La rotazione dei corpi è uno dei tipi importanti di movimento meccanico nella tecnologia e nella natura. A differenza del movimento lineare, è descritto dal proprio insieme di caratteristiche cinematiche. Uno di questi è l'accelerazione angolare. Caratterizziamo questo valore nell'articolo.
Movimento di rotazione
Prima di parlare di accelerazione angolare, descriviamo il tipo di movimento a cui si applica. Stiamo parlando di rotazione, che è il movimento dei corpi lungo percorsi circolari. Affinché la rotazione avvenga, devono essere soddisfatte determinate condizioni:
- presenza di un asse o punto di rotazione;
- la presenza di una forza centripeta che manterrebbe il corpo in un'orbita circolare.
Esempi di questo tipo di movimento sono varie attrazioni, come una giostra. In ingegneria, la rotazione si manifesta nel movimento di ruote e alberi. In natura, l'esempio più eclatante di questo tipo di moto è la rotazione dei pianeti attorno al proprio asse e attorno al Sole. Il ruolo della forza centripeta in questi esempi è giocato dalle forze di interazione interatomica nei solidi e dalla forza gravitazionaleinterazione.
Caratteristiche cinematiche di rotazione
Queste caratteristiche includono tre grandezze: accelerazione angolare, velocità angolare e angolo di rotazione. Li indicheremo rispettivamente con i simboli greci α, ω e θ.
Poiché il corpo si muove in cerchio, conviene calcolare l'angolo θ, che girerà in un certo tempo. Questo angolo è espresso in radianti (raramente in gradi). Poiché il cerchio ha 2 × pi radianti, possiamo scrivere un'equazione che mette in relazione θ con la lunghezza dell'arco L del giro:
L=θ × r
Dove r è il raggio di rotazione. Questa formula è facile da ottenere se si ricorda l'espressione corrispondente per la circonferenza.
La velocità angolare ω, come la sua controparte lineare, descrive la velocità di rotazione attorno all'asse, cioè è determinata secondo la seguente espressione:
ω¯=d θ / d t
La quantità ω¯ è un valore vettoriale. È diretto lungo l'asse di rotazione. La sua unità è radianti al secondo (rad/s).
Infine, l'accelerazione angolare è una caratteristica fisica che determina il tasso di variazione del valore di ω¯, che matematicamente è scritto come segue:
α¯=d ω¯/ d t
Il vettore α¯ è diretto a cambiare il vettore di velocità ω¯. Inoltre si dirà che l'accelerazione angolare è diretta verso il vettore del momento di forza. Questo valore è misurato in radianti.secondo quadrato (rad/s2).
Momento di forza e accelerazione
Se ricordiamo la legge di Newton, che connette forza e accelerazione lineare in un'unica uguaglianza, allora, trasferendo questa legge al caso di rotazione, possiamo scrivere la seguente espressione:
M¯=I × α¯
Qui M¯ è il momento della forza, che è il prodotto della forza che tende a far ruotare il sistema per la leva - la distanza dal punto di applicazione della forza all'asse. Il valore I è analogo alla massa del corpo ed è chiamato momento di inerzia. La formula scritta è chiamata equazione dei momenti. Da esso, l'accelerazione angolare può essere calcolata come segue:
α¯=M¯/ I
Poiché I è uno scalare, α¯ è sempre diretto verso il momento agente della forza M¯. La direzione di M¯ è determinata dalla regola della mano destra o dalla regola del succhiello. I vettori M¯ e α¯ sono perpendicolari al piano di rotazione. Maggiore è il momento d'inerzia del corpo, minore è il valore dell'accelerazione angolare che il momento fisso M¯ può impartire al sistema.
Equazioni cinematiche
Per comprendere il ruolo importante che l'accelerazione angolare gioca nel descrivere il movimento di rotazione, scriviamo le formule che collegano le grandezze cinematiche studiate sopra.
Nel caso di rotazione uniformemente accelerata, sono valide le seguenti relazioni matematiche:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
La prima formula mostra che l'angolarela velocità aumenterà nel tempo secondo una legge lineare. La seconda espressione consente di calcolare l'angolo di cui il corpo girerà in un tempo noto t. Il grafico della funzione θ(t) è una parabola. In entrambi i casi, l'accelerazione angolare è una costante.
Se utilizziamo la formula di relazione tra L e θ data all'inizio dell'articolo, possiamo ottenere un'espressione per α in termini di accelerazione lineare a:
α=a / r
Se α è costante, all'aumentare della distanza dall'asse di rotazione r, l'accelerazione lineare a aumenterà proporzionalmente. Ecco perché le caratteristiche angolari vengono utilizzate per la rotazione, a differenza di quelle lineari, non cambiano con l'aumento o la diminuzione di r.
Esempio di problema
L'albero di metallo, ruotando a una frequenza di 2.000 giri al secondo, iniziò a rallentare e si fermò completamente dopo 1 minuto. È necessario calcolare con quale accelerazione angolare è avvenuto il processo di decelerazione dell'albero. Dovresti anche calcolare il numero di giri che l'albero ha fatto prima di fermarsi.
Il processo di decelerazione della rotazione è descritto dalla seguente espressione:
ω=ω0- α × t
La velocità angolare iniziale ω0è determinata dalla frequenza di rotazione f come segue:
ω0=2 × pi × f
Poiché conosciamo il tempo di decelerazione, otteniamo il valore di accelerazione α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Questo numero dovrebbe essere preso con un segno meno,perché stiamo parlando di rallentare il sistema, non di accelerarlo.
Per determinare il numero di giri che l'albero farà durante la frenata, applica l'espressione:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376.806 rad.
Il valore ottenuto dell'angolo di rotazione θ in radianti viene semplicemente convertito nel numero di giri compiuti dall'albero prima che si arresti completamente utilizzando una semplice divisione per 2 × pi:
n=θ / (2 × pi)=60.001 giri.
Così, abbiamo tutte le risposte alle domande del problema: α=-209, 33 rad/s2, n=60.001 rivoluzioni.
