Qualsiasi grandezza fisica che viene proposta nelle equazioni matematiche nello studio di un particolare fenomeno naturale ha un significato. Il momento di inerzia non fa eccezione a questa regola. Il significato fisico di questa quantità è discusso in dettaglio in questo articolo.
Momento d'inerzia: formulazione matematica
Innanzitutto va detto che la grandezza fisica in esame è usata per descrivere sistemi di rotazione, cioè quei movimenti di un oggetto che sono caratterizzati da traiettorie circolari attorno ad un asse o punto.
Diamo la formula matematica per il momento di inerzia per un punto materiale:
I=mr2.
Qui m e r sono rispettivamente la massa e il raggio di rotazione della particella (distanza dall'asse). Qualsiasi corpo solido, per quanto complesso possa essere, può essere diviso mentalmente in punti materiali. Quindi la formula per il momento di inerzia in forma generale sarà simile a:
I=∫mr2m.
Questa espressione è sempre vera, e non solo per il tridimensionale,ma anche per corpi bidimensionali (unidimensionali), cioè per piani e sbarre.
Da queste formule è difficile capire il significato del momento di inerzia fisico, ma si può trarre un'importante conclusione: dipende dalla distribuzione della massa nel corpo che ruota, oltre che dalla distanza l'asse di rotazione. Inoltre, la dipendenza da r è più netta che da m (vedi il segno del quadrato nelle formule).
Movimento circolare
Capire qual è il significato fisico del momento di inerzia, è impossibile se non si considera il moto circolare dei corpi. Senza entrare nei dettagli, ecco due espressioni matematiche che descrivono la rotazione:
I1ω1=I2ω 2;
M=I dω/dt.
L'equazione superiore è chiamata legge di conservazione della quantità L (momentum). Significa che non importa quali cambiamenti si verificano all'interno del sistema (all'inizio c'era un momento di inerzia I1, e poi è diventato uguale a I2), il prodotto I per la velocità angolare ω, cioè il momento angolare, rimarrà invariato.
L'espressione inferiore mostra la variazione della velocità di rotazione del sistema (dω/dt) quando ad esso viene applicato un certo momento di forza M, che ha un carattere esterno, cioè è generato da forze non relativi ai processi interni al sistema in esame.
Sia l'uguaglianza superiore che quella inferiore contengono I, e maggiore è il suo valore, minore è la velocità angolare ω o l'accelerazione angolare dω/dt. Questo è il significato fisico del momento.inerzia del corpo: riflette la capacità del sistema di mantenere la sua velocità angolare. Più io, più forte si manifesta questa capacità.
Analogia della quantità di moto lineare
Ora passiamo alla stessa conclusione che è stata espressa alla fine del paragrafo precedente, tracciando un'analogia tra il movimento di rotazione e di traslazione in fisica. Come sapete, quest'ultimo è descritto dalla seguente formula:
p=mv.
Questa semplice espressione determina la quantità di moto del sistema. Confrontiamo la sua forma con quella del momento angolare (vedi l'espressione in alto nel paragrafo precedente). Vediamo che i valori v e ω hanno lo stesso significato: il primo caratterizza la velocità di variazione delle coordinate lineari dell'oggetto, il secondo caratterizza le coordinate angolari. Poiché entrambe le formule descrivono il processo di movimento uniforme (equiangolare), anche i valori m e I devono avere lo stesso significato.
Ora consideriamo la seconda legge di Newton, espressa dalla formula:
F=ma.
Prestando attenzione alla forma dell'uguaglianza inferiore nel paragrafo precedente, abbiamo una situazione simile a quella considerata. Il momento della forza M nella sua rappresentazione lineare è la forza F, e l'accelerazione lineare a è del tutto analoga all'angolo dω/dt. E di nuovo arriviamo all'equivalenza di massa e momento d'inerzia.
Qual è il significato di massa nella meccanica classica? È una misura dell'inerzia: più m è grande, più è difficile spostare l'oggetto dalla sua posizione, e ancor di più dargli accelerazione. Lo stesso si può dire del momento d'inerzia in relazione al movimento di rotazione.
Significato fisico del momento di inerzia su un esempio domestico
Facciamo una semplice domanda su come sia più facile girare un'asta di metallo, ad esempio un'armatura - quando l'asse di rotazione è diretto lungo la sua lunghezza o quando è trasversale? Naturalmente, nel primo caso è più facile far girare l'asta, perché il suo momento d'inerzia per una tale posizione dell'asse sarà molto piccolo (per un'asta sottile è uguale a zero). Basta quindi tenere un oggetto tra i palmi delle mani e con un leggero movimento portarlo in rotazione.
A proposito, il fatto descritto è stato verificato sperimentalmente dai nostri antenati nei tempi antichi, quando hanno imparato ad accendere il fuoco. Hanno fatto ruotare il bastone con enormi accelerazioni angolari, che hanno portato alla creazione di grandi forze di attrito e, di conseguenza, al rilascio di una notevole quantità di calore.
Il volano di un'auto è un ottimo esempio di utilizzo di un grande momento di inerzia
In conclusione, vorrei dare forse l'esempio più importante per la tecnologia moderna di utilizzare il significato fisico del momento di inerzia. Il volano di un'auto è un solido disco di acciaio con un raggio e una massa relativamente grandi. Questi due valori determinano l'esistenza di un valore significativo che lo caratterizza. Il volano è progettato per "ammorbidire" qualsiasi effetto di forza sull'albero motore dell'auto. La natura impulsiva dei momenti agenti delle forze dai cilindri del motore all'albero a gomiti viene smussata e resa liscia grazie al pesante volano.
A proposito, maggiore è il momento angolare, ilpiù energia è in un sistema rotante (analogia con la massa). Gli ingegneri vogliono sfruttare questo fatto, immagazzinando l'energia frenante di un'auto nel volano, al fine di dirigerla successivamente per accelerare il veicolo.
