Georg Kantor (la foto è data più avanti nell'articolo) è un matematico tedesco che ha creato la teoria degli insiemi e ha introdotto il concetto di numeri transfiniti, infinitamente grandi, ma diversi tra loro. Ha anche definito i numeri ordinali e cardinali e ha creato la loro aritmetica.
Georg Kantor: breve biografia
Nato a San Pietroburgo il 1845-03-03. Suo padre era un danese di fede protestante, Georg-Valdemar Kantor, impegnato nel commercio, anche in borsa. Sua madre Maria Bem era cattolica e proveniva da una famiglia di musicisti di spicco. Quando il padre di Georg si ammalò nel 1856, la famiglia si trasferì prima a Wiesbaden e poi a Francoforte in cerca di un clima più mite. I talenti matematici del ragazzo si sono manifestati anche prima del suo 15° compleanno mentre studiava in scuole private e palestre a Darmstadt e Wiesbaden. Alla fine, Georg Cantor convinse suo padre della sua ferma intenzione di diventare un matematico, non un ingegnere.
Dopo un breve studio all'Università di Zurigo, nel 1863 Kantor si trasferì all'Università di Berlino per studiare fisica, filosofia e matematica. Eccolo lìinsegnato:
- Karl Theodor Weierstrass, la cui specializzazione in analisi ha probabilmente avuto la maggiore influenza su Georg;
- Ernst Eduard Kummer, che insegnò aritmetica superiore;
- Leopold Kronecker, teorico dei numeri che in seguito si oppose a Cantor.
Dopo aver trascorso un semestre all'Università di Göttingen nel 1866, l'anno successivo Georg scrisse la sua tesi di dottorato intitolata "In matematica l'arte di porre domande è più preziosa della risoluzione di problemi", riguardante un problema che aveva Carl Friedrich Gauss lasciato irrisolto nelle sue Disquisitiones Arithmeticae (1801). Dopo aver insegnato brevemente alla Berlin School for Girls, Kantor iniziò a lavorare all'Università di Halle, dove rimase fino alla fine della sua vita, prima come insegnante, dal 1872 come assistente professore e dal 1879 come professore.
Ricerca
All'inizio di una serie di 10 articoli dal 1869 al 1873, Georg Cantor considerò la teoria dei numeri. Il lavoro riflette la sua passione per la materia, i suoi studi su Gauss e l'influenza di Kronecker. Su suggerimento di Heinrich Eduard Heine, collega di Cantor a Halle, che ne riconobbe il talento matematico, si rivolse alla teoria delle serie trigonometriche, in cui ampliò il concetto di numeri reali.
Basato sul lavoro sulla funzione di una variabile complessa del matematico tedesco Bernhard Riemann nel 1854, nel 1870 Kantor dimostrò che tale funzione può essere rappresentata in un solo modo: mediante serie trigonometriche. Considerazione di un insieme di numeri (punti) chenon contraddirebbe tale opinione, lo condusse, in primo luogo, nel 1872 alla definizione dei numeri irrazionali in termini di successioni convergenti di numeri razionali (frazioni di interi) e successivamente all'inizio del lavoro sul lavoro della sua vita, la teoria degli insiemi e il concetto di numeri transfiniti.
Teoria degli insiemi
Georg Cantor, la cui teoria degli insiemi ebbe origine in corrispondenza con il matematico dell'Istituto tecnico di Braunschweig Richard Dedekind, gli fu amico fin dall'infanzia. Hanno concluso che gli insiemi, finiti o infiniti, sono raccolte di elementi (ad esempio numeri, {0, ±1, ±2….}) che hanno una certa proprietà pur mantenendo la loro individualità. Ma quando Georg Cantor ha utilizzato una corrispondenza uno a uno (ad esempio, da {A, B, C} a {1, 2, 3}) per studiarne le caratteristiche, si è subito reso conto che differiscono nel loro grado di appartenenza, anche se fossero insiemi infiniti., cioè insiemi, una parte o un sottoinsieme dei quali include tanti oggetti quanti sono gli stessi. Il suo metodo diede presto risultati sorprendenti.
Nel 1873, Georg Cantor (matematico) dimostrò che i numeri razionali, sebbene infiniti, sono numerabili perché possono essere messi in corrispondenza uno a uno con i numeri naturali (cioè 1, 2, 3, ecc.). d.). Ha mostrato che l'insieme dei numeri reali, costituito da quelli irrazionali e razionali, è infinito e non numerabile. Più paradossalmente, Cantor dimostrò che l'insieme di tutti i numeri algebrici contiene tanti elementi quanti sonoquanti sono l'insieme di tutti gli interi, e che i numeri trascendenti, che non sono algebrici, che sono un sottoinsieme di numeri irrazionali, non sono numerabili e, quindi, il loro numero è maggiore degli interi, e dovrebbero essere considerati infiniti.
Avversari e sostenitori
Ma l'articolo di Kantor, in cui ha presentato per la prima volta questi risultati, non è stato pubblicato su Krell, poiché uno dei revisori, Kronecker, si è opposto con veemenza. Ma dopo l'intervento di Dedekind, fu pubblicato nel 1874 con il titolo "Sulle proprietà caratteristiche di tutti i numeri algebrici reali".
Scienza e vita privata
Lo stesso anno, durante la sua luna di miele con la moglie Wally Gutman a Interlaken, in Svizzera, Kantor incontrò Dedekind, che parlò favorevolmente della sua nuova teoria. Lo stipendio di George era piccolo, ma con i soldi di suo padre, morto nel 1863, costruì una casa per sua moglie e cinque figli. Molti dei suoi articoli furono pubblicati in Svezia sulla nuova rivista Acta Mathematica, curata e fondata da Gesta Mittag-Leffler, che fu tra i primi a riconoscere il talento del matematico tedesco.
Connessione con la metafisica
La teoria di Cantor divenne un argomento di studio completamente nuovo riguardante la matematica dell'infinito (ad es. serie 1, 2, 3, ecc. e insiemi più complessi), che dipendeva fortemente dalla corrispondenza uno a uno. Lo sviluppo di Kantor di nuovi metodi di allestimentodomande riguardanti la continuità e l'infinito, hanno conferito alla sua ricerca un carattere ambiguo.
Quando sostenne che i numeri infiniti esistono davvero, si rivolse alla filosofia antica e medievale riguardo all'infinito attuale e potenziale, nonché alla prima educazione religiosa che i suoi genitori gli diedero. Nel 1883, nel suo libro Fondamenti della teoria generale degli insiemi, Kantor combinò il suo concetto con la metafisica di Platone.
Kronecker, che sosteneva che "esistono solo gli interi" ("Dio ha creato gli interi, il resto è opera dell'uomo"), per molti anni ha respinto con veemenza il suo ragionamento e ne ha impedito la nomina all'Università di Berlino.
Numeri transfiniti
Nel 1895-97. Georg Cantor formò pienamente la sua nozione di continuità e infinito, compresi i numeri ordinali e cardinali infiniti, nella sua opera più famosa, pubblicata come Contributi all'istituzione della teoria dei numeri transfiniti (1915). Questo saggio contiene il suo concetto, a cui è stato condotto dimostrando che un insieme infinito può essere messo in corrispondenza uno a uno con uno dei suoi sottoinsiemi.
Sotto il numero cardinale minimo transfinito, intendeva la cardinalità di qualsiasi insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Cantor lo chiamò aleph-null. I grandi insiemi transfiniti sono indicati con alef-uno, aleph-due, ecc. Ha ulteriormente sviluppato l'aritmetica dei numeri transfiniti, che era analoga all'aritmetica finita. così luiha arricchito il concetto di infinito.
L'opposizione che ha dovuto affrontare e il tempo impiegato per la piena accettazione delle sue idee è dovuta alla difficoltà di rivalutare l'antica questione di cosa sia un numero. Cantor ha mostrato che l'insieme dei punti su una linea ha una cardinalità maggiore di aleph-zero. Ciò ha portato al noto problema dell'ipotesi del continuo: non ci sono numeri cardinali tra aleph-zero e la potenza dei punti sulla linea. Questo problema nella prima e nella seconda metà del XX secolo ha suscitato grande interesse ed è stato studiato da molti matematici, tra cui Kurt Gödel e Paul Cohen.
Depressione
La biografia di Georg Kantor dal 1884 è stata offuscata dalla sua malattia mentale, ma ha continuato a lavorare attivamente. Nel 1897 contribuì a tenere il primo congresso internazionale di matematica a Zurigo. In parte perché Kronecker si opponeva, spesso simpatizzava con i giovani aspiranti matematici e cercava di trovare un modo per salvarli dalle molestie degli insegnanti che si sentivano minacciati da nuove idee.
Riconoscimento
A cavallo del secolo, il suo lavoro era pienamente riconosciuto come la base per la teoria, l'analisi e la topologia delle funzioni. Inoltre, i libri del Cantor Georg sono serviti da impulso per l'ulteriore sviluppo delle scuole intuizioniste e formalistiche dei fondamenti logici della matematica. Ciò ha cambiato significativamente il sistema di insegnamento ed è spesso associato alla "nuova matematica".
Nel 1911, Kantor fu tra gli invitaticelebrazione del 500° anniversario dell'Università di St. Andrews in Scozia. Si recò lì nella speranza di incontrare Bertrand Russell, che, nel suo lavoro recentemente pubblicato Principia Mathematica, si riferiva più volte al matematico tedesco, ma ciò non accadde. L'università ha conferito a Kantor una laurea honoris causa, ma a causa di una malattia non ha potuto accettare il premio di persona.
Kantor si ritirò nel 1913, visse in povertà e morì di fame durante la prima guerra mondiale. Le celebrazioni in onore del suo settantesimo compleanno nel 1915 furono annullate a causa della guerra, ma una piccola cerimonia ebbe luogo a casa sua. Morì il 1918-06-01 ad Halle, in un ospedale psichiatrico, dove trascorse gli ultimi anni della sua vita.
Georg Kantor: biografia. Famiglia
Il 9 agosto 1874, un matematico tedesco sposò Wally Gutmann. La coppia ebbe 4 figli e 2 figlie. L'ultimo figlio nacque nel 1886 in una nuova casa acquistata da Kantor. L'eredità di suo padre lo ha aiutato a mantenere la sua famiglia. La salute di Kantor è stata fortemente influenzata dalla morte del figlio più giovane nel 1899 e la depressione non lo ha più lasciato da allora.
