Abbastanza spesso nelle scienze matematiche ci sono una serie di difficoltà e domande, e molte delle risposte non sono sempre chiare. Non fa eccezione un argomento come la cardinalità degli insiemi. In re altà, questa non è altro che un'espressione numerica del numero di oggetti. In senso generale, un insieme è un assioma, non ha una definizione. Si basa su qualsiasi oggetto, o meglio sul loro insieme, che può essere vuoto, finito o infinito. Inoltre, contiene numeri interi o naturali, matrici, sequenze, segmenti e linee.
Informazioni sulle variabili esistenti
Un insieme nullo o vuoto senza valore intrinseco è considerato un elemento cardinale perché è un sottoinsieme. La raccolta di tutti i sottoinsiemi di un insieme S non vuoto è un insieme di insiemi. Pertanto, l'insieme di potenze di un dato insieme è considerato molti, concepibili, ma singoli. Questo insieme è chiamato insieme delle potenze di S ed è indicato con P (S). Se S contiene N elementi, allora P(S) contiene 2^n sottoinsiemi, poiché un sottoinsieme di P(S) è o ∅ oppure un sottoinsieme contenente r elementi di S, r=1, 2, 3, … Composto da tutto infinitol'insieme M è chiamato quantità di potenza ed è simbolicamente indicato con P (M).
Elementi di teoria degli insiemi
Questo campo di conoscenza è stato sviluppato da George Cantor (1845-1918). Oggi è usato in quasi tutti i rami della matematica e ne funge da parte fondamentale. Nella teoria degli insiemi, gli elementi sono rappresentati sotto forma di un elenco e sono dati da tipi (insieme vuoto, singleton, insiemi finiti e infiniti, uguali ed equivalenti, universali), unione, intersezione, differenza e addizione di numeri. Nella vita di tutti i giorni si parla spesso di una collezione di oggetti come un mazzo di chiavi, uno stormo di uccelli, un mazzo di carte, ecc. Nella classe di matematica 5 e oltre, ci sono numeri naturali, interi, primi e composti.
Si possono considerare i seguenti set:
- numeri naturali;
- lettere dell'alfabeto;
- quota primaria;
- triangoli con lati diversi.
Si può vedere che questi esempi specificati sono insiemi di oggetti ben definiti. Considera qualche altro esempio:
- cinque scienziati più famosi del mondo;
- sette belle ragazze nella società;
- tre migliori chirurghi.
Questi esempi di cardinalità non sono raccolte di oggetti ben definite, perché i criteri per "più famoso", "più bello", "migliore" varia da persona a persona.
Set
Questo valore è un numero ben definito di oggetti diversi. Supponendo che:
- wordset è sinonimo, aggregato, classe e contiene elementi;
- oggetti, i membri sono uguali;
- Gli insiemi sono generalmente indicati con lettere maiuscole A, B, C;
- Gli elementi del set sono rappresentati da lettere minuscole a, b, c.
Se "a" è un elemento dell'insieme A, allora si dice che "a" appartiene ad A. Indichiamo la locuzione "appartiene" con il carattere greco "∈" (epsilon). Quindi, risulta che a ∈ A. Se 'b' è un elemento che non appartiene ad A, questo è rappresentato come b ∉ A. Alcuni importanti insiemi usati nella matematica del quinto anno sono rappresentati usando i tre metodi seguenti:
- applicazioni;
- registri o tabulari;
- regola per la creazione di una formazione.
A un esame più attento, il modulo di domanda si basa su quanto segue. In questo caso viene fornita una chiara descrizione degli elementi dell'insieme. Sono tutti racchiusi tra parentesi graffe. Ad esempio:
- insieme di numeri dispari minori di 7 - scritto come {minore di 7};
- un insieme di numeri maggiore di 30 e minore di 55;
- numero di studenti in una classe che pesano più dell'insegnante.
Nel modulo di registro (tabella), gli elementi di un insieme sono elencati tra una coppia di parentesi {} e separati da virgole. Ad esempio:
- Sia N l'insieme dei primi cinque numeri naturali. Pertanto, N=→ modulo di registrazione
- Insieme di tutte le vocali dell'alfabeto inglese. Quindi V={a, e, i, o, u, y} → forma del registro
- L'insieme di tutti i numeri dispari è minore di 9. Pertanto, X={1, 3, 5, 7} → formaregistro
- Insieme di tutte le lettere nella parola "Matematica". Pertanto, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Modulo Registro
- W è l'insieme degli ultimi quattro mesi dell'anno. Pertanto, W={settembre, ottobre, novembre, dicembre} → registro.
Nota che l'ordine in cui gli elementi sono elencati non ha importanza, ma non devono essere ripetuti. Una forma di costruzione stabilita, in un dato caso, una regola, una formula o un operatore viene scritta tra una coppia di parentesi in modo che l'insieme sia definito correttamente. Nel modulo generatore di set, tutti gli elementi devono avere la stessa proprietà per diventare un membro del valore in questione.
In questa forma di rappresentazione dell'insieme, un elemento dell'insieme è descritto con il carattere "x" o qualsiasi altra variabile seguita da due punti (":" o "|" sono usati per indicare). Ad esempio, sia P l'insieme di numeri numerabili maggiori di 12. P nel modulo costruttore di insiemi è scritto come - {numero numerabile e maggiore di 12}. Si leggerà in un certo modo. Cioè, "P è un insieme di x elementi tale che x è numerabile e maggiore di 12."
Esempio risolto utilizzando tre metodi di rappresentazione di insiemi: numero di interi compreso tra -2 e 3. Di seguito sono riportati esempi di diversi tipi di insiemi:
- Un insieme vuoto o nullo che non contiene alcun elemento ed è indicato dal simbolo ∅ e viene letto come phi. In forma di elenco, ∅ è scritto {}. L'insieme finito è vuoto, poiché il numero di elementi è 0. Ad esempio, l'insieme di valori interi è inferiore a 0.
- Ovviamente non dovrebbe esserci <0. Pertanto, questoset vuoto.
- Un insieme contenente una sola variabile è chiamato insieme singleton. Non è né semplice né composto.
Set finito
Un insieme contenente un certo numero di elementi è chiamato insieme finito o infinito. Vuoto si riferisce al primo. Ad esempio, un insieme di tutti i colori dell'arcobaleno.
L'infinito è un set. Gli elementi in esso contenuti non possono essere enumerati. Cioè, contenere variabili simili è chiamato insieme infinito. Esempi:
- potenza dell'insieme di tutti i punti nel piano;
- insieme di tutti i numeri primi.
Ma dovresti capire che tutte le cardinalità dell'unione di un insieme non possono essere espresse sotto forma di lista. Ad esempio, i numeri reali, poiché i loro elementi non corrispondono a nessun modello particolare.
Il numero cardinale di un insieme è il numero di elementi diversi in una data quantità A. È indicato con n (A).
Ad esempio:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Pertanto, n (A)=4.
- B=insieme di lettere nella parola ALGEBRA.
Insiemi equivalenti per confronto di insiemi
Due cardinalità di un insieme A e B sono tali se il loro numero cardinale è lo stesso. Il simbolo per l'insieme equivalente è "↔". Ad esempio: LA ↔ SI.
Insiemi uguali: due cardinalità degli insiemi A e B se contengono gli stessi elementi. Ciascun coefficiente di A è una variabile di B e ciascuno di B è il valore specificato di A. Pertanto, A=B. I diversi tipi di unioni di cardinalità e le loro definizioni sono spiegati utilizzando gli esempi forniti.
Essenza di finitezza e infinito
Quali sono le differenze tra la cardinalità di un insieme finito e un insieme infinito?
Il primo valore ha il seguente nome se è vuoto o ha un numero finito di elementi. In un insieme finito, una variabile può essere specificata se ha un conteggio limitato. Ad esempio, utilizzando il numero naturale 1, 2, 3. E il processo di elencazione termina con qualche N. Il numero di diversi elementi contati nell'insieme finito S è indicato con n (S). È anche chiamato ordine o cardinale. Simbolicamente indicato secondo il principio standard. Pertanto, se l'insieme S è l'alfabeto russo, contiene 33 elementi. È anche importante ricordare che un elemento non compare più di una volta in un insieme.
Infinito nel set
Un insieme si dice infinito se gli elementi non possono essere enumerati. Se ha un numero naturale illimitato (cioè non numerabile) 1, 2, 3, 4 per ogni n. Un insieme che non è finito si dice infinito. Possiamo ora discutere esempi dei valori numerici in esame. Opzioni valore finale:
- Sia Q={numeri naturali minori di 25}. Allora Q è un insieme finito e n (P)=24.
- Let R={interi compresi tra 5 e 45}. Allora R è un insieme finito e n (R)=38.
- Sia S={numeri modulo 9}. Allora S={-9, 9} è un insieme finito e n (S)=2.
- Insieme di tutte le persone.
- Numero di tutti gli uccelli.
Esempi infiniti:
- numero di punti esistenti sul piano;
- numero di tutti i punti nel segmento di linea;
- l'insieme degli interi positivi divisibili per 3 è infinito;
- tutti i numeri interi e naturali.
Quindi, dal ragionamento di cui sopra, è chiaro come distinguere tra insiemi finiti e infiniti.
Potenza del continuum impostato
Se confrontiamo l'insieme e altri valori esistenti, viene allegata un'addizione all'insieme. Se ξ è universale e A è un sottoinsieme di ξ, allora il complemento di A è il numero di tutti gli elementi di ξ che non sono elementi di A. Simbolicamente, il complemento di A rispetto a ξ è A'. Ad esempio, 2, 4, 5, 6 sono gli unici elementi di ξ che non appartengono ad A. Pertanto, A'={2, 4, 5, 6}
Un insieme con continuum di cardinalità ha le seguenti caratteristiche:
- il complemento alla quantità universale è il valore vuoto in questione;
- questa variabile del set nullo è universale;
- l'importo e il suo complemento sono disgiunti.
Ad esempio:
- Che il numero di numeri naturali sia un insieme universale e che A sia pari. Allora A '{x: x è un insieme dispari con le stesse cifre}.
- Let ξ=insieme di lettere dell'alfabeto. A=insieme di consonanti. Quindi A '=numero di vocali.
- Il complemento al set universale è la quantità vuota. Può essere indicato con ξ. Allora ξ '=L'insieme di quegli elementi che non sono inclusi in ξ. L'insieme vuoto φ viene scritto e indicato. Quindi ξ=φ. Pertanto, il complemento dell'insieme universale è vuoto.
In matematica, "continuum" è talvolta usato per rappresentare una linea reale. E più in generale, per descrivere oggetti simili:
- continuum (nella teoria degli insiemi) - linea reale o numero cardinale corrispondente;
- lineare - qualsiasi insieme ordinato che condivide determinate proprietà di una linea reale;
- continuum (in topologia) - spazio metrico connesso compatto non vuoto (a volte Hausdorff);
- l'ipotesi che nessun insieme infinito sia maggiore degli interi ma minore dei numeri reali;
- il potere del continuum è un numero cardinale che rappresenta la dimensione dell'insieme dei numeri reali.
In sostanza, un continuum (misurazione), teorie o modelli che spiegano le transizioni graduali da uno stato all' altro senza alcun cambiamento improvviso.
Problemi di unione e intersezione
È noto che l'intersezione di due o più insiemi è il numero che contiene tutti gli elementi comuni in questi valori. Le attività di Word sugli insiemi vengono risolte per ottenere idee di base su come utilizzare le proprietà di unione e intersezione degli insiemi. Risolti i principali problemi di parole sui set si presentano così:
Siano A e B due insiemi finiti. Sono tali che n (A)=20, n (B)=28 e n (A ∪ B)=36, trova n (A ∩ B)
Relazione nei set usando il diagramma di Venn:
- L'unione di due insiemi può essere rappresentata da un'area ombreggiata che rappresenta A ∪ B. A ∪ B quando A e B sono insiemi disgiunti.
- L'intersezione di due insiemi può essere rappresentata da un diagramma di Venn. Con area ombreggiata che rappresenta A ∩ B.
- La differenza tra i due set può essere rappresentata dai diagrammi di Venn. Con un'area ombreggiata che rappresenta A - B.
- Relazione tra tre set usando un diagramma di Venn. Se ξ rappresenta una quantità universale, allora A, B, C sono tre sottoinsiemi. Qui tutti e tre i set si sovrappongono.
Riepilogo delle informazioni sul set
La cardinalità di un insieme è definita come il numero totale di singoli elementi nell'insieme. E l'ultimo valore specificato è descritto come il numero di tutti i sottoinsiemi. Quando si studiano tali problemi, sono necessari metodi, metodi e soluzioni. Quindi, per la cardinalità di un insieme, i seguenti esempi possono servire come:
Sia A={0, 1, 2, 3}| |=4, dove | A | rappresenta la cardinalità dell'insieme A.
Ora puoi trovare il tuo alimentatore. È anche piuttosto semplice. Come già detto, il power set è impostato da tutti i sottoinsiemi di un dato numero. Quindi si dovrebbero sostanzialmente definire tutte le variabili, gli elementi e gli altri valori di A,che sono {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Ora calcola la potenza P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} che ha 16 elementi. Quindi, la cardinalità dell'insieme A=16. Ovviamente, questo è un metodo noioso e macchinoso per risolvere questo problema. Tuttavia, esiste una semplice formula con la quale, direttamente, puoi conoscere il numero di elementi nell'insieme di potenze di un dato numero. | P |=2 ^ N, dove N è il numero di elementi in alcuni A. Questa formula può essere ottenuta usando la semplice combinatoria. Quindi la domanda è 2^11 poiché il numero di elementi nell'insieme A è 11.
Quindi, un insieme è qualsiasi quantità espressa numericamente, che può essere qualsiasi oggetto possibile. Ad esempio, automobili, persone, numeri. In senso matematico, questo concetto è più ampio e più generalizzato. Se nelle fasi iniziali vengono risolti i numeri e le opzioni per la loro soluzione, nelle fasi intermedie e superiori le condizioni e le attività sono complicate. Infatti la cardinalità dell'unione di un insieme è determinata dall'appartenenza dell'oggetto a un qualsiasi gruppo. Cioè, un elemento appartiene a una classe, ma ha una o più variabili.
