La matematica è essenzialmente una scienza astratta, se ci allontaniamo dai concetti elementari. Quindi, su un paio di mele, puoi rappresentare visivamente le operazioni di base che stanno alla base della matematica, ma non appena il piano di attività si espande, questi oggetti diventano insufficienti. Qualcuno ha provato a rappresentare operazioni su insiemi infiniti su mele? Questo è il punto, no. Quanto più complessi diventavano i concetti con cui opera la matematica nei suoi giudizi, tanto più problematica sembrava la loro espressione visiva, che sarebbe stata concepita per facilitarne la comprensione. Tuttavia, per la felicità sia degli studenti moderni che delle scienze in generale, sono stati derivati i cerchi di Eulero, esempi e possibilità di cui considereremo di seguito.
Un po' di storia
Il 17 aprile 1707, il mondo diede alla scienza Leonhard Euler, uno straordinario scienziato il cui contributo alla matematica, alla fisica, alla costruzione navale e persino alla teoria musicale non può essere sopravvalutato.
Le sue opere sono riconosciute e richieste in tutto il mondo fino ad oggi, nonostante il fatto che la scienza non si fermi. Di particolare interesse è il fatto che il signor Eulero ha preso parte direttamente alla formazione della scuola russa di matematica superiore, soprattutto perché, per volontà del destino, è tornato due volte nel nostro stato. Lo scienziato aveva una capacità unica di costruire algoritmi trasparenti nella loro logica, tagliando tutto il superfluo e spostando dal generale al particolare nel più breve tempo possibile. Non elencheremo tutti i suoi meriti, poiché ci vorrà molto tempo e passeremo direttamente all'argomento dell'articolo. Fu lui a suggerire di utilizzare una rappresentazione grafica delle operazioni sugli insiemi. I cerchi di Eulero sono in grado di visualizzare la soluzione di qualsiasi problema, anche il più complesso.
Qual è il punto?
In pratica, i cerchi di Eulero, il cui schema è mostrato di seguito, possono essere utilizzati non solo in matematica, poiché il concetto di "insieme" è inerente non solo a questa disciplina. Quindi, vengono applicati con successo nella gestione.
Il diagramma sopra mostra le relazioni degli insiemi A (numeri irrazionali), B (numeri razionali) e C (numeri naturali). I cerchi mostrano che l'insieme C è compreso nell'insieme B, mentre l'insieme A non si interseca con essi in alcun modo. L'esempio è il più semplice, ma spiega chiaramente le specificità delle "relazioni di insiemi", che sono troppo astratte per un confronto reale, se non altro a causa della loro infinità.
Algebra della logica
Questa zonala logica matematica opera con affermazioni che possono essere sia vere che false. Ad esempio, dalle elementari: il numero 625 è divisibile per 25, il numero 625 è divisibile per 5, il numero 625 è primo. La prima e la seconda affermazione sono vere, mentre l'ultima è falsa. Certo, in pratica è tutto più complicato, ma l'essenza è mostrata chiaramente. E, naturalmente, i cerchi di Eulero sono di nuovo coinvolti nella soluzione, gli esempi con il loro uso sono troppo convenienti e visivi per essere ignorati.
Un po' di teoria:
- Che gli insiemi A e B esistano e non siano vuoti, per essi vengono definite le seguenti operazioni di intersezione, unione e negazione.
- L'intersezione degli insiemi A e B consiste di elementi che appartengono simultaneamente sia all'insieme A che all'insieme B.
- L'unione degli insiemi A e B consiste di elementi che appartengono all'insieme A o all'insieme B.
- La negazione dell'insieme A è un insieme costituito da elementi che non appartengono all'insieme A.
Tutto questo è rappresentato di nuovo dai circoli di Eulero nella logica, poiché con il loro aiuto ogni compito, indipendentemente dal grado di complessità, diventa ovvio e visivo.
Assiomi dell'algebra della logica
Assumiamo che 1 e 0 esistano e siano definiti nell'insieme A, quindi:
- la negazione della negazione dell'insieme A è l'insieme A;
- unione dell'insieme A con not_A è 1;
- unione dell'insieme A con 1 è 1;
- l'unione dell'insieme A con se stesso è l'insieme A;
- unione dell'insieme Acon 0 c'è un insieme LA;
- l'intersezione dell'insieme A con not_A è 0;
- l'intersezione dell'insieme A con se stesso è l'insieme A;
- l'intersezione dell'insieme A con 0 è 0;
- l'intersezione dell'insieme A con 1 è l'insieme A.
Proprietà di base dell'algebra della logica
Che gli insiemi A e B esistano e non siano vuoti, quindi:
- per l'intersezione e l'unione degli insiemi A e B si applica la legge commutativa;
- la legge combinata si applica all'intersezione e all'unione degli insiemi A e B;
- la legge distributiva si applica all'intersezione e all'unione degli insiemi A e B;
- la negazione dell'intersezione degli insiemi A e B è l'intersezione delle negazioni degli insiemi A e B;
- la negazione dell'unione degli insiemi A e B è l'unione delle negazioni degli insiemi A e B.
Quello che segue mostra i cerchi di Eulero, esempi di intersezione e unione degli insiemi A, B e C.
Prospettive
Le opere di Leonhard Euler sono giustamente considerate la base della matematica moderna, ma ora sono utilizzate con successo in aree dell'attività umana che sono apparse relativamente di recente, prendiamo ad esempio la corporate governance: i cerchi, gli esempi e i grafici di Eulero descrivono i meccanismi di modelli di sviluppo, che si tratti della versione russa o inglese-americana.
