Sistemi numerici - che cos'è? Anche senza conoscere la risposta a questa domanda, ognuno di noi utilizza involontariamente i sistemi numerici nelle nostre vite e non lo sospetta. Esatto, plurale! Cioè, non uno, ma diversi. Prima di fornire esempi di sistemi numerici non posizionali, cerchiamo di capire questo problema, parliamo anche di sistemi posizionali.
Fattura necessaria
Sin dai tempi antichi, le persone avevano bisogno di contare, cioè si rendevano intuitivamente conto che avevano bisogno di esprimere in qualche modo una visione quantitativa di cose ed eventi. Il cervello suggerì che fosse necessario usare gli oggetti per contare. Le dita sono sempre state le più convenienti, e questo è comprensibile, perché sono sempre disponibili (con rare eccezioni).
Quindi gli antichi rappresentanti della razza umana dovevano piegare le dita nel senso letterale - per indicare il numero di mammut uccisi, per esempio. Tali elementi del racconto non avevano ancora nomi, ma solo un'immagine visiva, un confronto.
Sistemi di numerazione posizionale moderni
Il sistema numerico è un metodo (modo) per rappresentare valori e quantità quantitativi utilizzando determinati segni (simboli o lettere).
È necessario capire cosa è posizionale e non posizionale nel conteggio prima di fornire esempi di sistemi numerici non posizionali. Esistono molti sistemi numerici posizionali. Ora i seguenti sono utilizzati in vari campi della conoscenza: binario (comprende solo due elementi significativi: 0 e 1), esadecimale (numero di caratteri - 6), ottale (caratteri - 8), duodecimale (dodici caratteri), esadecimale (comprende sedici caratteri). Inoltre, ogni riga di caratteri nei sistemi parte da zero. Le moderne tecnologie informatiche si basano sull'uso di codici binari - il sistema numerico posizionale binario.
Sistema di numeri decimali
La posizione è la presenza di posizioni significative in varia misura, sulle quali si trovano i segni del numero. Questo può essere meglio dimostrato usando l'esempio del sistema dei numeri decimali. Dopotutto, siamo abituati a usarlo fin dall'infanzia. Ci sono dieci segni in questo sistema: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Prendi il numero 327. Ha tre segni: 3, 2, 7. Ognuno di essi si trova in la propria posizione (luogo). Il sette prende la posizione riservata ai valori singoli (unità), le due - decine e le tre - centinaia. Poiché il numero è di tre cifre, quindi, ci sono solo tre posizioni in esso.
In base a quanto sopra, questoun numero decimale di tre cifre può essere descritto come segue: trecento, due decine e sette unità. Inoltre, il significato (importanza) delle posizioni viene contato da sinistra a destra, da una posizione debole (una) a una più forte (centinaia).
Ci sentiamo molto a nostro agio nel sistema numerico posizionale decimale. Abbiamo dieci dita sulle mani e lo stesso sui piedi. Cinque più cinque - quindi, grazie alle dita, ne immaginiamo facilmente una dozzina dall'infanzia. Ecco perché è facile per i bambini imparare le tabelline per cinque e dieci. Ed è anche così facile imparare a contare le banconote, che il più delle volte sono multipli (cioè divisi senza resto) per cinque e dieci.
Altri sistemi di numerazione posizionale
Con sorpresa di molti, va detto che non solo nel sistema di conteggio decimale, il nostro cervello è abituato a fare dei calcoli. Fino ad ora, l'umanità ha utilizzato sistemi di numeri sei e duodecimali. Cioè, in un tale sistema ci sono solo sei caratteri (in esadecimale): 0, 1, 2, 3, 4, 5. In duodecimale ce ne sono dodici: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, dove A - indica il numero 10, B - il numero 11 (poiché il segno deve essere uno).
Giudica tu stesso. Contiamo il tempo in sei, no? Un'ora è sessanta minuti (sei decine), un giorno è ventiquattro ore (due per dodici), un anno è dodici mesi e così via… Tutti gli intervalli di tempo si adattano facilmente a serie sei e duodecimali. Ma ci siamo così abituati che non ci pensiamo nemmeno quando contiamo il tempo.
Sistemi numerici non posizionali. Unario
È necessario definire di cosa si tratta: un sistema numerico non posizionale. Questo è un tale sistema di segni in cui non ci sono posizioni per i segni di un numero, o il principio di "leggere" un numero non dipende dalla posizione. Ha anche le sue regole per scrivere o calcolare.
Diamo esempi di sistemi numerici non posizionali. Torniamo all'antichità. La gente aveva bisogno di un account e ha inventato l'invenzione più semplice: i nodi. Il sistema numerico non posizionale è nodulare. Un oggetto (un sacco di riso, un toro, un pagliaio, ecc.) è stato contato, ad esempio, al momento dell'acquisto o della vendita, e fatto un nodo su una corda.
Di conseguenza, tanti nodi sono stati fatti sulla corda tanti sacchi di riso sono stati acquistati (ad esempio). Ma potrebbero anche essere tacche su un bastoncino di legno, su una lastra di pietra, ecc. Tale sistema numerico divenne noto come nodulare. Ha un secondo nome: unary o single ("uno" in latino significa "uno").
Diventa ovvio che questo sistema numerico non è posizionale. Dopotutto, di che tipo di posizioni possiamo parlare quando (la posizione) è solo una! Stranamente, in alcune parti della Terra, il sistema numerico unario non posizionale è ancora in uso.
Inoltre, i sistemi di numerazione non posizionali includono:
- Roman (le lettere sono usate per scrivere numeri - caratteri latini);
- antico egiziano (simile al romano, venivano usati anche simboli);
- alfabetico (sono state usate lettere dell'alfabeto);
- Babilonese (cuneiforme - usato diretto e"cuneo" invertito);
- Greco (indicato anche come alfabetico).
Sistema di numerazione romana
L'antico impero romano, così come la sua scienza, era molto progressista. I romani diedero al mondo molte utili invenzioni della scienza e dell'arte, compreso il loro sistema di conteggio. Duecento anni fa, i numeri romani venivano usati per indicare importi nei documenti commerciali (in tal modo si evitava la contraffazione).
La numerazione romana è un esempio di sistema numerico non posizionale, lo sappiamo ora. Inoltre, il sistema romano viene utilizzato attivamente, ma non per calcoli matematici, ma per azioni mirate. Ad esempio, con l'aiuto dei numeri romani, è consuetudine designare date storiche, secoli, numeri di volumi, sezioni e capitoli nelle pubblicazioni di libri. I segni romani sono spesso usati per decorare i quadranti degli orologi. E anche la numerazione romana è un esempio di sistema numerico non posizionale.
I romani indicavano numeri con lettere latine. Inoltre, hanno scritto i numeri secondo determinate regole. C'è un elenco di simboli chiave nel sistema numerico romano, con l'aiuto del quale tutti i numeri sono stati scritti senza eccezioni.
| Numero (decimale) | Numero romano (lettera dell'alfabeto latino) |
| 1 | Io |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | Re |
| 1000 | M |
Regole per comporre i numeri
Il numero richiesto è stato ottenuto sommando i segni (lettere latine) e calcolandone la somma. Consideriamo come i segni sono scritti simbolicamente nel sistema romano e come dovrebbero essere "letti". Elenchiamo le principali leggi di formazione dei numeri nel sistema numerico non posizionale romano.
- Il numero quattro - IV, consiste di due caratteri (I, V - uno e cinque). Si ottiene sottraendo il segno più piccolo da quello più grande se è a sinistra. Quando il segno più piccolo si trova sulla destra, devi aggiungere, quindi ottieni il numero sei - VI.
- È necessario aggiungere due segni identici uno accanto all' altro. Ad esempio: SS è 200 (C è 100) o XX è 20.
- Se il primo segno di un numero è minore del secondo, il terzo carattere in questa riga può essere un carattere il cui valore è anche inferiore al primo. Per evitare confusione, ecco un esempio: CDX - 410 (in decimale).
- Alcuni grandi numeri possono essere rappresentati in modi diversi, che è uno degli svantaggi del sistema di conteggio romano. Ecco alcuni esempi: MVM (Roman)=1000 + (1000 - 5)=1995 (decimale) o MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. E non è tutto.
Trucchi aritmetici
Il sistema numerico non posizionale a volte è un insieme complesso di regole per la formazione dei numeri, la loro elaborazione (azioni su di essi). Le operazioni aritmetiche nei sistemi numerici non posizionali non sono faciliper le persone moderne. Non invidiamo gli antichi matematici romani!
Esempio di addizione. Proviamo ad aggiungere due numeri: XIX + XXVI=XXXV, questo compito viene eseguito in due passaggi:
- Primo - prendi e aggiungi le frazioni di numeri più piccole: IX + VI=XV (I dopo V e I prima di X si "distruggono" a vicenda).
- Secondo - aggiungi grandi frazioni di due numeri: X + XX=XXX.
La sottrazione è un po' più complicata. Il numero da ridurre deve essere suddiviso nei suoi elementi costitutivi, quindi i caratteri duplicati da ridurre nel numero da ridurre e da sottrarre. Sottrai 263 da 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Moltiplicazione di numeri romani. A proposito, è necessario ricordare che i romani non avevano segni di operazioni aritmetiche, li indicavano semplicemente con le parole.
Il numero multiplo doveva essere moltiplicato per ogni singolo simbolo del moltiplicatore, risultando in diversi prodotti che dovevano essere aggiunti. Ecco come si moltiplicano i polinomi.
Per quanto riguarda la divisione, questo processo nel sistema numerico romano era e rimane il più difficile. Qui veniva usato l'antico abaco romano. Per lavorare con lui, le persone sono state appositamente addestrate (e non tutte le persone sono riuscite a padroneggiare una tale scienza).
Sugli svantaggi dei sistemi non posizionali
Come accennato in precedenza, i sistemi numerici non posizionali hanno i loro svantaggi e inconvenienti nell'uso. Unary è abbastanza semplice per il conteggio semplice, ma per calcoli aritmetici e complessi, non lo èabbastanza buono.
In romano non ci sono regole uniformi per la formazione di grandi numeri e si crea confusione, ed è anche molto difficile fare calcoli al suo interno. Inoltre, il numero più alto che gli antichi romani potevano annotare con il loro metodo era 100.000.
