numero di righe. Il simbolo m × n indica la dimensione della matrice. Questo è il concetto che definisce il numero di righe e colonne in una matrice rettangolare di elementi.

Facoltativamente, la matrice deve avere diverse colonne e righe. Con una dimensione di 1 × n, l'array di elementi è a riga singola e con una dimensione di m × 1 è un array a colonna singola. Quando il numero di righe e il numero di colonne sono uguali, la matrice si chiama quadrato. Ogni matrice quadrata ha un determinante (det A). Questo termine si riferisce al numero assegnato alla matrice A.

Alcuni concetti più importanti da ricordare per risolvere con successo le matrici sono le diagonali principali e secondarie. La diagonale principale di una matrice è la diagonale che scende nell'angolo destro del tavolo dall'angolo in alto a sinistra. La diagonale laterale va all'angolo destro dall'angolo sinistro dal basso.

Vista matrice a gradini

Guarda l'immagine qui sotto. Su di esso vedrai una matrice e un diagramma. Analizziamo prima la matrice. In algebra lineare, una matrice di questo tipo è chiamata matrice a gradini. Ha una proprietà: se a_ij è il primo elemento diverso da zero nella riga i-esima, allora tutti gli altri elementi della matrice sottostante ea sinistra di a_ij , sono nulli (cioè, tutti quegli elementi a cui può essere assegnata la designazione della lettera a_kl, dove k>i el<j).

Ora considera il diagramma. Riflette la forma a gradini della matrice. Lo schema mostra 3 tipi di celle. Ogni tipo denota determinati elementi:

• celle vuote - zero elementi della matrice;
• Le celle ombreggiate sono elementi arbitrari che possono essere sia zero che diversi da zero;
• I quadrati neri sono elementi diversi da zero, che sono chiamati elementi d'angolo, "passi" (nella matrice mostrata accanto ad essi, tali elementi sono i numeri –1, 5, 3, 8).

Quando si risolvono matrici, a volte il risultato è che la "lunghezza" del passaggio è maggiore di 1. Questo è consentito. Conta solo "l' altezza" dei gradini. In una matrice di passi, questo parametro deve essere sempre uguale a uno.

Riduzione della matrice in forma graduale

Qualsiasi matrice rettangolare può essere convertita in una forma a gradini. Questo avviene attraverso trasformazioni elementari. Includono:

• riordinamento delle corde;
• Aggiungere un' altra riga a una riga, se necessario moltiplicata per un numero (puoi anche eseguire un'operazione di sottrazione).

Consideriamo le trasformazioni elementari nella risoluzione di un problema specifico. La figura seguente mostra la matrice A, che deve essere ridotta a una forma a gradini.

Per risolvere il problema, seguiremo l'algoritmo:

• È conveniente eseguire trasformazioni su una matrice conil primo elemento nell'angolo in alto a sinistra (cioè l'elemento "principale") è 1 o -1. Nel nostro caso, il primo elemento nella riga superiore è 2, quindi scambiamo la prima e la seconda riga.
• Eseguiamo operazioni di sottrazione, interessando le righe 2, 3 e 4. Dovremmo ottenere degli zeri nella prima colonna sotto l'elemento "principale". Per ottenere questo risultato: dagli elementi della riga n. 2, sottraiamo sequenzialmente gli elementi della riga n. 1, moltiplicati per 2; dagli elementi della riga n. 3 sottraiamo sequenzialmente gli elementi della riga n. 1, moltiplicati per 4; dagli elementi della riga n. 4 sottraiamo sequenzialmente gli elementi della riga n. 1.
• Successivamente, lavoreremo con una matrice troncata (senza colonna n. 1 e senza riga n. 1). Il nuovo elemento "principale", che si trova all'intersezione della seconda colonna e della seconda riga, è uguale a -1. Non è necessario riordinare le righe, quindi riscriviamo la prima colonna e la prima e la seconda riga senza modifiche. Eseguiamo operazioni di sottrazione per ottenere degli zeri nella seconda colonna sotto l'elemento "principale": dagli elementi della terza riga sottraiamo sequenzialmente gli elementi della seconda riga, moltiplicati per 3; sottrai gli elementi della seconda riga moltiplicati per 2 dagli elementi della quarta riga.
• Resta da cambiare l'ultima riga. Dai suoi elementi sottraiamo successivamente gli elementi della terza riga. Quindi, abbiamo una matrice a gradini.

La riduzione delle matrici a una forma graduale viene utilizzata nella risoluzione di sistemi di equazioni lineari (SLE) con il metodo di Gauss. Prima di esaminare questo metodo, comprendiamo alcuni dei termini relativi a SLN.

Matrici e sistemi di equazioni lineari

Le matrici sono usate in varie scienze. Usando tabelle di numeri, puoi, ad esempio, risolvere equazioni lineari combinate in un sistema usando il metodo di Gauss. Per prima cosa, conosciamo alcuni termini e le loro definizioni, e vediamo anche come si forma una matrice da un sistema che combina diverse equazioni lineari.

SLU – Diverse equazioni algebriche combinate con incognite di prima potenza e nessun termine prodotto.

Soluzione SLE – ha trovato valori di incognite, sostituendo i quali le equazioni nel sistema diventano identità.

Un LES articolare è un sistema di equazioni che ha almeno una soluzione.

SLE incoerente è un sistema di equazioni che non ha soluzioni.

Come si forma una matrice basata su un sistema che combina equazioni lineari? Esistono concetti come le matrici principali ed estese del sistema. Per ottenere la matrice principale del sistema è necessario inserire nella tabella tutti i coefficienti per le incognite. La matrice espansa si ottiene aggiungendo una colonna di termini liberi alla matrice principale (comprende elementi noti a cui ogni equazione nel sistema è equiparata). Puoi capire l'intero processo studiando l'immagine qui sotto.

La prima cosa che vediamo nell'immagine è un sistema che include equazioni lineari. I suoi elementi: a_ij – coefficienti numerici, x_j – valori sconosciuti, b_i – termini costanti (dove i=1, 2, …, m, e j=1, 2, …, n). Il secondo elemento nell'immagine è la matrice principale dei coefficienti. Da ciascuna equazione, i coefficienti sono scritti in una riga. Di conseguenza, ci sono tante righe nella matrice quante sono le equazioni nel sistema. Il numero di colonne è uguale al maggior numero di coefficienti in qualsiasi equazione. Il terzo elemento nell'immagine è una matrice aumentata con una colonna di termini liberi.

Informazioni generali sul metodo Gauss

Nell'algebra lineare, il metodo di Gauss è il modo classico per risolvere il LES. Porta il nome di Carl Friedrich Gauss, vissuto nei secoli XVIII-XIX. Questo è uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. L'essenza del metodo di Gauss consiste nell'eseguire trasformazioni elementari su un sistema di equazioni algebriche lineari. Con l'aiuto delle trasformazioni, il SLE viene ridotto a un sistema equivalente di forma triangolare (a gradini), da cui si possono trovare tutte le variabili.

Vale la pena notare che Carl Friedrich Gauss non è lo scopritore del metodo classico di risoluzione di un sistema di equazioni lineari. Il metodo è stato inventato molto prima. La sua prima descrizione si trova nell'enciclopedia della conoscenza degli antichi matematici cinesi, chiamata "La matematica in 9 libri".

Un esempio di risoluzione del LES con il metodo di Gauss

Consideriamo la soluzione dei sistemi con il metodo di Gauss su un esempio specifico. Lavoreremo con la SLU mostrata nell'immagine.

Algoritmo di risoluzione:

1. Ridurremo il sistema a una forma a gradini con il movimento diretto del metodo Gauss, ma primacomporremo una matrice espansa di coefficienti numerici e membri liberi.
2. Per risolvere la matrice usando il metodo gaussiano (cioè portarla a una forma a gradini), dagli elementi della seconda e della terza riga, sottraiamo sequenzialmente gli elementi della prima riga. Otteniamo zeri nella prima colonna sotto l'elemento "principale". Successivamente, cambieremo la seconda e la terza riga in alcuni punti per comodità. Agli elementi dell'ultima riga, aggiungi in sequenza gli elementi della seconda riga, moltiplicati per 3.
3. Come risultato del calcolo della matrice con il metodo di Gauss, abbiamo ottenuto un array di elementi a gradini. Sulla base di esso, comporremo un nuovo sistema di equazioni lineari. Con il corso inverso del metodo di Gauss, troviamo i valori dei termini sconosciuti. Si può vedere dall'ultima equazione lineare che x₃ è uguale a 1. Sostituiamo questo valore nella seconda riga del sistema. Ottieni l'equazione x₂ – 4=–4. Ne consegue che x₂ è uguale a 0. Sostituisci x₂ e x₃ nella prima equazione del sistema: x1 _{+ 0 +3=2. Il termine sconosciuto è -1.}

Risposta: utilizzando la matrice, il metodo gaussiano, abbiamo trovato i valori delle incognite; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Metodo Gauss-Giordania

Nell'algebra lineare esiste anche il metodo Gauss-Jordan. È considerato una modifica del metodo gaussiano e viene utilizzato per trovare la matrice inversa, calcolare termini incogniti di sistemi quadrati di equazioni lineari algebriche. Il metodo Gauss-Jordan è conveniente in quanto consente di risolvere il LES in un solo passaggio (senza l'uso di diretto e inversosi muove).

Iniziamo con il termine "matrice inversa". Supponiamo di avere una matrice A. L'inversa per essa sarà la matrice A^-1, mentre la condizione è necessariamente soddisfatta: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, ovvero il prodotto di queste matrici è uguale alla matrice identità (gli elementi della diagonale principale della matrice identità sono uno e gli elementi rimanenti sono zero).}

Una sfumatura importante: nell'algebra lineare esiste un teorema sull'esistenza di una matrice inversa. Condizione sufficiente e necessaria per l'esistenza della matrice A^-1 è che la matrice A sia non singolare.

Passaggi di base su cui si basa il metodo Gauss-Jordan:

1. Guarda la prima riga di una particolare matrice. Il metodo Gauss-Jordan può essere avviato se il primo valore non è uguale a zero. Se il primo posto è 0, scambia le righe in modo che il primo elemento abbia un valore diverso da zero (è auspicabile che il numero sia più vicino a uno).
2. Dividi tutti gli elementi della prima riga per il primo numero. Finirai con una stringa che inizia con uno.
3. Dalla seconda riga, sottrai la prima riga moltiplicata per il primo elemento della seconda riga, ovvero alla fine otterrai una riga che parte da zero. Fai lo stesso per il resto delle linee. Dividi ogni riga per il suo primo elemento diverso da zero per ottenere 1 in diagonale.
4. Di conseguenza, otterrai la matrice triangolare superiore usando il metodo Gauss - Jordan. In esso, la diagonale principale è rappresentata da unità. L'angolo inferiore è pieno di zeri eangolo superiore - vari valori.
5. Dalla penultima riga, sottrai l'ultima riga moltiplicata per il coefficiente richiesto. Dovresti ottenere una stringa con zeri e uno. Per il resto delle righe, ripetere la stessa azione. Dopo tutte le trasformazioni, si otterrà la matrice dell'identità.

Un esempio di come trovare la matrice inversa usando il metodo Gauss-Jordan

Per calcolare la matrice inversa, devi scrivere la matrice aumentata A|E ed eseguire le trasformazioni necessarie. Consideriamo un semplice esempio. La figura seguente mostra la matrice A.

Soluzione:

1. In primo luogo, troviamo il determinante di matrice usando il metodo gaussiano (det A). Se questo parametro non è uguale a zero, la matrice sarà considerata non singolare. Questo ci permetterà di concludere che A ha sicuramente A^-1. Per calcolare il determinante, trasformiamo la matrice in una forma graduale mediante trasformazioni elementari. Contiamo il numero K uguale al numero di permutazioni di riga. Abbiamo cambiato le linee solo 1 volta. Calcoliamo il determinante. Il suo valore sarà uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale, moltiplicato per (–1)^K. Risultato del calcolo: det A=2.
2. Componi la matrice aumentata aggiungendo la matrice identità alla matrice originale. L'array di elementi risultante verrà utilizzato per trovare la matrice inversa con il metodo Gauss-Jordan.
3. Il primo elemento nella prima riga è uguale a uno. Questo ci fa comodo, perché non è necessario riordinare le linee e dividere la linea data per un certo numero. Iniziamo a lavorarecon la seconda e la terza riga. Per trasformare il primo elemento della seconda riga in 0, sottrai dalla seconda riga la prima riga moltiplicata per 3. Sottrai la prima riga dalla terza riga (non è richiesta la moltiplicazione).
4. Nella matrice risultante, il secondo elemento della seconda riga è -4 e il secondo elemento della terza riga è -1. Scambiamo le linee per comodità. Dalla terza riga sottrarre la seconda riga moltiplicata per 4. Dividi la seconda riga per -1 e la terza riga per 2. Otteniamo la matrice triangolare superiore.
5. Sottriamo l'ultima riga moltiplicata per 4 dalla seconda riga e l'ultima riga moltiplicata per 5 dalla prima riga. Quindi, sottraiamo la seconda riga moltiplicata per 2 dalla prima riga. Sul lato sinistro abbiamo la matrice identitaria. Sulla destra c'è la matrice inversa.

Un esempio di risoluzione del SLE con il metodo Gauss-Jordan

La figura mostra un sistema di equazioni lineari. È necessario trovare i valori delle variabili sconosciute utilizzando una matrice, il metodo Gauss-Jordan.

Soluzione:

1. Creiamo una matrice aumentata. Per fare ciò, inseriremo i coefficienti e i termini liberi nella tabella.
2. Risolvi la matrice usando il metodo Gauss-Jordan. Dalla riga n. 2 sottraiamo la riga n. 1. Dalla riga n. 3 sottraiamo la riga n. 1, precedentemente moltiplicata per 2.
3. Scambia le righe 2 e 3.
4. Dalla riga 3 sottrarre la riga 2 moltiplicata per 2. Dividere la terza riga risultante per –1.
5. Sottrai la riga 3 dalla riga 2.
6. Sottrai la riga 1 dalla riga 12 volte -1. A lato, abbiamo una colonna composta dai numeri 0, 1 e -1. Da ciò concludiamo che x₁=0, x₂=1 e x₃ =–1.

Se lo desideri, puoi verificare la correttezza della soluzione sostituendo i valori calcolati nelle equazioni:

• 0 – 1=–1, la prima identità del sistema è corretta;
• 0 + 1 + (–1)=0, la seconda identità del sistema è corretta;
• 0 – 1 + (–1)=–2, la terza identità dal sistema è corretta.

Conclusione: utilizzando il metodo Gauss-Jordan, abbiamo trovato la soluzione corretta per un sistema quadratico che combina equazioni algebriche lineari.

Calcolatrici online

La vita dei giovani di oggi che studiano nelle università e studiano algebra lineare è stata notevolmente semplificata. Alcuni anni fa, abbiamo dovuto trovare soluzioni ai sistemi utilizzando il metodo Gauss e Gauss-Jordan da soli. Alcuni studenti hanno affrontato con successo i compiti, mentre altri si sono confusi nella soluzione, hanno commesso errori, hanno chiesto aiuto ai compagni di classe. Oggi puoi usare i calcolatori online quando fai i compiti. Per risolvere sistemi di equazioni lineari, cercare matrici inverse, sono stati scritti programmi che non solo dimostrano le risposte corrette, ma mostrano anche i progressi nella risoluzione di un particolare problema.

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