Come sai, quando si moltiplicano le espressioni con le potenze, i loro esponenti si sommano sempre (abac=ab+ c). Questa legge matematica fu derivata da Archimede e più tardi, nell'VIII secolo, il matematico Virasen creò una tabella di indicatori interi. Furono loro che servirono per l'ulteriore scoperta dei logaritmi. Esempi di utilizzo di questa funzione possono essere trovati quasi ovunque in cui è necessario semplificare la moltiplicazione ingombrante alla semplice addizione. Se dedichi 10 minuti alla lettura di questo articolo, ti spiegheremo cosa sono i logaritmi e come lavorarci. Linguaggio semplice e accessibile.
Definizione in matematica
Il logaritmo è un'espressione della seguente forma: logab=c c" in cui devi alzare la base "a" per ottenere finalmente il valore " b". Analizziamo il logaritmo usando degli esempi, diciamo che esiste un'espressione log28. Come trovare la risposta? È molto semplice, devi trovare un grado tale che da 2 al grado richiesto ottieni 8. Dopo aver fatto alcuni calcoli nella tua mente, otteniamo il numero 3! Ed è vero, perché2 elevato alla potenza di 3 dà la risposta 8.
Varietà di logaritmi
Per molti alunni e studenti, questo argomento sembra complicato e incomprensibile, ma in re altà i logaritmi non sono così spaventosi, l'importante è capirne il significato generale e ricordare le loro proprietà e alcune regole. Esistono tre tipi separati di espressioni logaritmiche:
- Logaritmo naturale ln a, dove la base è il numero di Eulero (e=2, 7).
- Logaritmo decimale lg a, dove la base è il numero 10.
- Logaritmo di qualsiasi numero b in base a>1.
Ciascuno di essi viene risolto in modo standard, inclusa la semplificazione, la riduzione e la successiva riduzione a un logaritmo utilizzando teoremi logaritmici. Per ottenere i valori corretti dei logaritmi, si dovrebbero ricordare le loro proprietà e l'ordine delle azioni per risolverli.
Regole e alcune restrizioni
In matematica, ci sono diverse regole-restrizioni che sono accettate come assioma, cioè non sono negoziabili e sono vere. Ad esempio, è impossibile dividere i numeri per zero ed è anche impossibile prendere una radice pari da numeri negativi. I logaritmi hanno anche le loro regole, seguendo le quali puoi facilmente imparare a lavorare anche con espressioni logaritmiche lunghe e capienti:
- la base di "a" deve essere sempre maggiore di zero, e allo stesso tempo non essere uguale a 1, altrimenti l'espressione perderà il suo significato, perché "1" e "0" in qualsiasi grado sono sempre uguale ai loro valori;
- se a > 0, allora ab>0,risulta che anche "c" deve essere maggiore di zero.
Come risolvere i logaritmi?
Ad esempio, dato il compito di trovare la risposta all'equazione 10x=100. È molto semplice, devi scegliere una tale potenza, alzando il numero dieci, noi prendi 100. Questo, ovviamente, potenza quadratica! 102=100.
Ora rappresentiamo questa espressione come una logaritmica. Otteniamo log10100=2. Quando si risolvono i logaritmi, tutte le azioni praticamente convergono per trovare la potenza a cui si deve inserire la base del logaritmo per ottenere un dato numero.
Per determinare con precisione il valore di una laurea sconosciuta, devi imparare a lavorare con la tabella dei gradi. Si presenta così:
Come puoi vedere, alcuni esponenti possono essere indovinati intuitivamente se hai una mentalità tecnica e una conoscenza della tabellina. Tuttavia, valori maggiori richiederanno una tabella di alimentazione. Può essere utilizzato anche da coloro che non capiscono nulla in argomenti matematici complessi. La colonna di sinistra contiene i numeri (base a), la riga superiore dei numeri è il valore della potenza c, a cui viene elevato il numero a. All'intersezione, le celle definiscono i valori dei numeri che sono la risposta (ac=b). Prendiamo, ad esempio, la primissima cella con il numero 10 e al quadrato, otteniamo il valore 100, che è indicato all'intersezione delle nostre due celle. Tutto è così semplice e facile che anche il più vero umanista capirà!
Equazioni e disequazioni
Si scopre che quandoIn determinate condizioni, l'esponente è il logaritmo. Pertanto, qualsiasi espressione numerica matematica può essere scritta come un'equazione logaritmica. Ad esempio, 34=81 può essere scritto come il logaritmo di 81 in base 3, che è quattro (log381=4). Per i gradi negativi, le regole sono le stesse: 2-5=1/32 scritto come un logaritmo, otteniamo log2 (1/32)=-5. Una delle sezioni più affascinanti della matematica è l'argomento dei "logaritmi". Considereremo esempi e soluzioni di equazioni un po' più in basso, subito dopo aver studiato le loro proprietà. Per ora, diamo un'occhiata a come appaiono le disuguaglianze e come distinguerle dalle equazioni.
Viene data la seguente espressione: log2(x-1) > 3 - è una disuguaglianza logaritmica, poiché il valore sconosciuto "x" è sotto il segno della logaritmo. L'espressione confronta anche due valori: il logaritmo in base due del numero desiderato è maggiore del numero tre.
La differenza più importante tra equazioni logaritmiche e disequazioni è che le equazioni con logaritmi (esempio - logaritmo2x=√9) implicano nella risposta uno o più valori numerici specifici, mentre quando si risolve una disuguaglianza si determinano sia l'intervallo di valori accettabili che i breakpoint di questa funzione. Di conseguenza, la risposta non è un semplice insieme di numeri individuali, come nella risposta dell'equazione, ma una serie continua o un insieme di numeri.
Teoremi di base sui logaritmi
Quando risolvi compiti primitivi per trovare i valori del logaritmo, potresti non conoscerne le proprietà. Tuttavia, quando si tratta di equazioni o disequazioni logaritmiche, prima di tutto, è necessario comprendere chiaramente e applicare nella pratica tutte le proprietà di base dei logaritmi. Conosceremo più avanti gli esempi di equazioni, analizziamo prima ogni proprietà in modo più dettagliato.
- L'identità di base si presenta così: alogaB=B. Si applica solo se a è maggiore di 0, diverso da uno, e B è maggiore di zero.
- Il logaritmo del prodotto può essere rappresentato nella seguente formula: logd(s1s2)=logds1 + logds2. In questo caso, la condizione obbligatoria è: d, s1 e s2 > 0; a≠1. Puoi dare una dimostrazione di questa formula dei logaritmi, con esempi e una soluzione. Let logas1 =f1 e logas 2=f2, quindi af1=s1, la f2=s2. Capiamo che s1s2 =af1a f2=af1+f2 (proprietà del grado), e inoltre per definizione: loga(s1 s2)=f1+ f2=log as1 + logas2, che doveva essere dimostrato.
- Il logaritmo del quoziente si presenta così: loga(s1/s2)=log as1- logas2.
- Il teorema sotto forma di formula assume la seguente forma: logaqbn =n/q logab.
Questa formula è chiamata "proprietà del grado del logaritmo". Assomiglia alle proprietà dei diplomi ordinari, e non è sorprendente, perché tutta la matematica si basa su postulati regolari. Diamo un'occhiata alla dimostrazione.
Let logab=t, otteniamo at=b. Se innalzi entrambi i lati alla potenza m: atn=b;
ma perché atn=(aq)nt/q=b , quindi logaq bn=(nt)/t, quindi logaq bn=n/q logab. Teorema dimostrato.
Esempi di problemi e disuguaglianze
I tipi più comuni di problemi di logaritmi sono esempi di equazioni e disequazioni. Si trovano in quasi tutti i libri problematici e sono inclusi anche nella parte obbligatoria degli esami di matematica. Per entrare in un'università o superare i test di ammissione in matematica, devi sapere come risolvere correttamente tali problemi.
Purtroppo non esiste un unico piano o schema per risolvere e determinare il valore sconosciuto del logaritmo, ma alcune regole possono essere applicate a ciascuna disuguaglianza matematica o equazione logaritmica. Prima di tutto, dovresti scoprire se l'espressione può essere semplificata o ridotta a una forma generale. Puoi semplificare lunghe espressioni logaritmiche se usi correttamente le loro proprietà. Conosciamoli presto.
Quando si risolvono equazioni logaritmiche,è necessario determinare che tipo di logaritmo abbiamo davanti: un esempio di espressione può contenere un logaritmo naturale o decimale.
Ecco alcuni esempi di logaritmi decimali: ln100, ln1026. La loro soluzione si riduce al fatto che è necessario determinare il grado in cui la base 10 sarà rispettivamente pari a 100 e 1026. Per soluzioni di logaritmi naturali, si devono applicare identità logaritmiche o loro proprietà. Diamo un'occhiata ad esempi di risoluzione di problemi logaritmici di vario tipo.
Come usare le formule logaritmiche: con esempi e soluzioni
Quindi, diamo un'occhiata ad esempi di utilizzo dei principali teoremi sui logaritmi.
- La proprietà del logaritmo del prodotto può essere utilizzata in attività in cui è necessario scomporre un valore elevato del numero b in fattori più semplici. Ad esempio, log24 + log2128=log2(4128)=log2512. La risposta è 9.
- log48=log22 23 =3/2 log22=1, 5 - come puoi vedere, applicando la quarta proprietà del grado del logaritmo, siamo riusciti a risolvere a prima vista un'espressione complessa e irrisolvibile. Tutto quello che devi fare è scomporre la base e poi togliere la potenza dal segno del logaritmo.
Incarichi dall'esame
I logaritmi si trovano spesso negli esami di ammissione, in particolare molti problemi logaritmici nell'esame di stato unificato (esame di stato per tutti i diplomati). Di solito questi compiti sono presenti non solo nella parte A (il piùprova facile dell'esame), ma anche nella parte C (le attività più difficili e voluminose). L'esame richiede una conoscenza accurata e perfetta dell'argomento "Logaritmi naturali".
Esempi e soluzioni ai problemi sono presi dalle versioni ufficiali dell'esame. Vediamo come vengono risolti questi compiti.
Dato log2(2x-1)=4. Soluzione:
riscrivi l'espressione, semplificandola un po' log2(2x-1)=22, dalla definizione del logaritmo otteniamo che 2x-1=24, quindi 2x=17; x=8, 5.
Seguendo alcune linee guida, seguendo le quali puoi facilmente risolvere tutte le equazioni contenenti espressioni che sono sotto il segno del logaritmo.
- È meglio ridurre tutti i logaritmi alla stessa base in modo che la soluzione non sia ingombrante e confusa.
- Tutte le espressioni sotto il segno del logaritmo sono indicate come positive, quindi quando si moltiplica l'esponente dell'espressione che si trova sotto il segno del logaritmo e come sua base, l'espressione che rimane sotto il logaritmo deve essere positiva.
