Spesso in fisica si devono risolvere problemi per calcolare l'equilibrio in sistemi complessi che hanno molte forze agenti, leve e assi di rotazione. In questo caso, è più semplice utilizzare il concetto di momento di forza. Questo articolo fornisce tutte le formule necessarie con spiegazioni dettagliate che dovrebbero essere utilizzate per risolvere problemi del tipo indicato.
Di cosa parleremo?
Molte persone probabilmente hanno notato che se agisci con una qualsiasi forza su un oggetto fissato in un certo punto, esso inizia a ruotare. Un esempio lampante è la porta di casa o della stanza. Se lo prendi per la maniglia e spingi (applica forza), inizierà ad aprirsi (ruota sui cardini). Questo processo è una manifestazione nella vita quotidiana dell'azione di una quantità fisica, che è chiamata il momento della forza.
Dall'esempio descritto con la porta ne consegue che il valore in questione indica la capacità di rotazione della forza, che è il suo significato fisico. Anche questo valoreè chiamato momento di torsione.
Determinazione del momento di forza
Prima di definire la quantità in esame, facciamo un semplice quadro.
Quindi, la figura mostra una leva (blu), che è fissata sull'asse (verde). Questa leva ha lunghezza d e alla sua estremità viene applicata una forza F. Cosa accadrà al sistema in questo caso? Esatto, la leva inizierà a ruotare in senso antiorario se vista dall' alto (nota che se allunghi un po' la tua immaginazione e immagini che la vista sia diretta dal basso verso la leva, allora ruoterà in senso orario).
Chiamiamo O il punto di attacco dell'asse e il punto di applicazione della forza - P. Quindi, possiamo scrivere la seguente espressione matematica:
OP¯ FA¯=M¯FAO.
Dove OP¯ è il vettore che è diretto dall'asse all'estremità della leva, è anche chiamato leva della forza, F¯è la forza applicata dal vettore al punto P, e M¯FO è il momento di forza attorno al punto O (asse). Questa formula è la definizione matematica della grandezza fisica in questione.
Direzione del momento e regola della mano destra
L'espressione sopra è un prodotto incrociato. Come sapete, il suo risultato è anche un vettore perpendicolare al piano che passa per i corrispondenti vettori moltiplicatori. Questa condizione è soddisfatta da due direzioni del valore M¯FO (basso e alto).
In modo univocoper determinare, si dovrebbe usare la cosiddetta regola della mano destra. Può essere formulato in questo modo: se pieghi quattro dita della tua mano destra in un semiarco e dirigi questo semiarco in modo che vada lungo il primo vettore (il primo fattore nella formula) e arrivi alla fine di il secondo, poi il pollice sporgente verso l' alto indicherà la direzione del momento di torsione. Nota anche che prima di usare questa regola, devi impostare i vettori moltiplicati in modo che escano dallo stesso punto (le loro origini devono corrispondere).
Nel caso della figura del paragrafo precedente, possiamo dire, applicando la regola della mano destra, che il momento di forza relativo all'asse sarà diretto verso l' alto, cioè verso di noi.
Oltre al metodo marcato per determinare la direzione del vettore M¯FO, ce ne sono altri due. Eccoli:
- Il momento di torsione sarà diretto in modo tale che se guardi la leva rotante dall'estremità del suo vettore, quest'ultimo si sposterà contro il tempo. È generalmente accettato di considerare positiva questa direzione del momento quando si risolvono vari tipi di problemi.
- Se si ruota il succhiello in senso orario, la coppia sarà diretta verso il movimento (approfondimento) del succhiello.
Tutte le definizioni di cui sopra sono equivalenti, quindi ognuno può scegliere quella che gli fa comodo.
Quindi, si è riscontrato che la direzione del momento di forza è parallela all'asse attorno al quale ruota la leva corrispondente.
Forza angolare
Considera l'immagine qui sotto.
Qui vediamo anche una leva di lunghezza L fissata in un punto (indicato da una freccia). Una forza F agisce su di esso, tuttavia è diretta di un certo angolo Φ (phi) rispetto alla leva orizzontale. La direzione del momento M¯FO in questo caso sarà la stessa della figura precedente (su di noi). Per calcolare il valore assoluto o il modulo di questa quantità, è necessario utilizzare la proprietà del prodotto incrociato. Secondo lui, per l'esempio in esame, puoi scrivere l'espressione: MFO=LFsin(180 o -Φ) oppure, usando la proprietà sine, riscriviamo:
MFO=LFsin(Φ).
La figura mostra anche un triangolo rettangolo completo, i cui lati sono la leva stessa (ipotenusa), la linea d'azione della forza (gamba) e il lato di lunghezza d (la seconda gamba). Dato che sin(Φ)=d/L, questa formula assumerà la forma: MFO=dF. Si può vedere che la distanza d è la distanza dal punto di attacco della leva alla linea d'azione della forza, cioè d è la leva della forza.
Entrambe le formule considerate in questo paragrafo, che seguono direttamente dalla definizione del momento di torsione, sono utili per risolvere problemi pratici.
Unità di coppia
Usando la definizione, si può stabilire che il valore MFO dovrebbe essere misurato in newton per metro (Nm). Infatti, nella forma di queste unità, è usato in SI.
Nota che Nm è un'unità di lavoro, espressa in joule, come l'energia. Tuttavia, i joule non vengono utilizzati per il concetto di momento di forza, poiché questo valore riflette proprio la possibilità di implementare quest'ultimo. Esiste però una connessione con l'unità di lavoro: se, per effetto della forza F, la leva viene ruotata completamente attorno al suo perno O, allora il lavoro svolto sarà uguale a A=MF O 2pi (2pi è l'angolo in radianti che corrisponde a 360o). In questo caso, l'unità di coppia MFO può essere espressa in joule per radiante (J/rad.). Quest'ultimo, insieme a Hm, è utilizzato anche nel sistema SI.
Teorema di Varignon
Alla fine del XVII secolo, il matematico francese Pierre Varignon, studiando l'equilibrio dei sistemi a leve, formulò per primo il teorema, che oggi porta il suo cognome. È formulato come segue: il momento totale di più forze è uguale al momento dell'unica forza risultante, che viene applicata a un certo punto rispetto allo stesso asse di rotazione. Matematicamente, può essere scritto come segue:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=re¯ ∑ i=1(F¯i)=re¯FA¯.
Questo teorema è conveniente da usare per calcolare i momenti torsionali in sistemi con forze agenti multiple.
Successivamente, diamo un esempio dell'utilizzo delle formule di cui sopra per risolvere problemi di fisica.
Problema con la chiave
Uno diUn esempio lampante di dimostrazione dell'importanza di tenere conto del momento di forza è il processo di svitamento dei dadi con una chiave inglese. Per svitare il dado, è necessario applicare un po' di coppia. È necessario calcolare quanta forza deve essere applicata al punto A per iniziare a svitare il dado, se tale forza al punto B è 300 N (vedi figura sotto).
Dalla figura sopra, seguono due cose importanti: primo, la distanza OB è il doppio di quella di OA; in secondo luogo, le forze FA e FBsono dirette perpendicolarmente alla leva corrispondente con l'asse di rotazione coincidente con il centro del dado (punto O).
Il momento torcente per questo caso può essere scritto in forma scalare come segue: M=OBFB=OAFA. Poiché OB/OA=2, questa uguaglianza vale solo se FA è 2 volte maggiore di FB. Dalla condizione del problema otteniamo che FA=2300=600 N. Cioè, più lunga è la chiave, più facile è svitare il dado.
Problema con due palline di massa diversa
La figura seguente mostra un sistema in equilibrio. È necessario trovare la posizione del fulcro se la lunghezza della tavola è di 3 metri.
Poiché il sistema è in equilibrio, la somma dei momenti di tutte le forze è uguale a zero. Ci sono tre forze che agiscono sulla tavola (i pesi delle due palline e la forza di reazione del supporto). Poiché la forza di supporto non crea un momento torcente (la lunghezza della leva è zero), ci sono solo due momenti creati dal peso delle sfere.
Che il punto di equilibrio sia a una distanza x dabordo contenente una pallina da 100 kg. Quindi possiamo scrivere l'uguaglianza: M1-M2=0. Poiché il peso del corpo è determinato dalla formula mg, allora abbiamo: m 1gx - m2g(3-x)=0. Riduciamo g e sostituiamo i dati, otteniamo: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 mo 14,3 cm.
Quindi, affinché il sistema sia in equilibrio, è necessario stabilire un punto di riferimento ad una distanza di 14,3 cm dal bordo, dove giace una palla di massa 100 kg.
