In matematica, le funzioni inverse sono espressioni mutuamente corrispondenti che si trasformano l'una nell' altra. Per capire cosa significa, vale la pena considerare un esempio specifico. Diciamo di avere y=cos(x). Se prendiamo il coseno dall'argomento, possiamo trovare il valore di y. Ovviamente, per questo devi avere x. Ma cosa succede se il giocatore viene inizialmente dato? È qui che si arriva al nocciolo della questione. Per risolvere il problema è necessario l'uso di una funzione inversa. Nel nostro caso, questo è l'arcocoseno.
Dopo tutte le trasformazioni, otteniamo: x=arccos(y).
Ovvero, per trovare una funzione inversa a una data, basta esprimere un argomento da essa. Ma questo funziona solo se il risultato avrà un valore singolo (ne parleremo più avanti).
In termini generali, questo fatto può essere scritto come segue: f(x)=y, g(y)=x.
Definizione
Sia f una funzione il cui dominio è l'insieme X, el'intervallo di valori è l'insieme Y. Quindi, se esiste g i cui domini svolgono compiti opposti, allora f è reversibile.
Inoltre, in questo caso g è unico, il che significa che esiste esattamente una funzione che soddisfa questa proprietà (né più né meno). Allora si chiama funzione inversa, e per iscritto si indica come segue: g(x)=f -1(x).
In altre parole, possono essere visti come una relazione binaria. La reversibilità avviene solo quando un elemento dell'insieme corrisponde a un valore di un altro.
Non c'è sempre una funzione inversa. Per fare ciò, ogni elemento y є Y deve corrispondere al massimo a uno x є X. Quindi f viene chiamato uno a uno o iniezione. Se f -1 appartiene a Y, allora ogni elemento di questo insieme deve corrispondere ad alcune x ∈ X. Le funzioni con questa proprietà sono dette suriezioni. Vale per definizione se Y è un'immagine f, ma non è sempre così. Per essere inversa, una funzione deve essere sia un'iniezione che una suiezione. Tali espressioni sono chiamate biiezioni.
Esempio: funzioni al quadrato e alla radice
La funzione è definita su [0, ∞) e data dalla formula f (x)=x2.
Allora non è iniettivo, perché ogni possibile risultato Y (tranne 0) corrisponde a due X diverse - una positiva e una negativa, quindi non è reversibile. In questo caso, sarà impossibile ottenere i dati iniziali da quelli ricevuti, il che contraddiceteorie. Sarà non iniettivo.
Se il dominio di definizione è condizionalmente limitato a valori non negativi, tutto funzionerà come prima. Allora è biunivoca e quindi invertibile. La funzione inversa qui è chiamata positiva.
Nota sulla voce
Che la designazione f -1 (x) possa confondere una persona, ma in nessun caso dovrebbe essere usata in questo modo: (f (x)) - 1 . Si riferisce a un concetto matematico completamente diverso e non ha nulla a che fare con la funzione inversa.
Come regola generale, alcuni autori usano espressioni come sin-1 (x).
Tuttavia, altri matematici credono che questo possa creare confusione. Per evitare tali difficoltà, le funzioni trigonometriche inverse sono spesso indicate con il prefisso "arco" (dal latino arco). Nel nostro caso, stiamo parlando dell'arcoseno. Occasionalmente puoi anche vedere il prefisso "ar" o "inv" per alcune altre funzioni.
