In fisica, la considerazione di problemi con corpi rotanti o sistemi in equilibrio viene effettuata utilizzando il concetto di "momento di forza". Questo articolo prenderà in considerazione la formula per il momento di forza, così come il suo utilizzo per risolvere questo tipo di problema.
Momento di forza in fisica
Come notato nell'introduzione, questo articolo si concentrerà sui sistemi che possono ruotare attorno a un asse o attorno a un punto. Si consideri un esempio di tale modello, mostrato nella figura seguente.
Vediamo che la leva grigia è fissata sull'asse di rotazione. Alla fine della leva c'è un cubo nero di una certa massa, su cui agisce una forza (freccia rossa). È intuitivamente chiaro che il risultato di questa forza sarà la rotazione della leva attorno all'asse in senso antiorario.
Il momento della forza è una quantità in fisica, che è uguale al prodotto vettoriale del raggio che collega l'asse di rotazione e il punto di applicazione della forza (vettore verde nella figura), e la forza esterna si. Cioè, viene scritta la formula per il momento della forza attorno all'assecome segue:
M¯=r¯F¯
Il risultato di questo prodotto è il vettore M¯. La sua direzione è determinata in base alla conoscenza dei vettori moltiplicatori, cioè r¯ e F¯. Secondo la definizione di prodotto incrociato, M¯ deve essere perpendicolare al piano formato dai vettori r¯ e F¯, e diretto secondo la regola della mano destra (se quattro dita della mano destra sono poste lungo il primo moltiplicato vettore verso la fine del secondo, quindi il pollice indica dove è diretto il vettore desiderato). Nella figura puoi vedere dove è diretto il vettore M¯ (freccia blu).
Notazione scalare M¯
Nella figura del paragrafo precedente, la forza (freccia rossa) agisce sulla leva con un angolo di 90o. Nel caso generale, può essere applicato con qualsiasi angolazione. Considera l'immagine qui sotto.
Qui vediamo che la forza F agisce già sulla leva L ad un certo angolo Φ. Per questo sistema, la formula per il momento di forza relativo ad un punto (indicato da una freccia) in forma scalare assumerà la forma:
M=LFsin(Φ)
Segue dall'espressione che il momento della forza M sarà tanto maggiore quanto più vicina è la direzione dell'azione della forza F all'angolo 90o rispetto a L. Al contrario, se F agisce lungo L, allora sin(0)=0 e la forza non crea momento (M=0).
Quando si considera il momento della forza in forma scalare, viene spesso utilizzato il concetto di "leva di forza". Questo valore è la distanza tra l'asse (puntorotazione) e il vettore F. Applicando questa definizione alla figura sopra, possiamo dire che d=Lsin(Φ) è la leva della forza (l'uguaglianza deriva dalla definizione della funzione trigonometrica "seno"). Attraverso la leva della forza, la formula per il momento M può essere riscritta come segue:
M=reFA
Significato fisico di M
La grandezza fisica considerata determina la capacità della forza esterna F di esercitare un effetto rotatorio sul sistema. Per portare il corpo in moto rotatorio, è necessario informarlo di qualche momento M.
Un ottimo esempio di questo processo è aprire o chiudere la porta di una stanza. Tenendo la maniglia, la persona fa uno sforzo e fa girare la porta sui cardini. Tutti possono farlo. Se provi ad aprire la porta agendo su di essa vicino ai cardini, dovrai fare grandi sforzi per spostarla.
Un altro esempio è allentare un dado con una chiave inglese. Più breve è questa chiave, più difficile sarà completare l'attività.
Le caratteristiche indicate sono dimostrate dalla formula del momento di forza sopra la spalla, data nel paragrafo precedente. Se M è considerato un valore costante, allora minore d, maggiore F deve essere applicato per creare un dato momento di forza.
Diverse forze agenti nel sistema
I casi sono stati considerati sopra quando una sola forza F agisce su un sistema in grado di ruotare, ma cosa succede se ci sono diverse di queste forze? In effetti, questa situazione è più frequente, poiché le forze possono agire sul sistemanatura diversa (gravitazionale, elettrica, di attrito, meccanica e altre). In tutti questi casi, il momento di forza risultante M¯ può essere ottenuto utilizzando la somma vettoriale di tutti i momenti Mi¯, ovvero:
M¯=∑i(Mi¯), dove i è il numero di forza Fi
Dalla proprietà dell'additività dei momenti segue un'importante conclusione, che prende il nome di teorema di Varignon, dal nome del matematico della fine del XVII - inizio XVIII secolo - il francese Pierre Varignon. Si legge: "La somma dei momenti di tutte le forze agenti sul sistema in esame può essere rappresentata come un momento di una forza, che è uguale alla somma di tutte le altre e si applica fino a un certo punto". Matematicamente, il teorema può essere scritto come segue:
∑i(Mi¯)=M¯=re∑i (FAi¯)
Questo importante teorema viene spesso utilizzato nella pratica per risolvere problemi sulla rotazione e l'equilibrio dei corpi.
Un momento di forza funziona?
Analizzando le formule di cui sopra in forma scalare o vettoriale, possiamo concludere che il valore di M è un lavoro. La sua dimensione è infatti Nm, che in SI corrisponde al joule (J). Infatti il momento della forza non è lavoro, ma solo una quantità capace di farlo. Perché ciò avvenga, è necessario avere un movimento circolare nel sistema e un'azione a lungo termine M. Pertanto, la formula per il lavoro del momento della forza è scritta come segue:
LA=Mθ
BIn questa espressione, θ è l'angolo attraverso il quale è stata effettuata la rotazione dal momento della forza M. Di conseguenza, l'unità di lavoro può essere scritta come Nmrad o Jrad. Ad esempio, un valore di 60 Jrad indica che quando ruotato di 1 radiante (circa 1/3 del cerchio), la forza F che crea il momento M ha svolto 60 joule di lavoro. Questa formula viene spesso utilizzata per la risoluzione di problemi nei sistemi in cui agiscono le forze di attrito, come verrà mostrato di seguito.
Momento di forza e momento di momento
Come mostrato, l'impatto del momento M sul sistema porta alla comparsa di un movimento rotatorio in esso. Quest'ultimo è caratterizzato da una quantità detta "momentum". Può essere calcolato usando la formula:
L=Iω
Qui I è il momento di inerzia (un valore che ha lo stesso ruolo nella rotazione della massa nel moto lineare del corpo), ω è la velocità angolare, è correlata alla velocità lineare dalla formula ω=v/r.
Entrambi i momenti (momento e forza) sono correlati tra loro dalla seguente espressione:
M=Iα, dove α=dω / dt è l'accelerazione angolare.
Diamo un' altra formula che è importante per risolvere i problemi per il lavoro dei momenti di forza. Usando questa formula, puoi calcolare l'energia cinetica di un corpo rotante. Sembra così:
MIk=1/2Iω2
Successivamente, presentiamo due problemi con soluzioni, dove mostriamo come utilizzare le formule fisiche considerate.
Equilibrio di più corpi
Il primo compito riguarda l'equilibrio di un sistema in cui agiscono diverse forze. SulLa figura seguente mostra un sistema su cui agisce tre forze. È necessario calcolare quale massa l'oggetto deve essere sospeso a questa leva e in quale punto deve essere fatto in modo che questo sistema sia in equilibrio.
Dalle condizioni del problema, possiamo capire che per risolverlo si dovrebbe usare il teorema di Varignon. La prima parte del problema può essere risolta immediatamente, poiché il peso dell'oggetto da appendere alla leva sarà:
P=FA1 - FA2 + FA3=20 - 10 + 25=35 H
I segni qui sono scelti tenendo conto che la forza che ruota la leva in senso antiorario crea un momento negativo.
La posizione del punto d, dove questo peso deve essere appeso, è calcolata dalla formula:
M1 - M2 + M3=reP=720 - 510 + 325=g35=> g=165/35=4, 714 m
Nota che usando la formula per il momento di gravità, abbiamo calcolato il valore equivalente M di quello creato da tre forze. Affinché il sistema sia in equilibrio, è necessario sospendere un corpo del peso di 35 N nel punto 4, a 714 m dall'asse dall' altro lato della leva.
Problema di spostamento del disco
La soluzione del seguente problema si basa sull'uso della formula per il momento della forza di attrito e l'energia cinetica del corpo di rivoluzione. Compito: Dato un disco con raggio r=0,3 metri, che ruota ad una velocità di ω=1 rad/s. È necessario calcolare quanto può viaggiare sulla superficie se il coefficiente di attrito volvente è Μ=0,001.
Questo problema è più facile da risolvere se usi la legge di conservazione dell'energia. Abbiamo l'energia cinetica iniziale del disco. Quando inizia a rotolare, tutta questa energia viene spesa per riscaldare la superficie a causa dell'azione della forza di attrito. Uguagliando entrambe le quantità, otteniamo l'espressione:
Iω2/2=ΜN/rrθ
La prima parte della formula è l'energia cinetica del disco. La seconda parte è il lavoro del momento della forza di attrito F=ΜN/r, applicata al bordo del disco (M=Fr).
Dato che N=mge I=1/2mr2, calcoliamo θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 rad
Poiché 2pi radianti corrispondono alla lunghezza di 2pir, otteniamo che la distanza richiesta che il disco coprirà è:
s=θr=2.293580.3=0.688m o circa 69 cm
Nota che la massa del disco non influisce su questo risultato.
