In geometria, per studiare le figure si utilizzano due caratteristiche importanti: le lunghezze dei lati e gli angoli tra di loro. Nel caso delle figure spaziali, a queste caratteristiche si aggiungono gli angoli diedri. Consideriamo di cosa si tratta e descriviamo anche il metodo per determinare questi angoli usando l'esempio di una piramide.
Il concetto di angolo diedro
Tutti sanno che due linee che si intersecano formano un angolo con il vertice nel punto della loro intersezione. Questo angolo può essere misurato con un goniometro oppure è possibile utilizzare le funzioni trigonometriche per calcolarlo. L'angolo formato da due angoli retti è detto lineare.
Ora immagina che nello spazio tridimensionale ci siano due piani che si intersecano in linea retta. Sono mostrati nell'immagine.
Un angolo diedro è l'angolo tra due piani che si intersecano. Proprio come lineare, si misura in gradi o radianti. Se in qualsiasi punto della linea lungo la quale i piani si intersecano, restaurare due perpendicolari,giacendo su questi piani, l'angolo tra di loro sarà il diedro desiderato. Il modo più semplice per determinare questo angolo è usare le equazioni generali dei piani.
L'equazione dei piani e la formula per l'angolo tra di loro
L'equazione di qualsiasi piano nello spazio in termini generali è scritta come segue:
LA × x + B × y + C × z + D=0.
Qui x, y, z sono le coordinate dei punti appartenenti al piano, i coefficienti A, B, C, D sono dei numeri noti. La comodità di questa uguaglianza per il calcolo degli angoli diedri è che contiene esplicitamente le coordinate del vettore di direzione del piano. Lo indicheremo con n¯. Allora:
n¯=(LA; SI; C).
Il vettore n¯ è perpendicolare al piano. L'angolo tra due piani è uguale all'angolo tra i loro vettori di direzione n1¯ e n2¯. È noto dalla matematica che l'angolo formato da due vettori è determinato in modo univoco dal loro prodotto scalare. Questo ti permette di scrivere una formula per calcolare l'angolo diedro tra due piani:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Se sostituiamo le coordinate dei vettori, la formula verrà scritta esplicitamente:
φ=arccos (|LA1 × LA2 + SI1 × SI 2 + C1 × C2| / (√(LA1 2 + B12 + C12 ) × √(LA22+B22 + C22))).
Il segno modulo nel numeratore viene utilizzato per definire solo un angolo acuto, poiché un angolo diedro è sempre minore o uguale a 90o.
Piramide e i suoi angoli
La piramide è una figura formata da un n-gon e n triangoli. Qui n è un numero intero uguale al numero di lati del poligono che è la base della piramide. Questa figura spaziale è un poliedro o poliedro, poiché è costituito da facce piatte (lati).
Gli angoli diedri di una piramide-poliedro possono essere di due tipi:
- tra base e lato (triangolo);
- tra due lati.
Se la piramide è considerata regolare, è facile determinarne gli angoli con nome. Per fare ciò, utilizzando le coordinate di tre punti noti, si dovrebbe comporre un'equazione dei piani, quindi utilizzare la formula data nel paragrafo precedente per l'angolo φ.
Di seguito riportiamo un esempio in cui mostriamo come trovare angoli diedri alla base di una piramide regolare quadrangolare.
Una piramide regolare quadrangolare e un angolo alla sua base
Supponiamo che sia data una piramide regolare a base quadrata. La lunghezza del lato del quadrato è a, l' altezza della figura è h. Trova l'angolo tra la base della piramide e il suo lato.
Posizioniamo l'origine del sistema di coordinate al centro del quadrato. Poi le coordinate dei puntiA, B, C, D mostrati nell'immagine saranno:
LA=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Considera gli aerei ACB e ADB. Ovviamente, il vettore di direzione n1¯ per il piano ACB sarà:
1¯=(0; 0; 1).
Per determinare il vettore di direzione n2¯ del piano ADB, procedi come segue: trova due vettori arbitrari che gli appartengano, ad esempio AD¯ e AB¯, quindi calcola il loro lavoro vettoriale. Il suo risultato darà le coordinate n2¯. Abbiamo:
AD¯=RE - LA=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=SI - LA=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Poiché la moltiplicazione e la divisione di un vettore per un numero non cambia la sua direzione, trasformiamo il risultante n2¯, dividendo le sue coordinate per -a, otteniamo:
2¯=(h; 0; a/2).
Abbiamo definito le guide vettoriali n1¯ e n2¯ per la base ACB e i piani laterali ADB. Resta da usare la formula per l'angolo φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Trasforma l'espressione risultante e riscrivila in questo modo:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Abbiamo ottenuto la formula per l'angolo diedro alla base di una piramide quadrangolare regolare. Conoscendo l' altezza della figura e la lunghezza del suo lato, puoi calcolare l'angolo φ. Ad esempio, per la piramide di Cheope, il cui lato di base è di 230,4 metri e l' altezza iniziale era di 146,5 metri, l'angolo φ sarà 51,8o.
È anche possibile determinare l'angolo diedro per una piramide regolare quadrangolare usando il metodo geometrico. Per fare ciò basta considerare un triangolo rettangolo formato dall' altezza h, la metà della lunghezza della base a/2 e l'apotema di un triangolo isoscele.
