Probabilmente, il concetto di derivato è familiare a ciascuno di noi dai tempi della scuola. Di solito gli studenti hanno difficoltà a capire questa cosa, senza dubbio, molto importante. È attivamente utilizzato in vari settori della vita delle persone e molti sviluppi ingegneristici si sono basati proprio su calcoli matematici ottenuti utilizzando la derivata. Ma prima di procedere all'analisi di cosa sono le derivate dei numeri, come calcolarle e dove ci sono utili, tuffiamoci nella storia.
Cronologia
Il concetto di derivata, che sta alla base dell'analisi matematica, è stato scoperto (sarebbe meglio dire "inventato", perché in natura non esisteva in quanto tale) da Isaac Newton, che tutti conosciamo dalla scoperta della legge di gravitazione universale. Fu lui che per primo applicò questo concetto in fisica per collegare la natura della velocità e dell'accelerazione dei corpi. E molti scienziati lodano ancora Newton per questa magnifica invenzione, perché in effetti ha inventato le basi del calcolo differenziale e integrale, infatti, la base di un'intera area della matematica chiamata "calcolo". Se in quel momento il premio Nobel, Newton lo avrebbe ricevuto con un' alta probabilità più volte.
Non senza altre grandi menti. Tranne Newtoneminenti geni della matematica come Leonhard Euler, Louis Lagrange e Gottfried Leibniz hanno lavorato allo sviluppo della derivata e dell'integrale. È grazie a loro che abbiamo ricevuto la teoria del calcolo differenziale nella forma in cui esiste ancora oggi. A proposito, fu Leibniz a scoprire il significato geometrico della derivata, che si rivelò essere nient' altro che la tangente della pendenza della tangente al grafico della funzione.
Cosa sono le derivate dei numeri? Ripetiamo un po' quello che abbiamo passato a scuola.
Cos'è un derivato?
Questo concetto può essere definito in diversi modi. La spiegazione più semplice è che la derivata è il tasso di variazione della funzione. Immagina un grafico di una funzione y di x. Se non è rettilineo, allora ha alcune curve nel grafico, periodi di aumento e diminuzione. Se prendiamo un intervallo infinitamente piccolo di questo grafico, sarà un segmento di linea retta. Quindi, il rapporto tra la dimensione di questo segmento infinitamente piccolo lungo la coordinata y e la dimensione lungo la coordinata x sarà la derivata di questa funzione in un dato punto. Se consideriamo la funzione nel suo insieme, e non in un punto specifico, otterremo una funzione derivata, cioè una certa dipendenza di y da x.
Oltre al significato fisico della derivata come tasso di variazione di una funzione, esiste anche un significato geometrico. Parleremo di lui ora.
Senso geometrico
Le stesse derivate dei numeri rappresentano un certo numero che, senza un'adeguata comprensione, non portanessun punto. Si scopre che la derivata non solo mostra il tasso di crescita o diminuzione della funzione, ma anche la tangente della pendenza della tangente al grafico della funzione in un dato punto. Non una definizione molto chiara. Analizziamolo più in dettaglio. Diciamo di avere un grafico di una funzione (per interesse, prendiamo una curva). Ha un numero infinito di punti, ma ci sono aree in cui un solo punto ha un massimo o un minimo. Attraverso uno qualsiasi di tali punti è possibile tracciare una linea che sarebbe perpendicolare al grafico della funzione in quel punto. Tale linea sarà chiamata tangente. Diciamo di averlo speso fino all'intersezione con l'asse OX. Quindi, l'angolo ottenuto tra la tangente e l'asse OX sarà determinato dalla derivata. Più precisamente, la tangente di questo angolo sarà uguale ad esso.
Parliamo un po' di casi speciali e analizziamo le derivate dei numeri.
Casi speciali
Come abbiamo già detto, le derivate dei numeri sono i valori della derivata in un punto particolare. Ad esempio, prendiamo la funzione y=x2. La derivata x è un numero e, in generale, una funzione uguale a 2x. Se dobbiamo calcolare la derivata, diciamo, nel punto x0=1, allora otteniamo y'(1)=21=2. Tutto è molto semplice. Un caso interessante è la derivata di un numero complesso. Non entreremo in una spiegazione dettagliata di cosa sia un numero complesso. Diciamo solo che questo è un numero che contiene la cosiddetta unità immaginaria, un numero il cui quadrato è -1. Il calcolo di tale derivata è possibile solo se quanto seguecondizioni:
1) Devono esserci derivate parziali del primo ordine delle parti reale e immaginaria rispetto a Y e X.
2) Le condizioni di Cauchy-Riemann associate all'uguaglianza delle derivate parziali descritte nel primo paragrafo sono soddisfatte.
Un altro caso interessante, anche se non complicato come il precedente, è la derivata di un numero negativo. In effetti, qualsiasi numero negativo può essere rappresentato come un numero positivo moltiplicato per -1. Ebbene, la derivata della costante e della funzione è uguale alla costante moltiplicata per la derivata della funzione.
Sarà interessante conoscere il ruolo della derivata nella vita di tutti i giorni, e questo è ciò di cui parleremo ora.
Applicazione
Probabilmente, ognuno di noi almeno una volta nella vita si sorprende a pensare che è improbabile che la matematica gli sia utile. E una cosa così complicata come un derivato, probabilmente, non ha alcuna applicazione. In effetti, la matematica è una scienza fondamentale e tutti i suoi frutti sono sviluppati principalmente dalla fisica, dalla chimica, dall'astronomia e persino dall'economia. La derivata è stata l'inizio dell'analisi matematica, che ci ha dato la capacità di trarre conclusioni dai grafici delle funzioni, e abbiamo imparato a interpretare le leggi della natura e sfruttarle a nostro vantaggio grazie ad essa.
Conclusione
Naturalmente, non tutti potrebbero aver bisogno di un derivato nella vita reale. Ma la matematica sviluppa la logica, che sarà certamente necessaria. Non per niente la matematica è chiamata la regina delle scienze: costituisce la base per la comprensione di altre aree della conoscenza.
