Uno dei problemi comuni in stereometria sono i compiti di attraversare linee rette e piani e calcolare gli angoli tra di loro. Consideriamo in questo articolo più in dettaglio il cosiddetto metodo delle coordinate e gli angoli tra la linea e il piano.
Linea e piano in geometria
Prima di considerare il metodo delle coordinate e l'angolo tra una linea e un piano, dovresti familiarizzare con gli oggetti geometrici nominati.
Una linea è un tale insieme di punti nello spazio o su un piano, ognuno dei quali può essere ottenuto trasferendo linearmente il precedente su un certo vettore. In quanto segue, indichiamo questo vettore con il simbolo u¯. Se questo vettore viene moltiplicato per qualsiasi numero diverso da zero, otteniamo un vettore parallelo a u¯. Una linea è un oggetto lineare infinito.
Un piano è anche un insieme di punti che si trovano in modo tale che se si formano vettori arbitrari da essi, allora tutti saranno perpendicolari a qualche vettore n¯. Quest'ultimo è chiamato normale o semplicemente normale. Un piano, a differenza di una linea retta, è un oggetto infinito bidimensionale.
Metodo delle coordinate per risolvere i problemi di geometria
In base al nome del metodo stesso, possiamo concludere che stiamo parlando di un metodo per la risoluzione dei problemi, che si basa sull'esecuzione di calcoli analitici sequenziali. In altre parole, il metodo delle coordinate consente di risolvere problemi geometrici utilizzando strumenti di algebra universale, i principali dei quali sono le equazioni.
Va notato che il metodo in esame è apparso agli albori della geometria e dell'algebra moderne. Un grande contributo al suo sviluppo fu dato da René Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton e Leibniz nei secoli XVII-XVIII.
L'essenza del metodo è calcolare le distanze, gli angoli, le aree e i volumi degli elementi geometrici in base alle coordinate di punti noti. Si noti che la forma delle equazioni finali ottenute dipende dal sistema di coordinate. Molto spesso, nei problemi viene utilizzato il sistema cartesiano rettangolare, poiché è più conveniente lavorare con.
Equazione lineare
Considerando il metodo delle coordinate e gli angoli tra la retta e il piano, iniziamo con l'impostazione dell'equazione della retta. Esistono diversi modi per rappresentare le linee in forma algebrica. Qui consideriamo solo l'equazione vettoriale, dal momento che può essere facilmente ottenuta da essa in qualsiasi altra forma ed è facile lavorarci.
Supponiamo che ci siano due punti: P e Q. È noto che si può tracciare una linea attraverso di essi, ed essosarà l'unico. La corrispondente rappresentazione matematica dell'elemento si presenta così:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Dove PQ¯ è un vettore le cui coordinate si ottengono come segue:
PQ¯=Q - P.
Il simbolo λ indica un parametro che può assumere qualsiasi numero.
Nell'espressione scritta, puoi cambiare la direzione del vettore e anche sostituire le coordinate Q al posto del punto P. Tutte queste trasformazioni non porteranno a un cambiamento nella posizione geometrica della linea.
Nota che quando si risolvono problemi, a volte è necessario rappresentare l'equazione vettoriale scritta in una forma esplicita (parametrica).
Impostare un aereo nello spazio
Oltre alla retta, ci sono anche diverse forme di equazioni matematiche per un piano. Tra questi, notiamo il vettore, l'equazione in segmenti e la forma generale. In questo articolo, presteremo particolare attenzione all'ultimo modulo.
Un'equazione generale per un piano arbitrario può essere scritta come segue:
LAx + SIy + Cz + D=0.
Le lettere maiuscole latine sono determinati numeri che definiscono un piano.
La convenienza di questa notazione è che contiene esplicitamente un vettore normale al piano. È uguale a:
n¯=(LA, SI, C).
Conoscere questo vettore permette, osservando brevemente l'equazione del piano, di immaginare la posizione di quest'ultimo nel sistema di coordinate.
Arrangiamento reciprocospazio di linea e piano
Nel prossimo paragrafo dell'articolo passeremo alla considerazione del metodo delle coordinate e dell'angolo tra la linea e il piano. Qui risponderemo alla domanda su come gli elementi geometrici considerati possono essere posizionati nello spazio. Ci sono tre modi:
- La retta interseca il piano. Usando il metodo delle coordinate, puoi calcolare in quale punto si intersecano la linea e il piano.
- Il piano di una retta è parallelo. In questo caso, il sistema di equazioni degli elementi geometrici non ha soluzione. Per dimostrare il parallelismo si usa solitamente la proprietà del prodotto scalare del vettore direzionale della retta e della normale del piano.
- L'aereo contiene una linea. Risolvendo il sistema di equazioni in questo caso, arriveremo alla conclusione che per qualsiasi valore del parametro λ si ottiene l'uguaglianza corretta.
Nel secondo e terzo caso, l'angolo tra gli oggetti geometrici specificati è uguale a zero. Nel primo caso, è compreso tra 0 e 90o.
Calcolo degli angoli tra rette e piani
Adesso andiamo direttamente all'argomento dell'articolo. Qualsiasi intersezione di una linea e di un piano si verifica ad un certo angolo. Questo angolo è formato dalla retta stessa e dalla sua proiezione sul piano. Si può ottenere una proiezione se da un punto qualsiasi di una retta si abbassa una perpendicolare sul piano, e quindi attraverso il punto di intersezione ottenuto tra il piano e la perpendicolare e il punto di intersezione del piano e la retta originaria, si traccia una linea retta che sarà una proiezione.
Calcolare gli angoli tra linee e piani non è un compito difficile. Per risolverlo è sufficiente conoscere le equazioni degli oggetti geometrici corrispondenti. Diciamo che queste equazioni assomigliano a questa:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
LAx + SIy + Cz + D=0.
L'angolo desiderato si trova facilmente usando la proprietà del prodotto dei vettori scalari u¯ e n¯. La formula finale si presenta così:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Questa formula dice che il seno dell'angolo tra una linea e un piano è uguale al rapporto tra il modulo del prodotto scalare dei vettori marcati e il prodotto delle loro lunghezze. Per capire perché è apparso seno invece di coseno, passiamo alla figura seguente.
Si può vedere che se applichiamo la funzione coseno, otterremo l'angolo compreso tra i vettori u¯ e n¯. L'angolo desiderato θ (α nella figura) si ottiene come segue:
θ=90o- β.
Il seno appare come risultato dell'applicazione delle formule di riduzione.
Esempio di problema
Passiamo all'uso pratico delle conoscenze acquisite. Risolviamo un problema tipico sull'angolo tra una retta ed un piano. Vengono fornite le seguenti coordinate di quattro punti:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
È noto che attraverso i punti PQMun piano lo attraversa e una retta passa per MN. Utilizzando il metodo delle coordinate, è necessario calcolare l'angolo tra il piano e la linea.
Per prima cosa, scriviamo le equazioni della retta e del piano. Per una linea retta, è facile comporla:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Per fare l'equazione del piano, troviamo prima la normale ad esso. Le sue coordinate sono uguali al prodotto vettoriale di due vettori che giacciono sul piano dato. Abbiamo:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Ora sostituiamo le coordinate di qualsiasi punto che giace in esso nell'equazione del piano generale per ottenere il valore del termine libero D:
P=(1, -1, 0);
- (LAx + SIy + Cz)=RE=>
Re=- (-11 + 4 + 0)=7.
L'equazione del piano è:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Rimane da applicare la formula per l'angolo formato all'intersezione di una retta e un piano per ottenere la risposta al problema. Abbiamo:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Utilizzando questo problema come esempio, abbiamo mostrato come utilizzare il metodo delle coordinate per risolvere problemi geometrici.
