La matematica ha origine dall'antichità. Grazie a lei, architettura, edilizia e scienze militari hanno dato un nuovo ciclo di sviluppo, i risultati ottenuti con l'aiuto della matematica hanno portato al movimento del progresso. Ad oggi, la matematica rimane la scienza principale che si trova in tutte le altre branche.
Per essere istruiti, i bambini della prima elementare iniziano a fondersi gradualmente in questo ambiente. È molto importante capire la matematica, poiché, in un modo o nell' altro, capita a ogni persona nel corso della sua vita. Questo articolo analizzerà uno degli elementi chiave: trovare e applicare i derivati. Non tutte le persone possono immaginare quanto ampiamente venga utilizzato questo concetto. Considera più di 10 applicazioni di derivati in determinati campi o scienze.
Applicazione della derivata allo studio di una funzione
La derivata è un tale limiteil rapporto tra l'incremento di una funzione e l'incremento del suo argomento quando l'esponente dell'argomento tende a zero. La derivata è una cosa indispensabile nello studio di una funzione. Ad esempio, può essere utilizzato per determinare l'aumento e la diminuzione di questi ultimi, estremi, convessità e concavità. Il calcolo differenziale è incluso nel curriculum obbligatorio per gli studenti del 1° e 2° anno delle università matematiche.
Zeri di ambito e funzione
La prima fase di qualsiasi studio del grafico inizia con la scoperta del dominio di definizione, in casi più rari - il valore. Il dominio di definizione è impostato lungo l'asse delle ascisse, in altre parole si tratta di valori numerici sull'asse OX. Spesso l'ambito è già impostato, ma se non lo è, è necessario valutare il valore dell'argomento x. Supponiamo, se per alcuni valori dell'argomento la funzione non ha senso, allora questo argomento è escluso dallo scopo.
Gli zeri della funzione si trovano in un modo semplice: la funzione f(x) dovrebbe essere uguagliata a zero e l'equazione risultante dovrebbe essere risolta rispetto ad una variabile x. Le radici dell'equazione ottenute sono gli zeri della funzione, cioè in questi x la funzione è 0.
Aumenta e diminuisci
L'uso della derivata per studiare le funzioni per la monotonia può essere considerato da due posizioni. Una funzione monotona è una categoria che ha solo valori positivi della derivata o solo valori negativi. In parole semplici, la funzione aumenta o diminuisce solo nell'intero intervallo di studio:
- Aumenta il parametro. Funzionef(x) aumenterà se la derivata di f`(x) è maggiore di zero.
- Parametro decrescente. La funzione f(x) diminuirà se la derivata di f`(x) è minore di zero.
Tangente e pendenza
L'applicazione della derivata allo studio di una funzione è determinata anche dalla tangente (retta orientata ad un angolo) al grafico della funzione in un dato punto. Tangente in un punto (x0) - una linea che passa per un punto e appartiene alla funzione le cui coordinate sono (x0, f(x 0 )) e con pendenza f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - l'equazione della tangente al punto dato del grafico della funzione.
Significato geometrico della derivata: la derivata della funzione f(x) è uguale alla pendenza della tangente formata al grafico di tale funzione in un dato punto x. Il coefficiente angolare, a sua volta, è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione della tangente all'asse OX (ascisse) in direzione positiva. Questo corollario è fondamentale per l'applicazione della derivata al grafico di una funzione.
Punti estremi
L'applicazione di un derivato a uno studio implica la ricerca di punti alti e bassi.
Per trovare e determinare il punteggio minimo e massimo, devi:
- Trova la derivata della funzione f(x).
- Imposta l'equazione risultante su zero.
- Trova le radici dell'equazione.
- Trova punti alti e bassi.
Per trovare gli estremicaratteristiche:
- Trova i punti minimo e massimo usando il metodo sopra.
- Sostituisci questi punti nell'equazione originale e calcola ymax e ymin
Il punto massimo della funzione è il valore più grande della funzione f(x) sull'intervallo, in altre parole xmax.
Il punto minimo della funzione è il valore più piccolo della funzione f(x) sull'intervallo, in altre parole xnome
I punti estremi sono gli stessi dei punti massimo e minimo e gli estremi della funzione (ymax. e yminimum) - valori di funzione che corrispondono ai punti estremi.
Convessità e concavità
Puoi determinare la convessità e la concavità ricorrendo all'uso della derivata per tracciare:
- Una funzione f(x) esaminata sull'intervallo (a, b) è concava se la funzione si trova al di sotto di tutte le sue tangenti all'interno di tale intervallo.
- La funzione f(x) studiata sull'intervallo (a, b) è convessa se la funzione si trova al di sopra di tutte le sue tangenti all'interno di tale intervallo.
Il punto che separa convessità e concavità è chiamato punto di flesso della funzione.
Per trovare i punti di svolta:
- Trova punti critici del secondo tipo (derivata seconda).
- I punti di flesso sono quei punti critici che separano due segni opposti.
- Calcola i valori della funzione nei punti di flesso della funzione.
Derivati parziali
Applicazioneci sono derivati di questo tipo nei problemi in cui viene utilizzata più di una variabile sconosciuta. Molto spesso, tali derivate si incontrano quando si traccia un grafico di funzione, per essere più precisi, superfici nello spazio, dove invece di due assi ci sono tre, quindi, tre quantità (due variabili e una costante).
La regola di base quando si calcolano le derivate parziali è scegliere una variabile e trattare le altre come costanti. Pertanto, quando si calcola la derivata parziale, la costante diventa come un valore numerico (in molte tabelle di derivate, sono indicate come C=const). Il significato di tale derivata è il tasso di variazione della funzione z=f(x, y) lungo gli assi OX e OY, cioè caratterizza la pendenza delle depressioni e dei rigonfiamenti della superficie costruita.
Derivato in fisica
L'uso della derivata in fisica è diffuso e importante. Significato fisico: la derivata del percorso rispetto al tempo è la velocità e l'accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo. Dal significato fisico, molti rami possono essere attratti da vari rami della fisica, pur preservando completamente il significato del derivato.
Con l'aiuto della derivata si trovano i seguenti valori:
- Velocità in cinematica, dove viene calcolata la derivata della distanza percorsa. Se si trova la derivata seconda del percorso o la derivata prima della velocità, si trova l'accelerazione del corpo. Inoltre è possibile trovare la velocità istantanea di un punto materiale, ma per questo è necessario conoscere l'incremento ∆t e ∆r.
- In elettrodinamica:calcolo della forza istantanea della corrente alternata, nonché dell'EMF dell'induzione elettromagnetica. Calcolando la derivata, puoi trovare la potenza massima. La derivata della quantità di carica elettrica è la forza attuale nel conduttore.
Derivato in chimica e biologia
Chimica: il derivato viene utilizzato per determinare la velocità di una reazione chimica. Il significato chimico della derivata: funzione p=p(t), in questo caso p è la quantità di una sostanza che entra in una reazione chimica nel tempo t. ∆t - incremento del tempo, ∆p - incremento della quantità di sostanza. Il limite del rapporto tra ∆p e ∆t, al quale ∆t tende a zero, è chiamato velocità di una reazione chimica. Il valore medio di una reazione chimica è il rapporto ∆p/∆t. Quando si determina la velocità, è necessario conoscere esattamente tutti i parametri, le condizioni necessari, per conoscere lo stato aggregato della sostanza e il fluido di flusso. Questo è un aspetto abbastanza ampio della chimica, ampiamente utilizzato in vari settori e attività umane.
Biologia: il concetto di derivato viene utilizzato per calcolare il tasso medio di riproduzione. Significato biologico: abbiamo una funzione y=x(t). ∆t - incremento di tempo. Quindi, con l'aiuto di alcune trasformazioni, otteniamo la funzione y`=P(t)=x`(t) - l'attività vitale della popolazione del tempo t (tasso di riproduzione medio). Questo uso del derivato ti consente di mantenere statistiche, tenere traccia del tasso di riproduzione e così via.
Derivato in geografia ed economia
La derivata consente ai geografi di deciderecompiti come trovare la popolazione, calcolare i valori nella sismografia, calcolare la radioattività degli indicatori geofisici nucleari, calcolare l'interpolazione.
In economia, una parte importante dei calcoli è il calcolo differenziale e il calcolo della derivata. In primo luogo, questo ci permette di determinare i limiti dei valori economici necessari. Ad esempio, la produttività del lavoro, i costi, i profitti più alti e più bassi. Fondamentalmente, questi valori sono calcolati dai grafici delle funzioni, dove trovano gli estremi, determinano la monotonia della funzione nell'area desiderata.
Conclusione
Il ruolo di questo calcolo differenziale è coinvolto, come notato nell'articolo, in varie strutture scientifiche. L'uso di funzioni derivate è un elemento importante nella parte pratica della scienza e della produzione. Non per niente ci è stato insegnato al liceo e all'università a costruire grafici complessi, esplorare e lavorare su funzioni. Come puoi vedere, senza derivate e calcoli differenziali, sarebbe impossibile calcolare indicatori e quantità vitali. L'umanità ha imparato a modellare vari processi ed esplorarli, per risolvere complessi problemi matematici. In effetti, la matematica è la regina di tutte le scienze, perché questa scienza è alla base di tutte le altre discipline naturali e tecniche.
