Un tipico problema geometrico è trovare l'angolo tra le linee. Su un piano, se si conoscono le equazioni delle rette, si possono disegnare e misurare l'angolo con un goniometro. Tuttavia, questo metodo è laborioso e non sempre possibile. Per scoprire l'angolo con nome, non è necessario tracciare linee rette, può essere calcolato. Questo articolo risponderà a come si fa.
Una retta e la sua equazione vettoriale
Qualsiasi linea retta può essere rappresentata come un vettore che inizia con -∞ e termina con +∞. In questo caso, il vettore passa per un punto nello spazio. Pertanto, tutti i vettori che possono essere disegnati tra due punti qualsiasi su una retta saranno paralleli tra loro. Questa definizione permette di impostare l'equazione di una retta in forma vettoriale:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Qui, il vettore con le coordinate (a; b; c) è la guida per questa retta passante per il punto (x0; y0; z0). Il parametro α consente di trasferire il punto specificato a qualsiasi altro per questa linea. Questa equazione è intuitiva e facile da usare sia nello spazio 3D che su un piano. Per un piano, non conterrà le coordinate z e la terza componente del vettore di direzione.
La comodità di eseguire calcoli e studiare la posizione relativa delle rette grazie all'uso di un'equazione vettoriale è dovuta al fatto che il suo vettore direttivo è noto. Le sue coordinate vengono utilizzate per calcolare l'angolo tra le linee e la distanza tra loro.
Equazione generale per una retta su un piano
Scriviamo esplicitamente l'equazione vettoriale della retta per il caso bidimensionale. Sembra:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Ora calcoliamo il parametro α per ciascuna uguaglianza e uguagliamo le parti giuste delle uguaglianze ottenute:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Aprendo le parentesi e trasferendo tutti i termini su un lato dell'uguaglianza, otteniamo:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
LAx + SIy + C=0, dove LA=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
L'espressione risultante è chiamata equazione generale per una retta data nello spazio bidimensionale (in tridimensionale questa equazione corrisponde a un piano parallelo all'asse z, non a una retta).
Se scriviamo esplicitamente da y a x in questa espressione, otteniamo la seguente forma, notaogni studente:
y=kx + p, dove k=-LA/B, p=-C/SI
Questa equazione lineare definisce in modo univoco una linea retta sul piano. È molto facile disegnarlo secondo la nota equazione, per questo dovresti mettere a turno x=0 e y=0, segnare i punti corrispondenti nel sistema di coordinate e tracciare una linea retta che collega i punti ottenuti.
Formula dell'angolo tra le linee
Su un piano, due rette possono intersecarsi o essere parallele tra loro. Nello spazio, a queste opzioni si aggiunge la possibilità dell'esistenza di linee oblique. Qualunque sia la versione della posizione relativa di questi oggetti geometrici unidimensionali implementata, l'angolo tra di loro può sempre essere determinato dalla seguente formula:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Dove v1¯ e v2¯ sono i vettori guida rispettivamente per la riga 1 e 2. Il numeratore è il modulo del prodotto scalare per escludere gli angoli ottusi e prendere in considerazione solo quelli acuti.
I vettori v1¯ e v2¯ possono essere dati da due o tre coordinate, mentre la formula per l'angolo φ rimane invariato.
Parallelismo e perpendicolarità delle linee
Se l'angolo tra 2 rette calcolato usando la formula sopra è 0o, allora si dice che sono parallele. Per determinare se le linee sono parallele o meno, non è possibile calcolare l'angoloφ, basta mostrare che un vettore di direzione può essere rappresentato attraverso un vettore simile di un' altra linea, cioè:
v1¯=qv2¯
Qui q è un numero reale.
Se le equazioni delle linee sono date come:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
allora saranno paralleli solo quando i coefficienti di x sono uguali, ovvero:
k1=k2
Questo fatto può essere dimostrato se consideriamo come il coefficiente k è espresso in termini di coordinate del vettore direzionale della retta.
Se l'angolo di intersezione tra le linee è 90o, allora sono dette perpendicolari. Per determinare la perpendicolarità delle rette non è nemmeno necessario calcolare l'angolo φ, per questo è sufficiente calcolare solo il prodotto scalare dei vettori v1¯ e v 2¯. Deve essere zero.
Nel caso di rette intersecanti nello spazio, può essere utilizzata anche la formula per l'angolo φ. In questo caso, il risultato deve essere interpretato correttamente. Il φ calcolato mostra l'angolo tra i vettori di direzione delle rette che non si intersecano e non sono parallele.
Compito 1. Linee perpendicolari
È noto che le equazioni delle rette hanno la forma:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
È necessario determinare se queste righe lo sonoperpendicolare.
Come detto sopra, per rispondere alla domanda basta calcolare il prodotto scalare dei vettori delle guide, che corrispondono alle coordinate (1; 2) e (-4; 2). Abbiamo:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Dato che abbiamo ottenuto 0, significa che le linee considerate si intersecano ad angolo retto, cioè sono perpendicolari.
Compito 2. Angolo di intersezione della linea
È noto che due equazioni per rette hanno la seguente forma:
y=2x - 1;
y=-x + 3
È necessario trovare l'angolo tra le linee.
Poiché i coefficienti di x hanno valori diversi, queste rette non sono parallele. Per trovare l'angolo che si forma quando si intersecano, traduciamo ciascuna delle equazioni in una forma vettoriale.
Per la prima riga otteniamo:
(x; y)=(x; 2x - 1)
A destra dell'equazione, abbiamo un vettore le cui coordinate dipendono da x. Rappresentiamolo come somma di due vettori, e le coordinate del primo conterranno la variabile x, e le coordinate del secondo saranno composte esclusivamente da numeri:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Poiché x assume valori arbitrari, può essere sostituito dal parametro α. L'equazione vettoriale per la prima riga diventa:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Facciamo le stesse azioni con la seconda equazione della retta, otteniamo:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Abbiamo riscritto le equazioni originali in forma vettoriale. Ora puoi usare la formula per l'angolo di intersezione, sostituendo in essa le coordinate dei vettori direttivi delle rette:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Quindi, le linee in esame si intersecano con un angolo di 71.565o, o 1.249 radianti.
Questo problema avrebbe potuto essere risolto diversamente. Per fare ciò, è stato necessario prendere due punti arbitrari di ciascuna retta, comporre vettori diretti da essi e quindi utilizzare la formula per φ.
