Il triangolo è la figura più semplice chiusa sul piano, costituita da soli tre segmenti interconnessi. Nei problemi di geometria, è spesso necessario determinare l'area di questa figura. Cosa devi sapere per questo? Nell'articolo risponderemo alla domanda su come trovare l'area di un triangolo su tre lati.
Formula generale
Ogni studente sa che l'area di un triangolo è calcolata come il prodotto della lunghezza di uno qualsiasi dei suoi lati - a per metà dell' altezza - h, abbassata al lato prescelto. Di seguito è riportata la formula corrispondente: S=ah/2.
Questa espressione può essere usata se si conoscono almeno due lati e il valore dell'angolo tra di loro. In questo caso, l' altezza h è facilmente calcolabile utilizzando funzioni trigonometriche, come il seno. Ma non tutti sanno come trovare l'area su tre lati di un triangolo.
Formula di Heron
Questa formula è la risposta alla domanda su cometre lati trovano l'area del triangolo. Prima di scriverlo, indichiamo le lunghezze dei segmenti di una figura arbitraria come a, b e c. La formula di Heron è scritta come segue: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Dove p è il semiperimetro della figura, ovvero: p=(a+b+c)/2.
Nonostante l'apparente ingombro, l'espressione sopra per l'area S è facile da ricordare. Per fare ciò, devi prima calcolare il semiperimetro del triangolo, quindi sottrarre da esso per una lunghezza del lato della figura, moltiplicare tutte le differenze ottenute e il semiperimetro stesso. Infine, prendi la radice quadrata del prodotto.
Questa formula prende il nome da Airone di Alessandria, vissuto all'inizio della nostra era. La storia moderna crede che sia stato questo filosofo a applicare per primo questa espressione per eseguire i calcoli corrispondenti. Questa formula è pubblicata nella sua Metrica, che risale al 60 d. C. Si noti che alcune delle opere di Archimede, vissuto due secoli prima di Erone, contengono segni che il filosofo greco conosceva già la formula. Inoltre, gli antichi cinesi sapevano anche trovare l'area di un triangolo, conoscendo tre lati.
È importante notare che il problema può essere risolto senza conoscere l'esistenza della formula di Heron. Per fare ciò, disegna un paio di altezze nel triangolo e usa la formula generale del paragrafo precedente, compilando il sistema di equazioni appropriato.
L'espressione di Heron può essere utilizzata per calcolare le aree di poligoni arbitrari, dopo averli suddivisi intriangoli e calcolare le lunghezze delle diagonali risultanti.
Esempio di risoluzione dei problemi
Sapere come trovare l'area di un triangolo su tre lati, consolidiamo le nostre conoscenze risolvendo il seguente problema. Lascia che i lati della figura siano 5 cm, 4 cm e 3 cm Trova l'area.
Sono noti tre lati di un triangolo, quindi puoi usare la formula di Heron. Calcoliamo il semiperimetro e le differenze necessarie, abbiamo:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1 cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Quindi otteniamo l'area: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Il triangolo dato nella condizione del problema è rettangolo, il che è facile da verificare se si utilizza il teorema di Pitagora. Poiché l'area di un tale triangolo è metà del prodotto delle gambe, otteniamo: S=43/2=6 cm2.
Il valore risultante è lo stesso della formula di Heron, che conferma la validità di quest'ultima.
