Cosa sono i numeri irrazionali? Perché si chiamano così? Dove si usano e cosa sono? Pochi possono rispondere a queste domande senza esitazione. Ma in re altà le risposte sono abbastanza semplici, anche se non tutti ne hanno bisogno e in situazioni molto rare
Essenza e designazione
I numeri irrazionali sono infinite frazioni decimali non periodiche. La necessità di introdurre questo concetto è dovuta al fatto che i concetti precedentemente esistenti di numeri reali o reali, interi, naturali e razionali non erano più sufficienti per risolvere i nuovi problemi emergenti. Ad esempio, per calcolare qual è il quadrato di 2, è necessario utilizzare decimali infiniti non ricorrenti. Inoltre, molte delle equazioni più semplici non hanno soluzione senza introdurre il concetto di numero irrazionale.
Questo insieme è indicato come I. E, come è già chiaro, questi valori non possono essere rappresentati come una semplice frazione, al numeratore di cui ci sarà un intero, e al denominatore - un numero naturale.
Per la prima volta in assoluto altrimenti, i matematici indiani incontrarono questo fenomeno nel VII secolo aC, quando si scoprì che le radici quadrate di alcune quantità non potevano essere indicate esplicitamente. E la prima prova dell'esistenza di tali numeri è attribuita al pitagorico Ippaso, che lo fece mentre studiava un triangolo rettangolo isoscele. Un serio contributo allo studio di questo set è stato dato da altri scienziati vissuti prima della nostra era. L'introduzione del concetto di numeri irrazionali ha comportato una revisione del sistema matematico esistente, motivo per cui sono così importanti.
Origine del nome
Se ratio in latino significa "frazione", "ratio", allora il prefisso "ir"
da a questa parola il significato opposto. Pertanto, il nome dell'insieme di questi numeri indica che non possono essere correlati con un numero intero o frazionario, hanno un posto separato. Questo segue dalla loro essenza.
Posto nella classifica assoluta
I numeri irrazionali, insieme ai numeri razionali, appartengono al gruppo dei numeri reali o reali, che a loro volta appartengono ai numeri complessi. Non ci sono sottoinsiemi, tuttavia, ci sono varietà algebriche e trascendentali, che saranno discusse di seguito.
Proprietà
Poiché i numeri irrazionali fanno parte dell'insieme dei numeri reali, ad essi si applicano tutte le loro proprietà studiate in aritmetica (sono anche chiamate leggi algebriche di base).
a + b=b + a (commutatività);
(a + b) + c=a + (b + c)(associatività);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (l'esistenza del numero opposto);
ab=ba (legge di spostamento);
(ab)c=a(bc) (distributività);
a(b+c)=ab + ac (legge distributiva);
a x 1=a
a x 1/a=1 (l'esistenza di un numero inverso);
Il confronto viene effettuato anche in conformità con le leggi e i principi generali:
Se a > b e b > c, allora a > c (transitività del rapporto) e. ecc.
Ovviamente, tutti i numeri irrazionali possono essere convertiti usando l'aritmetica di base. Non ci sono regole speciali per questo.
Inoltre, l'assioma di Archimede si applica ai numeri irrazionali. Dice che per due quantità qualsiasi aeb, è vera l'affermazione che prendendo a come termine un numero sufficiente di volte, puoi superare b.
Usa
Nonostante il fatto che nella vita ordinaria non si abbia spesso a che fare con loro, non si possono contare numeri irrazionali. Ce ne sono molti, ma sono quasi invisibili. Siamo circondati da numeri irrazionali ovunque. Esempi familiari a tutti sono il numero pi, pari a 3, 1415926 …, oppure e, che è essenzialmente la base del logaritmo naturale, 2, 718281828 … In algebra, trigonometria e geometria, devono essere usati costantemente. A proposito, anche il famoso valore della "sezione aurea", cioè il rapporto tra la parte maggiore e quella minore, e viceversa, è
appartiene a questo set. Anche "argento" meno conosciuto.
Si trovano molto densamente sulla linea dei numeri, quindi tra due valori qualsiasi relativi all'insieme di quelli razionali, sicuramente se ne verificherà uno irrazionale.
Ci sono ancora molti problemi irrisolti relativi a questo set. Esistono criteri come la misura dell'irrazionalità e la normalità di un numero. I matematici continuano a esaminare gli esempi più significativi della loro appartenenza a un gruppo oa un altro. Ad esempio, si ritiene che e sia un numero normale, ovvero la probabilità che diverse cifre appaiano nel suo record sia la stessa. Per quanto riguarda pi, la ricerca è ancora in corso al riguardo. Una misura dell'irrazionalità è anche chiamata valore che mostra quanto bene questo o quel numero può essere approssimato da numeri razionali.
Algebrico e trascendentale
Come già accennato, i numeri irrazionali sono condizionalmente divisi in algebrici e trascendentali. Condizionalmente, poiché, in senso stretto, questa classificazione è usata per dividere l'insieme C.
Questa designazione nasconde i numeri complessi, che includono numeri reali o reali.
Quindi, un valore algebrico è un valore che è una radice di un polinomio che non è identico a zero. Ad esempio, la radice quadrata di 2 sarebbe in questa categoria perché è la soluzione dell'equazione x2 - 2=0.
Tutti gli altri numeri reali che non soddisfano questa condizione sono detti trascendentali. A questa varietàincludere gli esempi più famosi e già citati - il numero pi e la base del logaritmo naturale e.
È interessante notare che né l'uno né il secondo furono originariamente dedotti dai matematici in questa capacità, la loro irrazionalità e trascendenza furono dimostrate molti anni dopo la loro scoperta. Per pi, la dimostrazione fu data nel 1882 e semplificata nel 1894, il che pose fine alla controversia di 2.500 anni sul problema della quadratura del cerchio. Non è ancora completamente compreso, quindi i matematici moderni hanno qualcosa su cui lavorare. A proposito, il primo calcolo sufficientemente accurato di questo valore è stato effettuato da Archimede. Prima di lui, tutti i calcoli erano troppo approssimativi.
Per e (i numeri di Eulero o di Napier), la prova della sua trascendenza fu trovata nel 1873. Viene utilizzato nella risoluzione di equazioni logaritmiche.
Altri esempi includono valori seno, coseno e tangente per qualsiasi valore algebrico diverso da zero.
