I problemi matematici sono usati in molte scienze. Questi includono non solo fisica, chimica, ingegneria ed economia, ma anche medicina, ecologia e altre discipline. Un concetto importante da padroneggiare per trovare soluzioni a dilemmi importanti è la derivata di una funzione. Il significato fisico di esso non è affatto difficile da spiegare come potrebbe sembrare a chi non lo sapesse nell'essenza della questione. Basta trovare esempi adeguati di questo nella vita reale e nelle normali situazioni quotidiane. In effetti, qualsiasi automobilista affronta ogni giorno un compito simile quando guarda il tachimetro, determinando la velocità della sua auto in un particolare istante di un'ora fissa. Dopotutto, è in questo parametro che risiede l'essenza del significato fisico della derivata.
Come trovare la velocità
Determina la velocità di una persona sulla strada, conoscendo la distanza percorsa e il tempo di percorrenza, qualsiasi bambino di quinta elementare può facilmente. Per fare ciò, il primo dei valori indicati viene diviso per il secondo. Manon tutti i giovani matematici sanno che sta attualmente trovando il rapporto tra incrementi di una funzione e un argomento. Infatti, se immaginiamo il movimento sotto forma di grafico, tracciando il percorso lungo l'asse y, e il tempo lungo l'ascissa, sarà esattamente così.
Tuttavia, la velocità di un pedone o di qualsiasi altro oggetto che determiniamo su un ampio tratto del percorso, considerando il movimento uniforme, potrebbe cambiare. Ci sono molte forme di movimento in fisica. Può essere eseguito non solo con un'accelerazione costante, ma rallenta e aumenta in modo arbitrario. Si noti che in questo caso la linea che descrive il movimento non sarà più una linea retta. Graficamente può assumere le configurazioni più complesse. Ma per qualsiasi punto del grafico, possiamo sempre disegnare una tangente rappresentata da una funzione lineare.
Per chiarire il parametro di variazione dello spostamento in funzione del tempo, è necessario accorciare i segmenti misurati. Quando diventano infinitamente piccoli, la velocità calcolata sarà istantanea. Questa esperienza ci aiuta a definire la derivata. Anche il suo significato fisico deriva logicamente da tale ragionamento.
In termini di geometria
È noto che maggiore è la velocità del corpo, più ripido è il grafico della dipendenza dello spostamento dal tempo, e quindi l'angolo di inclinazione della tangente al grafico in un certo punto. Un indicatore di tali cambiamenti può essere la tangente dell'angolo tra l'asse x e la linea tangente. Determina solo il valore della derivata e viene calcolato dal rapporto delle lunghezzeopposto alla gamba adiacente in un triangolo rettangolo formato da una perpendicolare caduta da un certo punto all'asse x.
Questo è il significato geometrico della derivata prima. Quella fisica si rivela nel fatto che il valore della gamba opposta nel nostro caso è la distanza percorsa, e quella adiacente è il tempo. Il loro rapporto è la velocità. E ancora una volta giungiamo alla conclusione che la velocità istantanea, determinata quando entrambi gli intervalli tendono all'infinitamente piccolo, è l'essenza del concetto di derivata, indicandone il significato fisico. La seconda derivata in questo esempio sarà l'accelerazione del corpo, che a sua volta dimostra il tasso di variazione della velocità.
Esempi di ricerca di derivati in fisica
La derivata è un indicatore della velocità di cambiamento di qualsiasi funzione, anche quando non stiamo parlando di movimento nel senso letterale della parola. Per dimostrarlo chiaramente, prendiamo alcuni esempi concreti. Supponiamo che la forza attuale, a seconda del tempo, cambi secondo la seguente legge: I=0, 4t2. È necessario trovare il valore della velocità con cui questo parametro cambia alla fine dell'8° secondo del processo. Si noti che il valore desiderato stesso, come si può giudicare dall'equazione, è in costante aumento.
Per risolverlo, devi trovare la derivata prima, il cui significato fisico è stato considerato in precedenza. Qui dI / dt=0,8 t. Successivamente, lo troviamo a t \u003d 8, otteniamo che la velocità con cui cambia la forza attuale è 6,4 A / c. Qui si considera quellola corrente è misurata rispettivamente in ampere e il tempo in secondi.
Tutto cambia
Il mondo circostante visibile, costituito dalla materia, subisce costantemente cambiamenti, essendo in movimento di vari processi che si verificano in esso. Per descriverli è possibile utilizzare una varietà di parametri. Se sono uniti dalla dipendenza, allora sono scritti matematicamente come una funzione che mostra chiaramente i loro cambiamenti. E dove c'è movimento (in qualunque forma esso sia espresso), esiste anche un derivato, il cui significato fisico stiamo considerando in questo momento.
In questa occasione, il seguente esempio. Supponiamo che la temperatura corporea cambi secondo la legge T=0, 2 t 2. Dovresti trovare la velocità del suo riscaldamento alla fine del decimo secondo. Il problema viene risolto in modo simile a quello descritto nel caso precedente. Cioè, troviamo la derivata e vi sostituiamo il valore di t \u003d 10, otteniamo T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Ciò significa che la risposta finale è 4 gradi al secondo, ovvero il processo di riscaldamento e la variazione di temperatura, misurata in gradi, avviene proprio con tale velocità.
Risolvere problemi pratici
Naturalmente, nella vita reale tutto è molto più complicato che nei problemi teorici. In pratica, il valore delle quantità viene solitamente determinato durante l'esperimento. In questo caso vengono utilizzati strumenti che forniscono letture durante le misurazioni con un certo errore. Pertanto, nei calcoli, si deve fare i conti con valori approssimativi dei parametri e ricorrere all'arrotondamento di numeri scomodi,così come altre semplificazioni. Tenuto conto di ciò, si procederà ancora con problemi sul significato fisico della derivata, dato che sono solo una sorta di modello matematico dei processi più complessi che si verificano in natura.
Eruzione del vulcano
Immaginiamo che un vulcano erutta. Quanto può essere pericoloso? Per rispondere a questa domanda, è necessario considerare molti fattori. Cercheremo di accontentarne uno.
Dalla bocca del "mostro infuocato" le pietre vengono lanciate verticalmente verso l' alto, con una velocità iniziale dal momento in cui escono all'esterno di 120 m/s. È necessario calcolare quanto possono raggiungere l' altezza massima.
Per trovare il valore desiderato, comporremo un'equazione per la dipendenza dell' altezza H, misurata in metri, da altri valori. Questi includono velocità e tempo iniziali. Il valore dell'accelerazione è considerato noto e pari a circa 10 m/s2.
Derivata parziale
Ora consideriamo il significato fisico della derivata di una funzione da un'angolazione leggermente diversa, perché l'equazione stessa può contenere non una, ma più variabili. Ad esempio, nel problema precedente, la dipendenza dall' altezza dei sassi espulsi dalla bocca del vulcano era determinata non solo dal cambiamento delle caratteristiche temporali, ma anche dal valore della velocità iniziale. Quest'ultimo era considerato un valore fisso e costante. Ma in altre attività con condizioni completamente diverse, tutto potrebbe essere diverso. Se le quantità su cui il complessofunzione, diversi, i calcoli vengono effettuati secondo le formule seguenti.
Il significato fisico della derivata frequente dovrebbe essere determinato come nel solito caso. Questa è la velocità con cui la funzione cambia in un punto particolare all'aumentare del parametro della variabile. È calcolato in modo tale che tutte le altre componenti siano prese come costanti, solo una è considerata come variabile. Poi tutto avviene secondo le solite regole.
Consulente indispensabile su molte questioni
Capendo il significato fisico del derivato, non è difficile fornire esempi di risoluzione di problemi intricati e complessi, in cui la risposta può essere trovata con tale conoscenza. Se abbiamo una funzione che descrive il consumo di carburante in funzione della velocità dell'auto, possiamo calcolare a quali parametri di quest'ultima il consumo di benzina sarà minimo.
In medicina, puoi prevedere come reagirà il corpo umano a un medicinale prescritto da un medico. L'assunzione del farmaco influisce su una varietà di parametri fisiologici. Questi includono cambiamenti nella pressione sanguigna, frequenza cardiaca, temperatura corporea e altro. Tutti dipendono dalla dose del farmaco assunto. Questi calcoli aiutano a predire il corso del trattamento, sia in manifestazioni favorevoli che in incidenti indesiderati che possono influenzare fatalmente i cambiamenti nel corpo del paziente.
Indubbiamente, è importante capire il significato fisico del derivato in termini tecniciproblematiche, in particolare di ingegneria elettrica, elettronica, progettazione e costruzione.
Distanza di frenata
Consideriamo il prossimo problema. Muovendosi a velocità costante, l'auto, avvicinandosi al ponte, ha dovuto rallentare 10 secondi prima dell'ingresso, poiché il conducente ha notato un segnale stradale che vietava la circolazione ad una velocità superiore a 36 km/h. Il conducente ha violato le regole se lo spazio di frenata può essere descritto dalla formula S=26t - t2?
Calcolando la derivata prima, troviamo la formula per la velocità, otteniamo v=28 – 2t. Quindi, sostituisci il valore t=10 nell'espressione specificata.
Poiché questo valore è stato espresso in secondi, la velocità è di 8 m/s, il che significa 28,8 km/h. Questo fa capire che il conducente ha iniziato a rallentare nel tempo e non ha violato le regole del traffico, e quindi il limite indicato sul segnale di velocità.
Questo dimostra l'importanza del significato fisico del derivato. Un esempio di risoluzione di questo problema dimostra l'ampiezza dell'uso di questo concetto in vari ambiti della vita. Compreso nelle situazioni quotidiane.
Derivato in economia
Fino al 19° secolo, gli economisti operavano principalmente in media, che si trattasse della produttività del lavoro o del prezzo della produzione. Ma da un certo punto in poi, i valori limite sono diventati più necessari per fare previsioni efficaci in questo ambito. Questi includono l'utilità marginale, il reddito o il costo. Comprendere questo ha dato impulso alla creazione di uno strumento completamente nuovo nella ricerca economica,che esiste e si sviluppa da più di cento anni.
Per fare tali calcoli, dove predominano concetti come minimo e massimo, è semplicemente necessario capire il significato geometrico e fisico della derivata. Tra i creatori delle basi teoriche di queste discipline, si possono citare importanti economisti inglesi e austriaci come US Jevons, K. Menger e altri. Naturalmente, i valori limite nei calcoli economici non sono sempre convenienti da usare. E, ad esempio, i rapporti trimestrali non si adattano necessariamente allo schema esistente, ma l'applicazione di tale teoria in molti casi è comunque utile ed efficace.
