In geometria, dopo un punto, una retta è forse l'elemento più semplice. Viene utilizzato nella costruzione di qualsiasi figura complessa sul piano e nello spazio tridimensionale. In questo articolo, considereremo l'equazione generale di una retta e risolveremo un paio di problemi utilizzandola. Iniziamo!
Retta in geometria
Tutti sanno che forme come rettangolo, triangolo, prisma, cubo e così via sono formate dall'intersezione di linee rette. Una retta in geometria è un oggetto unidimensionale che può essere ottenuto trasferendo un certo punto su un vettore avente la stessa direzione o quella opposta. Per comprendere meglio questa definizione, immagina che ci sia un punto P nello spazio. Prendi un vettore arbitrario u¯ in questo spazio. Quindi qualsiasi punto Q della retta può essere ottenuto come risultato delle seguenti operazioni matematiche:
Q=P + λu¯.
Qui λ è un numero arbitrario che può essere positivo o negativo. Se l'uguaglianzascrivi sopra in termini di coordinate, quindi otteniamo la seguente equazione di una retta:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Questa uguaglianza è chiamata equazione di una retta in forma vettoriale. E il vettore u¯ è chiamato guida.
Equazione generale di una retta in un piano
Ogni studente può scriverlo senza alcuna difficoltà. Ma il più delle volte l'equazione è scritta in questo modo:
y=kx + b.
Dove k e b sono numeri arbitrari. Il numero b è chiamato il membro libero. Il parametro k è uguale alla tangente dell'angolo formato dall'intersezione della retta con l'asse x.
L'equazione di cui sopra è espressa rispetto alla variabile y. Se lo presentiamo in una forma più generale, otteniamo la seguente notazione:
LAx + SIy + C=0.
È facile mostrare che questa forma di scrittura dell'equazione generale di una retta su un piano si trasforma facilmente nella forma precedente. Per fare ciò, le parti sinistra e destra dovrebbero essere divise per il fattore B ed espresse y.
La figura sopra mostra una retta passante per due punti.
Una linea nello spazio 3D
Continuiamo il nostro studio. Abbiamo considerato la questione di come l'equazione di una retta in una forma generale sia data su un piano. Se applichiamo la notazione data nel paragrafo precedente dell'articolo al caso spaziale, cosa otterremo? Tutto è semplice: non più una linea retta, ma un aereo. Infatti, la seguente espressione descrive un piano parallelo all'asse z:
LAx + SIy + C=0.
Se C=0, allora tale piano passaattraverso l'asse z. Questa è una caratteristica importante.
Come essere allora con l'equazione generale di una retta nello spazio? Per capire come chiederlo, devi ricordare qualcosa. Due piani si intersecano lungo una certa retta. Cosa significa questo? Solo che l'equazione generale è il risultato della risoluzione di un sistema di due equazioni per piani. Scriviamo questo sistema:
- LA1x + B1y + C1z + D 1=0;
- LA2x + B2y + C2z + D 2=0.
Questo sistema è l'equazione generale di una retta nello spazio. Si noti che i piani non devono essere paralleli tra loro, cioè i loro vettori normali devono essere inclinati di qualche angolo l'uno rispetto all' altro. In caso contrario, il sistema non avrà soluzioni.
Sopra abbiamo dato la forma vettoriale dell'equazione per una retta. È comodo da usare quando si risolve questo sistema. Per fare ciò, devi prima trovare il prodotto vettoriale delle normali di questi piani. Il risultato di questa operazione sarà un vettore di direzione di una retta. Quindi, qualsiasi punto appartenente alla linea dovrebbe essere calcolato. Per fare ciò è necessario impostare una qualsiasi delle variabili uguali ad un certo valore, le due restanti si trovano risolvendo il sistema ridotto.
Come tradurre un'equazione vettoriale in una generica? Sfumature
Questo è un problema reale che può sorgere se devi scrivere l'equazione generale di una retta usando le coordinate note di due punti. Mostriamo come si risolve questo problema con un esempio. Siano note le coordinate di due punti:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
L'equazione in forma vettoriale è abbastanza facile da comporre. Le coordinate del vettore di direzione sono:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Nota che non c'è differenza se sottraiamo le coordinate Q dalle coordinate del punto P, il vettore cambierà solo direzione nell'opposto. Ora dovresti prendere qualsiasi punto e scrivere l'equazione vettoriale:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Per scrivere l'equazione generale di una retta, il parametro λ dovrebbe essere espresso in entrambi i casi. E poi confrontare i risultati. Abbiamo:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Non resta che aprire le parentesi e trasferire tutti i termini dell'equazione su un lato dell'equazione per ottenere un'espressione generale per una retta passante per due punti noti.
Nel caso di un problema tridimensionale, l'algoritmo risolutivo viene mantenuto, solo il suo risultato sarà un sistema di due equazioni per i piani.
Compito
È necessario fare un'equazione generaleuna retta che interseca l'asse x in (-3, 0) ed è parallela all'asse y.
Iniziamo a risolvere il problema scrivendo l'equazione in forma vettoriale. Poiché la linea è parallela all'asse y, il vettore di direzione sarà il seguente:
u¯=(0, 1).
Quindi la riga desiderata sarà scritta come segue:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Traduciamo ora questa espressione in una forma generale, per questo esprimiamo il parametro λ:
- x=-3;
- y=λ.
Quindi, qualsiasi valore della variabile y appartiene alla linea, tuttavia, ad essa corrisponde solo il singolo valore della variabile x. Pertanto, l'equazione generale assumerà la forma:
x + 3=0.
Problema con una linea retta nello spazio
È noto che due piani intersecanti sono dati dalle seguenti equazioni:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
E' necessario trovare l'equazione vettoriale della retta lungo la quale questi piani si intersecano. Iniziamo.
Come si è detto, l'equazione generale di una retta nello spazio tridimensionale è già data nella forma di un sistema di due con tre incognite. Innanzitutto, determiniamo il vettore di direzione lungo il quale i piani si intersecano. Moltiplicando le coordinate vettoriali delle normali ai piani, otteniamo:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Poiché moltiplicando un vettore per un numero negativo si inverte la sua direzione, possiamo scrivere:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Aper trovare un'espressione vettoriale per una retta, oltre al vettore di direzione, si dovrebbe conoscere un punto di questa retta. Trova poiché le sue coordinate devono soddisfare il sistema di equazioni nella condizione del problema, allora le troveremo. Ad esempio, mettiamo x=0, quindi otteniamo:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Quindi, il punto appartenente alla retta desiderata ha le coordinate:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Quindi otteniamo la risposta a questo problema, l'equazione vettoriale della linea desiderata sarà simile a:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
La correttezza della soluzione può essere facilmente verificata. Per fare ciò, devi scegliere un valore arbitrario del parametro λ e sostituire le coordinate ottenute del punto della retta in entrambe le equazioni per i piani, otterrai un'identità in entrambi i casi.
