Un cilindro è una delle semplici figure tridimensionali studiate nel corso di geometria della scuola (sezione geometria solida). In questo caso, sorgono spesso problemi nel calcolo del volume e della massa di un cilindro, nonché nella determinazione della sua superficie. Le risposte alle domande contrassegnate sono fornite in questo articolo.
Cos'è un cilindro?
Prima di procedere alla risposta alla domanda, qual è la massa del cilindro e il suo volume, vale la pena considerare qual è questa figura spaziale. Va subito notato che un cilindro è un oggetto tridimensionale. Cioè, nello spazio, puoi misurare tre dei suoi parametri lungo ciascuno degli assi in un sistema di coordinate rettangolari cartesiane. Infatti, per determinare in modo univoco le dimensioni di un cilindro, è sufficiente conoscerne solo due parametri.
Cilindro è una figura tridimensionale formata da due cerchi e una superficie cilindrica. Per rappresentare più chiaramente questo oggetto, è sufficiente prendere un rettangolo e iniziare a ruotarlo attorno a uno qualsiasi dei suoi lati, che sarà l'asse di rotazione. In questo caso, il rettangolo rotante descriverà la formarotazione - cilindro.
Due superfici rotonde sono dette basi del cilindro, sono caratterizzate da un certo raggio. La distanza tra le basi si chiama altezza. Le due basi sono interconnesse da una superficie cilindrica. La linea che passa per i centri di entrambi i cerchi è chiamata asse del cilindro.
Volume e superficie
Come puoi vedere da quanto sopra, il cilindro è definito da due parametri: l' altezza he il raggio della sua base r. Conoscendo questi parametri, è possibile calcolare tutte le altre caratteristiche del corpo considerato. Di seguito sono riportati i principali:
- L'area delle basi. Questo valore è calcolato dalla formula: S1=2pir2, dove pi è pi uguale a 3, 14. Cifra 2 nella formula compare perché il cilindro ha due basi identiche.
- Superficie cilindrica. Può essere calcolato in questo modo: S2=2pirh. È facile capire questa formula: se una superficie cilindrica viene tagliata verticalmente da una base all' altra e ampliata, si otterrà un rettangolo la cui altezza sarà uguale all' altezza del cilindro e la larghezza corrisponderà a la circonferenza della base della figura tridimensionale. Poiché l'area del rettangolo risultante è il prodotto dei suoi lati, che sono uguali a h e 2pir, si ottiene la formula sopra.
- Superficie del cilindro. È uguale alla somma delle aree di S1 e S2, si ottiene: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Volume. Questo valore è facile da trovare, basta moltiplicare l'area di una base per l' altezza della figura: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Determinazione della massa di un cilindro
Infine, vale la pena andare direttamente all'argomento dell'articolo. Come determinare la massa di un cilindro? Per fare ciò, è necessario conoscere il suo volume, la formula per il calcolo presentata sopra. E la densità della sostanza di cui è composta. La massa è determinata da una semplice formula: m=ρV, dove ρ è la densità del materiale che forma l'oggetto in questione.
Il concetto di densità caratterizza la massa di una sostanza che si trova in un volume unitario di spazio. Per esempio. È noto che il ferro ha una densità maggiore del legno. Ciò significa che a parità di volume di materia ferrosa e legnosa, la prima avrà una massa molto maggiore della seconda (circa 16 volte).
Calcolare la massa di un cilindro di rame
Considera un problema semplice. È necessario trovare la massa di un cilindro di rame. Per chiarezza, lascia che il cilindro abbia un diametro di 20 cm e un' altezza di 10 cm.
Prima di iniziare a risolvere il problema, dovresti occuparti dei dati di origine. Il raggio del cilindro è pari alla metà del suo diametro, il che significa r=20/2=10 cm, mentre l' altezza è h=10 cm Poiché il cilindro considerato nel problema è di rame, quindi, facendo riferimento al dati di riferimento, scriviamo il valore di densità di questo materiale: ρ=8, 96 g/cm3 (per temperatura 20 °C).
Ora puoi iniziare a risolvere il problema. Per prima cosa calcoliamo il volume: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Quindi la massa del cilindro sarà: m=ρV=8,963140=28134 grammi o circa 28 chilogrammi.
Dovresti prestare attenzione alle dimensioni delle unità durante il loro utilizzo nelle formule corrispondenti. Quindi, nel problema, tutti i parametri sono stati presentati in centimetri e grammi.
Cilindri omogenei e cavi
Dal risultato ottenuto sopra, si può notare che un cilindro di rame di dimensioni relativamente piccole (10 cm) ha una massa grande (28 kg). Ciò è dovuto non solo al fatto che è realizzato in materiale pesante, ma anche al fatto che è omogeneo. Questo fatto è importante da capire, poiché la formula sopra per calcolare la massa può essere utilizzata solo se il cilindro è completamente (esterno e interno) dello stesso materiale, cioè è omogeneo.
In pratica si utilizzano spesso cilindri cavi (ad esempio botti cilindriche per l'acqua). Cioè, sono fatti di fogli sottili di qualche materiale, ma all'interno sono vuoti. Per un cilindro cavo non è possibile utilizzare la formula indicata per il calcolo della massa.
Calcolo della massa di un cilindro cavo
È interessante calcolare quale massa avrà un cilindro di rame se è vuoto all'interno. Ad esempio, sia ricavato da una sottile lastra di rame con uno spessore di soli d=2 mm.
Per risolvere questo problema, devi trovare il volume del rame stesso, da cui è composto l'oggetto. Non il volume del cilindro. Perché lo spessoreil foglio è piccolo rispetto alle dimensioni del cilindro (d=2 mm e r=10 cm), quindi il volume di rame da cui è composto l'oggetto lo si trova moltiplicando l'intera superficie del cilindro per il spessore della lastra di rame, otteniamo: V=dS 3=d2pir(r+h). Sostituendo i dati del problema precedente, otteniamo: V=0.223, 1410(10+10)=251.2 cm3. La massa di un cilindro cavo può essere ottenuta moltiplicando il volume di rame ottenuto, necessario per la sua fabbricazione, per la densità del rame: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 go 2,3 kg. Cioè, il cilindro cavo considerato pesa 12 (28, 1/2, 3) volte meno di uno omogeneo.
