Il concetto di prisma. Formule di volume per prismi di diverso tipo: regolari, dritti e obliqui. La soluzione del problema

2024 Autore: Angel Austin | [email protected]. Ultima modifica: 2023-12-17 05:31

Il volume è una caratteristica di qualsiasi figura che abbia dimensioni diverse da zero in tutte e tre le dimensioni dello spazio. In questo articolo, dal punto di vista della stereometria (la geometria delle figure spaziali), considereremo un prisma e mostreremo come trovare i volumi di prismi di vario tipo.

Cos'è un prisma?

La stereometria ha la risposta esatta a questa domanda. Per prisma al suo interno si intende una figura formata da due facce poligonali identiche e diversi parallelogrammi. L'immagine sotto mostra quattro diversi prismi.

Ognuno di essi può essere ottenuto come segue: devi prendere un poligono (triangolo, quadrilatero e così via) e un segmento di una certa lunghezza. Quindi ogni vertice del poligono dovrebbe essere trasferito utilizzando segmenti paralleli su un altro piano. Nel nuovo piano, che sarà parallelo a quello originario, si otterrà un nuovo poligono, simile a quello scelto inizialmente.

I prismi possono essere di diversi tipi. Quindi, possono essere dritti, obliqui e corretti. Se il bordo laterale del prisma (segmento,collegando i vertici delle basi) perpendicolare alle basi della figura, quest'ultima è una linea retta. Di conseguenza, se questa condizione non è soddisfatta, stiamo parlando di un prisma inclinato. Una figura regolare è un prisma retto con base equiangolare ed equilatera.

Più avanti nell'articolo mostreremo come calcolare il volume di ciascuno di questi tipi di prismi.

Volume di prismi regolari

Iniziamo dal caso più semplice. Diamo la formula per il volume di un prisma regolare a base n-gonale. La formula del volume V per ogni figura della classe in esame è la seguente:

V=S_oh.

Ovvero, per determinare il volume, basta calcolare l'area di una delle basi S_o e moltiplicarla per l' altezza h della figura.

Nel caso di un prisma regolare, indichiamo con la lettera a la lunghezza del lato della sua base, e con la lettera h l' altezza, che è uguale alla lunghezza del bordo laterale. Se la base di n-gon è corretta, il modo più semplice per calcolarne l'area è utilizzare la seguente formula universale:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Sostituendo il valore del numero di lati n e la lunghezza di un lato a nell'uguaglianza, puoi calcolare l'area della base n-gonale. Si noti che la funzione cotangente qui è calcolata per l'angolo pi/n, che è espresso in radianti.

Data l'uguaglianza scritta per S, otteniamo la formula finale per il volume di un prisma regolare:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Per ogni caso specifico, puoi scrivere le formule corrispondenti per V, ma tutteseguire in modo univoco dall'espressione generale scritta. Ad esempio, per un prisma quadrangolare regolare, che nel caso generale è un parallelepipedo rettangolare, otteniamo:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Se prendiamo h=a in questa espressione, otteniamo la formula per il volume del cubo.

Volume dei prismi diretti

Notiamo subito che per le figure diritte non esiste una formula generale per il calcolo del volume, che è stata data sopra per i prismi regolari. Quando si trova il valore in questione, è necessario utilizzare l'espressione originale:

V=S_oh.

Qui h è la lunghezza del bordo laterale, come nel caso precedente. Per quanto riguarda l'area di base S_o, può assumere una varietà di valori. Il compito di calcolare un prisma rettilineo di volume si riduce a trovare l'area della sua base.

Il calcolo del valore di S_o dovrebbe essere effettuato in base alle caratteristiche della base stessa. Ad esempio, se è un triangolo, l'area può essere calcolata in questo modo:

S_o3=1/2ah_a.

Qui h_a è l'apotema del triangolo, cioè la sua altezza abbassata alla base a.

Se la base è un quadrilatero, allora può essere un trapezio, un parallelogramma, un rettangolo o un tipo completamente arbitrario. Per tutti questi casi, è necessario utilizzare la formula di planimetria appropriata per determinare l'area. Ad esempio, per un trapezio, questa formula è simile a:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Dove h_a è l' altezza del trapezio, a₁ e a₂ sono le lunghezze dei suoi lati paralleli.

Per determinare l'area dei poligoni di ordine superiore, devi dividerli in forme semplici (triangoli, quadrangoli) e calcolare la somma delle aree di questi ultimi.

Volume prisma inclinato

Questo è il caso più difficile per calcolare il volume di un prisma. Si applica anche la formula generale per tali cifre:

V=S_oh.

Tuttavia, alla complessità di trovare l'area della base che rappresenti un tipo arbitrario di poligono, si aggiunge il problema di determinare l' altezza della figura. È sempre inferiore alla lunghezza del bordo laterale in un prisma inclinato.

Il modo più semplice per trovare questa altezza è conoscere qualsiasi angolo della figura (piatto o diedro). Se viene dato un tale angolo, allora si dovrebbe usarlo per costruire un triangolo rettangolo all'interno del prisma, che conterrebbe l' altezza h come uno dei lati e, usando le funzioni trigonometriche e il teorema di Pitagora, trovare il valore h.

Problema di volume geometrico

Dato un prisma regolare a base triangolare, alto 14 cm e lungo 5 cm di lato, qual è il volume del prisma triangolare?

Dal momento che stiamo parlando della cifra corretta, abbiamo il diritto di utilizzare la formula ben nota. Abbiamo:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 cm³.

Un prisma triangolare è una figura abbastanza simmetrica, nella cui forma sono spesso realizzate varie strutture architettoniche. Questo prisma di vetro è utilizzato in ottica.