La planimetria è una branca della geometria che studia le proprietà delle figure piane. Questi includono non solo noti triangoli, quadrati, rettangoli, ma anche linee rette e angoli. In planimetria ci sono anche concetti come gli angoli in un cerchio: centrale e inscritto. Ma cosa significano?
Qual è l'angolo centrale?
Per capire cos'è un angolo centrale, devi definire un cerchio. Un cerchio è un insieme di tutti i punti equidistanti da un dato punto (il centro del cerchio).
È molto importante distinguerlo da un cerchio. Va ricordato che un cerchio è una linea chiusa e un cerchio è una parte di un piano delimitato da esso. Un poligono o un angolo possono essere inscritti in un cerchio.
Un angolo centrale è un angolo il cui vertice coincide con il centro del cerchio ei cui lati intersecano il cerchio in due punti. L'arco, che l'angolo delimita con punti di intersezione, è chiamato arco su cui poggia l'angolo dato.
Considera l'esempio 1.
Nella figura, l'angolo AOB è centrale, perché il vertice dell'angolo e il centro del cerchio sono un punto O. Poggia sull'arco AB, che non contiene il punto C.
In che modo un angolo inscritto differisce da uno centrale?
Tuttavia, oltre a quelli centrali, ci sono anche angoli inscritti. Qual è la loro differenza? Proprio come quello centrale, l'angolo inscritto in una circonferenza poggia su un certo arco. Ma il suo vertice non coincide con il centro del cerchio, ma giace su di esso.
Prendiamo il seguente esempio.
L'angolo ACB è detto angolo inscritto in una circonferenza centrata nel punto O. Il punto C appartiene alla circonferenza, cioè giace su di essa. L'angolo poggia sull'arco AB.
Qual è l'angolo centrale
Per affrontare con successo i problemi di geometria, non è sufficiente essere in grado di distinguere tra angoli inscritti e centrali. Di norma, per risolverli, devi sapere esattamente come trovare l'angolo centrale in un cerchio ed essere in grado di calcolarne il valore in gradi.
Quindi, l'angolo centrale è uguale alla misura dei gradi dell'arco su cui poggia.
Nella figura, l'angolo AOB poggia sull'arco AB pari a 66°. Quindi anche l'angolo AOB è uguale a 66°.
Quindi, gli angoli centrali basati su archi uguali sono uguali.
Nella figura, l'arco DC è uguale all'arco AB. Quindi l'angolo AOB è uguale all'angolo DOC.
Come trovare un angolo inscritto
Può sembrare che l'angolo inscritto nel cerchio sia uguale all'angolo centrale,che si basa sullo stesso arco. Tuttavia, questo è un errore grossolano. Infatti, anche solo guardando il disegno e confrontando questi angoli tra loro, puoi vedere che le loro misure di grado avranno valori diversi. Allora qual è l'angolo inscritto nel cerchio?
La misura dei gradi di un angolo inscritto è metà dell'arco su cui poggia, o metà dell'angolo centrale se si basano sullo stesso arco.
Consideriamo un esempio. L'angolo ACB è basato su un arco pari a 66°.
Quindi l'angolo DIA=66°: 2=33°
Consideriamo alcune conseguenze di questo teorema.
- Gli angoli inscritti, se basati sullo stesso arco, corda o archi uguali, sono uguali.
- Se gli angoli inscritti sono basati sulla stessa corda, ma i loro vertici giacciono su lati opposti di essa, la somma delle misure dei gradi di tali angoli è 180°, poiché in questo caso entrambi gli angoli sono basati su archi, la cui misura del grado totale è 360° (intero cerchio), 360°: 2=180°
- Se l'angolo inscritto è basato sul diametro del cerchio dato, la sua misura in gradi è 90°, poiché il diametro sottende un arco pari a 180°, 180°: 2=90°
- Se gli angoli centrali e inscritti in una circonferenza sono basati sullo stesso arco o corda, allora l'angolo inscritto è uguale alla metà di quello centrale.
Dove si possono trovare problemi su questo argomento? I loro tipi e soluzioni
Poiché il cerchio e le sue proprietà sono una delle sezioni più importanti della geometria, in particolare della planimetria, gli angoli inscritti e centrali nel cerchio sono un argomento ampiamente e dettagliatostudiato nel curriculum scolastico. I compiti dedicati alle loro proprietà si trovano nell'esame di stato principale (OGE) e nell'esame di stato unificato (USE). Di norma, per risolvere questi problemi, dovresti trovare gli angoli sul cerchio in gradi.
Angoli basati sullo stesso arco
Questo tipo di problema è forse uno dei più facili, poiché per risolverlo basta conoscere due semplici proprietà: se entrambi gli angoli sono inscritti e si appoggiano sulla stessa corda sono uguali, se uno di essi è centrale, allora il corrispondente angolo inscritto è uguale alla metà di esso. Tuttavia, quando li si risolve, bisogna stare estremamente attenti: a volte è difficile notare questa proprietà e gli studenti, quando risolvono problemi così semplici, arrivano a un vicolo cieco. Considera un esempio.
Problema 1
Dato un cerchio centrato nel punto O. L'angolo AOB è 54°. Trova la misura in gradi dell'angolo DIA.
Questo compito viene risolto in un solo passaggio. L'unica cosa di cui hai bisogno per trovare rapidamente la risposta è notare che l'arco su cui poggiano entrambi gli angoli è comune. Visto questo, si può applicare l'immobile già familiare. L'angolo ACB è la metà dell'angolo AOB. Quindi
1) AOB=54°: 2=27°.
Risposta: 54°.
Angoli basati su archi diversi dello stesso cerchio
A volte la dimensione dell'arco su cui poggia l'angolo richiesto non è specificata direttamente nelle condizioni del problema. Per calcolarlo, devi analizzare la grandezza di questi angoli e confrontarli con le proprietà note del cerchio.
Problema 2
In un cerchio centrato su O, angolo AOCè 120° e l'angolo AOB è 30°. Trova l'angolo TU.
Per cominciare, vale la pena dire che è possibile risolvere questo problema usando le proprietà dei triangoli isoscele, ma ciò richiederà più operazioni matematiche. Pertanto, qui analizzeremo la soluzione utilizzando le proprietà degli angoli centrali e inscritti in un cerchio.
Quindi, l'angolo AOC poggia sull'arco AC ed è centrale, il che significa che l'arco AC è uguale all'angolo AOC.
AC=120°
Allo stesso modo, l'angolo AOB poggia sull'arco AB.
AB=30°.
Conoscendo questo e la misura dei gradi dell'intero cerchio (360°), puoi facilmente trovare la grandezza dell'arco BC.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Il vertice dell'angolo CAB, punto A, giace sul cerchio. Quindi l'angolo CAB è inscritto e uguale alla metà dell'arco CB.
Angolo CAB=210°: 2=110°
Risposta: 110°
Problemi basati sui rapporti d'arco
Alcuni problemi non contengono affatto dati sugli angoli, quindi devono essere cercati solo in base a teoremi noti e proprietà di un cerchio.
Problema 1
Trova l'angolo inscritto in una circonferenza che è supportata da una corda uguale al raggio della circonferenza data.
Se disegni mentalmente delle linee che collegano le estremità del segmento con il centro del cerchio, ottieni un triangolo. Dopo averlo esaminato, puoi vedere che queste linee sono i raggi del cerchio, il che significa che tutti i lati del triangolo sono uguali. Sappiamo che tutti gli angoli di un triangolo equilaterosono pari a 60°. Quindi l'arco AB contenente il vertice del triangolo è uguale a 60°. Da qui troviamo l'arco AB, su cui si basa l'angolo desiderato.
AB=360° - 60°=300°
Angolo ABC=300°: 2=150°
Risposta: 150°
Problema 2
In un cerchio centrato nel punto O, gli archi sono correlati come 3:7. Trova l'angolo inscritto più piccolo.
Per la soluzione, indichiamo una parte come X, quindi un arco è uguale a 3X e il secondo, rispettivamente, 7X. Sapendo che la misura dei gradi di un cerchio è 360°, possiamo scrivere un'equazione.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Secondo le condizioni, devi trovare un angolo più piccolo. Ovviamente, se il valore dell'angolo è direttamente proporzionale all'arco su cui poggia, allora l'angolo (minore) richiesto corrisponde ad un arco pari a 3X.
Quindi l'angolo più piccolo è (36°3): 2=108°: 2=54°
Risposta: 54°
Problema 3
In un cerchio centrato nel punto O, l'angolo AOB è 60° e la lunghezza dell'arco più piccolo è 50. Calcola la lunghezza dell'arco più grande.
Per calcolare la lunghezza di un arco più grande, devi fare una proporzione: come l'arco più piccolo si rapporta a quello più grande. Per fare ciò, calcoliamo la grandezza di entrambi gli archi in gradi. L'arco più piccolo è uguale all'angolo che poggia su di esso. La sua misura in gradi è 60°. L'arco più grande è uguale alla differenza tra la misura dei gradi del cerchio (è uguale a 360° indipendentemente da altri dati) e l'arco più piccolo.
Il grande arco è 360° - 60°=300°.
Dato che 300°: 60°=5, l'arco più grande è 5 volte quello più piccolo.
Arco grande=505=250
Risposta: 250
Quindi, ovviamente, ce ne sono altriapprocci per risolvere problemi simili, ma tutti sono in qualche modo basati sulle proprietà di angoli, triangoli e cerchi centrali e inscritti. Per risolverli con successo, devi studiare attentamente il disegno e confrontarlo con i dati del problema, oltre ad essere in grado di applicare le tue conoscenze teoriche nella pratica.
