Il paradosso della teoria della scelta pubblica fu descritto per la prima volta dal marchese Condorcet nel 1785, che fu generalizzato con successo negli anni '50 del secolo scorso dall'economista americano K. Arrow. Il teorema di Arrow risponde a una domanda molto semplice nella teoria delle decisioni collettive. Diciamo che ci sono più scelte in politica, progetti pubblici o distribuzione del reddito, e ci sono persone le cui preferenze determinano tali scelte.
La domanda è quali procedure esistono per determinare qualitativamente la scelta. E come conoscere le preferenze, l'ordinamento collettivo o sociale delle alternative, dal migliore al peggiore. La risposta di Arrow a questa domanda ha sorpreso molti.
Il teorema di Arrow dice che tali procedure non esistono affatto - in ogni caso, non corrispondono a preferenze certe e abbastanza ragionevoli delle persone. Il quadro tecnico di Arrow, in cui ha dato un chiaro significato al problema del contratto sociale, e la sua risposta rigorosa sono ora ampiamente utilizzati per studiare i problemi di economia sociale. Il teorema stesso ha costituito la base della moderna teoria della scelta pubblica.
Teoria della scelta pubblica
Il teorema di Arrow mostra che se gli elettori hanno almeno tre alternative, allora non esiste un sistema elettorale che possa trasformare la scelta degli individui in opinione pubblica.
La dichiarazione scioccante è arrivata dall'economista e premio Nobel Kenneth Joseph Arrow, che ha dimostrato questo paradosso nella sua tesi di dottorato e lo ha reso popolare nel suo libro del 1951 Social Choice and Individual Values. Il titolo dell'articolo originale è "Difficulties in the Social Security Concept".
Il teorema di Arrow afferma che è impossibile progettare un sistema elettorale con un ordine che soddisfi sempre criteri equi:
- Quando un elettore sceglie l' alternativa X su Y, la comunità di elettori preferirà X su Y. Se le scelte di ciascuno degli elettori X e Y rimangono invariate, la scelta della società X e Y sarà la lo stesso anche se gli elettori scelgono altre coppie di X e Z, Y e Z o Z e W.
- Non esiste un "dittatore prescelto" perché un elettore non può influenzare la scelta di un gruppo.
- I sistemi elettorali esistenti non soddisfano i requisiti richiesti in quanto forniscono più informazioni rispetto al grado ordinale.
Sistemi di gestione sociale statali
Sebbene l'economista americano Kenneth Arrow abbia ricevuto il Premio Nobel per l'Economia, il lavoro è stato più utile per lo sviluppo delle scienze sociali, poiché il "Teorema dell'impossibilità" di Arrow ha segnato l'inizio di una direzione completamente nuova nell'economia: la scelta sociale. Questo settore sta cercando di analizzare matematicamente l'adozione di decisioni congiunte, in particolare nel campo dei sistemi pubblici di gestione sociale.
La scelta è la democrazia in azione. Le persone vanno alle urne ed esprimono le loro preferenze e, alla fine, le preferenze di molte persone devono unirsi per prendere una decisione comune. Per questo la scelta del metodo di voto è molto importante. Ma esiste davvero un voto perfetto? Secondo i risultati della teoria di Arrow, ottenuti nel 1950, la risposta è no. Se "ideale" indica un metodo di voto preferenziale che soddisfa i criteri definiti da metodi di voto ragionevoli.
Il metodo di voto preferito è la graduatoria, in cui gli elettori valutano tutti i candidati in base alle loro preferenze e, in base a queste valutazioni, il risultato è: un altro elenco di tutti i candidati da presentare per volontà comune del popolo. Secondo il teorema dell'impossibilità di Arrow, è possibile specificare un metodo di voto ragionevole:
- Nessun dittatore (ND) - il risultato non deve sempre corrispondere alla valutazione di una persona in particolare.
- Efficienza Pareto (PE) - se ogni elettore preferisce il candidato A al candidato B, il risultato dovrebbe indicarecandidato A rispetto al candidato B.
- L'indipendenza delle alternative incompatibili (IIA) è il punteggio relativo dei candidati A, B e non dovrebbe cambiare se gli elettori cambiano il punteggio degli altri candidati, ma non cambiano i loro punteggi relativi di A e B.
Secondo il teorema di Arrow, risulta che nel caso di elezioni con tre o più criteri, non esistono funzioni di scelta sociale che sarebbero adatte simultaneamente per ND, PE e IIA.
Sistema di selezione razionale
Il bisogno di aggregazione di preferenza si manifesta in molti ambiti della vita umana:
- L'economia del benessere utilizza metodi microeconomici per misurare il benessere a livello economico aggregato. Una metodologia tipica inizia derivando o deducendo una funzione di benessere, che può quindi essere utilizzata per classificare allocazioni di risorse economicamente valide in termini di benessere. In questo caso, gli stati stanno cercando di trovare un risultato economicamente fattibile e sostenibile.
- Nella teoria delle decisioni, quando una persona deve fare una scelta razionale basata su diversi criteri.
- Nei sistemi elettorali, che sono meccanismi per trovare un'unica soluzione dalle preferenze di molti elettori.
Nelle condizioni del teorema di Arrow, si distingue l'ordine delle preferenze per un dato insieme di parametri (risultati). Ogni unità della società, o ogni criterio decisionale, assegna un certo ordine di preferenza rispetto a un insieme di risultati. La società cerca un sistemavoto basato sulla classifica, chiamato funzione di welfare.
Questa regola di aggregazione delle preferenze trasforma un profilo di preferenze impostato in un ordine pubblico globale. La dichiarazione di Arrow afferma che se un organo di governo ha almeno due elettori e tre criteri di selezione, è impossibile creare una funzione di welfare che soddisfi tutte queste condizioni contemporaneamente.
Per ogni serie di preferenze dei singoli elettori, la funzione di welfare deve eseguire una valutazione di selezione pubblica unica e completa:
- Questo dovrebbe essere fatto in modo tale che il risultato sia una valutazione completa delle preferenze del pubblico.
- Dovrebbe dare deterministicamente lo stesso punteggio quando le preferenze degli elettori sembrano essere le stesse.
Indipendenza dalle alternative irrilevanti (IIA)
La scelta tra X e Y è connessa esclusivamente con le preferenze dell'individuo tra X e Y - questa è l'indipendenza a coppie (indipendenza a coppie), secondo il teorema "Impossibility of Democracy" di Arrow. Allo stesso tempo, un cambiamento nella valutazione di una persona di alternative irrilevanti situate al di fuori di tali gruppi non influisce sulla valutazione sociale di questo sottoinsieme. Ad esempio, presentare un terzo candidato in un'elezione a due candidati non ha alcun effetto sull'esito delle elezioni a meno che il terzo candidato non vinca.
La società è caratterizzata dalla monotonia e da una combinazione positiva di valori sociali e individuali. Se una persona cambia il proprio ordine di preferenza promuovendo una determinata opzione, allora l'ordinele preferenze della società dovrebbero corrispondere alla stessa opzione senza cambiamenti. Una persona non dovrebbe essere in grado di danneggiare un'opzione valutandola più in alto.
Nel teorema dell'impossibilità, l'efficienza e la giustizia nella società sono assicurate attraverso la sovranità del cittadino. Ogni possibile ordine sociale di preferenza deve essere realizzabile con un insieme di ordini di preferenza individuali. Ciò significa che la funzione di benessere è suriettiva: ha uno spazio obiettivo illimitato. Una versione successiva (1963) del teorema di Arrow ha sostituito i criteri di monotonicità e non sovrapposizione.
Pareto. Efficienza o unanimità?
Se ogni persona preferisce un'opzione particolare a un' altra, anche l'ordine di preferenza sociale dovrebbe farlo. È essenziale che la funzione di benessere sia minimamente sensibile al profilo di preferenza. Questa versione successiva è più generale e presenta condizioni leggermente più deboli. Gli assiomi di uniformità, nessuna sovrapposizione, insieme a IIA, denotano l'efficienza paretiana. Allo stesso tempo, non implica sovrapposizione IIA e non implica monotonia.
IIA ha tre scopi:
- Standard. Le alternative irrilevanti non dovrebbero avere importanza.
- Pratico. Utilizzo di informazioni minime.
- Strategico. Fornire i giusti incentivi per identificare veramente le preferenze individuali. Sebbene l'obiettivo strategico sia concettualmente diverso dall'AII, sono strettamente correlati.
L'efficienza di Pareto, dal nome dell'economista e politologo italiano Vilfredo Pareto (1848-1923), è usata nell'economia neoclassica insieme al concetto teorico di concorrenza perfetta come parametro di riferimento per valutare l'efficienza dei mercati reali. Va notato che nessuno dei risultati viene raggiunto al di fuori della teoria economica. Ipoteticamente, se esistesse una concorrenza perfetta e le risorse fossero utilizzate nel modo più efficiente possibile, allora tutti avrebbero il più alto tenore di vita, o efficienza paretiana.
In pratica, è impossibile intraprendere qualsiasi azione sociale, come un cambiamento nella politica economica, senza peggiorare la situazione di almeno una persona, quindi il concetto di miglioramento paretiano ha trovato più ampia applicazione in economia. Un miglioramento paretiano si verifica quando un cambiamento nella distribuzione non danneggia nessuno e aiuta almeno una persona, data la distribuzione iniziale dei beni a un gruppo di persone. La teoria suggerisce che i miglioramenti paretiani continueranno ad aggiungere valore all'economia fino al raggiungimento di un equilibrio paretiano, quando non sarà possibile apportare ulteriori miglioramenti.
Enunciato formale del teorema
Sia A il set di risultati, N il numero di elettori o criteri decisionali. Denotare l'insieme di tutti gli ordinamenti lineari completi da A a L (A). La funzione di sicurezza sociale rigorosa (regola di aggregazione delle preferenze) è una funzione che aggrega le preferenze degli elettori in un ordine di preferenza una tantum perA.
N - una tupla (R 1, …, R N) ∈ L (A) N delle preferenze degli elettori è chiamata profilo di preferenza. Nella sua forma più forte e semplice, il teorema di impossibilità di Arrow afferma che ogni volta che l'insieme delle possibili alternative A ha più di 2 elementi, le seguenti tre condizioni diventano incoerenti:
- Unanimità, o debole efficienza paretiana. Se l' alternativa A è rigorosamente al di sopra di B per tutti gli ordini R 1, …, R N, allora A è rigorosamente al di sopra di B su F (R 1, R 2, …, R N). Allo stesso tempo, l'unanimità implica l'assenza di imposizione.
- Non dittatura. Non esiste un "io" individuale le cui rigide preferenze prevalgono sempre. Cioè, non c'è I ∈ {1, …, N }, che per tutti (R 1, …, R N) ∈ L (A) N, rango rigorosamente superiore a B da R. "I" rango rigorosamente superiore a B su F (R 1, R 2, …, R N), per tutti A e B.
- Indipendenza da alternative irrilevanti. Per due profili di preferenza (R 1, …, R N) e (S 1, …, S N) tali che per tutti gli individui I, le alternative A e B hanno lo stesso ordine in R i come in S i, le alternative A e B hanno il stesso ordine in F (R 1, R 2, …, R N) come in F (S 1, S2, …, S N).
Interpretazione del teorema
Sebbene il Teorema dell'impossibilità sia dimostrato matematicamente, è spesso espresso in modo non matematico con l'affermazione che nessun metodo di voto è equo, ogni metodo di voto classificato ha difetti o l'unico metodo di voto che non è sbagliato è una dittatura. Queste affermazioni sono una semplificazioneIl risultato di Arrow, che non è sempre considerato corretto. Il teorema di Arrow afferma che un meccanismo deterministico di voto preferenziale, cioè quello in cui l'ordine di preferenza è l'unica informazione nel voto, e qualsiasi possibile insieme di voti produce un risultato unico, non può soddisfare tutte le condizioni di cui sopra contemporaneamente.
Vari teorici hanno suggerito di allentare il criterio IIA come via d'uscita dal paradosso. I fautori dei metodi di valutazione sostengono che l'AII è un criterio inutilmente forte che viene violato nei sistemi elettorali più utili. I fautori di questa posizione sottolineano che il mancato rispetto del criterio standard IIA è banalmente implicato dalla possibilità di preferenze cicliche. Se gli elettori votano in questo modo:
- 1 voto per A> B> C;
- 1 voto per B> C> A;
- 1 voto per C> A> B.
Quindi la preferenza del gruppo dei doppi maggioritari è che A batte B, B batte C e C batte A, e questo si traduce in una preferenza forbici-roccia-forbici per qualsiasi confronto di coppia.
In questo caso, qualsiasi regola di aggregazione che soddisfi il requisito di base della maggioranza che il candidato con il maggior numero di voti debba vincere le elezioni fallirà il criterio IIA se le preferenze sociali devono essere transitive o acicliche. Per vedere questo, si presume che tale regola soddisfi l'AII. Dal momento che le preferenze della maggioranzasi osservano, la società favorisce A - B (due voti per A> B e uno per B> A), B - C e C - A. Si crea così un ciclo che contraddice l'assunto che le preferenze sociali siano transitive.
Quindi, il teorema di Arrow mostra effettivamente che qualsiasi sistema elettorale con il maggior numero di vittorie è un gioco non banale e che la teoria dei giochi dovrebbe essere utilizzata per prevedere l'esito della maggior parte dei meccanismi di voto. Questo può essere visto come un risultato scoraggiante perché il gioco non dovrebbe avere equilibri efficienti, ad esempio, votare potrebbe portare a un' alternativa che nessuno voleva davvero ma per cui tutti hanno votato.
Scelta social invece di preferenza
La scelta collettiva razionale del meccanismo di voto secondo il teorema di Arrow non è l'obiettivo del processo decisionale sociale. Spesso basta trovare qualche alternativa. L'approccio alternativo incentrato sulla scelta esplora sia le funzioni di scelta sociale che mappano ciascun profilo di preferenza, sia le regole di scelta sociale, funzioni che mappano ogni profilo di preferenza a un sottoinsieme di alternative.
Per quanto riguarda le funzioni di scelta sociale, è ben noto il teorema di Gibbard-Satterthwaite, che afferma che se una funzione di scelta sociale il cui range contiene almeno tre alternative è strategicamente stabile, allora è dittatoriale. Considerando le regole della scelta sociale, credono che le preferenze sociali stiano dietro di loro.
Cioè, considerano la regola come una sceltaelementi massimi - le migliori alternative a qualsiasi preferenza sociale. L'insieme degli elementi di massima preferenza sociale è chiamato nucleo. Le condizioni per l'esistenza di un' alternativa nel nucleo sono state studiate in due approcci. Il primo approccio presuppone che le preferenze siano almeno acicliche, il che è necessario e sufficiente affinché le preferenze abbiano un elemento massimo in qualsiasi sottoinsieme finito.
Per questo motivo, è strettamente correlato alla transitività rilassante. Il secondo approccio elimina l'ipotesi di preferenze acicliche. Kumabe e Mihara hanno adottato questo approccio. Hanno fatto il presupposto più coerente che le preferenze individuali contano di più.
Avversione relativa al rischio
Ci sono diversi indicatori di avversione al rischio espressi dalla funzione di utilità nel teorema di Arrow Pratt. Avversione assoluta al rischio: maggiore è la curvatura u(c), maggiore è l'avversione al rischio. Tuttavia, poiché le funzioni di utilità attese non sono definite in modo univoco, la misura necessaria rimane costante rispetto a queste trasformazioni. Una di queste misure è la misura dell'avversione assoluta al rischio (ARA) di Arrow-Pratt, dopo che gli economisti Kenneth Arrow e John W. Pratt hanno definito il rapporto di avversione assoluta al rischio come
LA (c)=- {u '' (c)}/ {u '(c)}, dove: u '(c) e u '' (c) denotano la prima e la seconda derivata rispetto a "c" di "u (c)".
I dati sperimentali ed empirici sono generalmente coerenti con una diminuzione dell'avversione assoluta al rischio. misura relativaArrow Pratt Risk Aversion (ACR) o Relative Risk Aversion Ratio è definito da:
R (c)=cA (c)={-cu '' (c)} /{u '(c) R (c).
Come per l'avversione al rischio assoluta, i rispettivi termini utilizzati sono avversione relativa al rischio costante (CRRA) e avversione al rischio relativo decrescente/crescente (DRRA/IRRA). Il vantaggio di questa quantità è che è ancora una misura valida dell'avversione al rischio anche se la funzione di utilità cambia dalla propensione al rischio, ovvero l'utilità non è strettamente convessa/concava su tutta la "c". Un RRA costante implica una riduzione dell'ARA della teoria di Arrow Pratt, ma non è sempre vero il contrario. Come esempio specifico di costante avversione al rischio relativo, la funzione di utilità: u(c)=log(c), implica RRA=1.
Grafico a sinistra: la funzione di utilità di prevenzione del rischio è concava dal basso e la funzione di utilità avversa al rischio è convessa. Grafico centrale: nello spazio dei valori di deviazione standard attesi, le curve di indifferenza del rischio sono inclinate verso l' alto. Grafico a destra - con probabilità fisse dei due stati alternativi 1 e 2, le curve di indifferenza avversa al rischio sulle coppie di risultati dipendenti dallo stato sono convesse.
Sistema elettorale nominale
Inizialmente, Arrow ha rifiutato l'utilità cardinale come strumento importante per esprimere il benessere sociale, quindi ha concentrato le sue affermazioni sulle preferenze di classificazione, ma in seguitoha concluso che un sistema di rating cardinale con tre o quattro classi è probabilmente il migliore. Secondo il teorema dell'impossibilità, la scelta pubblica presuppone che le preferenze individuali e sociali siano ordinate, cioè la soddisfazione per la completezza e la transitività nelle varie alternative. Ciò significa che se le preferenze sono rappresentate da una funzione di utilità, il suo valore è utile nel senso che ha senso, poiché un valore più alto significa un' alternativa migliore.
Le applicazioni pratiche del teorema vengono utilizzate per valutare ampie categorie di sistemi di voto. L'argomento principale di Arrow sostiene che i sistemi di voto degli ordini devono sempre violare almeno uno dei criteri di equità da lui delineati. L'implicazione pratica di ciò è che i sistemi di voto che non sono in ordine devono essere studiati. Ad esempio, i sistemi di votazione in classifica in cui gli elettori assegnano punti a ciascun candidato possono soddisfare tutti i criteri di Arrow.
In effetti, il meccanismo di voto, la scelta collettiva razionale del teorema di Arrow e il successivo dialogo, erano incredibilmente fuorvianti nel campo del voto. Studenti e non specialisti credono spesso che nessun sistema di voto possa soddisfare i criteri di equità di Arrow, quando, in re altà, i sistemi di valutazione possono soddisfare tutti i criteri di Arrow.
