Prisma triangolare diretto. Formule per volume e superficie. Soluzione di un problema geometrico

2024 Autore: Angel Austin | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-02 17:49

Al liceo, dopo aver studiato le proprietà delle figure sul piano, si passa alla considerazione di oggetti geometrici spaziali come prismi, sfere, piramidi, cilindri e coni. In questo articolo, daremo la descrizione più completa di un prisma triangolare diritto.

Cos'è un prisma triangolare?

Iniziamo l'articolo con la definizione della figura, di cui si parlerà ulteriormente. Un prisma dal punto di vista della geometria è una figura nello spazio formata da due n-gon identici situati su piani paralleli, i cui stessi angoli sono collegati da segmenti di retta. Questi segmenti sono chiamati costole laterali. Insieme ai lati della base, formano una superficie laterale, generalmente rappresentata da parallelogrammi.

Due n-gon sono le basi della figura. Se i bordi laterali sono perpendicolari a loro, parlano di un prisma dritto. Di conseguenza, se il numero di lati n del poligono alle basi è tre, allora tale figura è chiamata prisma triangolare.

Il prisma triangolare diritto è mostrato sopra nella figura. Questa figura è anche chiamata regolare, poiché le sue basi sono triangoli equilateri. La lunghezza del bordo laterale della figura, indicata dalla lettera h nella figura, è detta altezza.

La figura mostra che un prisma a base triangolare è formato da cinque facce, due delle quali sono triangoli equilateri e tre sono rettangoli identici. Oltre alle facce, il prisma ha sei vertici alle basi e nove spigoli. I numeri degli elementi considerati sono correlati tra loro dal teorema di Eulero:

numero di spigoli=numero di vertici + numero di lati - 2.

Area di un prisma triangolare retto

Abbiamo scoperto sopra che la figura in questione è formata da cinque facce di due tipi (due triangoli, tre rettangoli). Tutte queste facce formano l'intera superficie del prisma. La loro area totale è l'area della figura. Di seguito è riportato un dispiegamento del prisma triangolare, che può essere ottenuto tagliando prima due basi dalla figura, quindi tagliando lungo un bordo e dispiegando la superficie laterale.

Diamo le formule per determinare la superficie di questo sweep. Iniziamo con le basi di un prisma triangolare retto. Poiché rappresentano triangoli, l'area S_{3 di ciascuno di essi può essere trovata come segue:}

S₃=1/2ah_a.

Qui a è il lato del triangolo, h_{a è l' altezza abbassata dal vertice del triangolo a questo lato.}

Se il triangolo è equilatero (regolare), la formula per S_{3dipende da un solo parametro a. Sembra:}

S₃=√3/4a^2.

Questa espressione si ottiene considerando un triangolo rettangolo formato da segmenti a, a/2, h_a.

L'area delle basi S_o per una cifra regolare è il doppio del valore di S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

Per quanto riguarda la superficie laterale S_{b, non è difficile calcolarla. Per fare ciò basta moltiplicare per tre l'area di un rettangolo formato dai lati a e h. La formula corrispondente è:}

S_b=3ah.

Quindi, l'area di un prisma regolare a base triangolare si trova con la seguente formula:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Se il prisma è dritto ma irregolare, per calcolarne l'area, devi aggiungere separatamente le aree dei rettangoli che non sono uguali tra loro.

Determinazione del volume di una figura

Il volume di un prisma è inteso come lo spazio limitato dai suoi lati (facce). Calcolare il volume di un prisma triangolare retto è molto più semplice che calcolarne la superficie. Per fare ciò, è sufficiente conoscere l'area della base e l' altezza della figura. Poiché l' altezza h di una figura retta è la lunghezza del suo bordo laterale, e come calcolare l'area di base, abbiamo dato nel precedentepunto, quindi resta da moltiplicare questi due valori tra loro per ottenere il volume desiderato. La formula diventa:

V=S_3h.

Nota che il prodotto dell'area di una base e l' altezza darà il volume non solo di un prisma diritto, ma anche di una figura obliqua e persino di un cilindro.

Risoluzione dei problemi

I prismi triangolari di vetro sono usati in ottica per studiare lo spettro della radiazione elettromagnetica dovuta al fenomeno della dispersione. È noto che un prisma di vetro regolare ha una lunghezza del lato di base di 10 cm e una lunghezza del bordo di 15 cm Qual è l'area delle sue facce di vetro e quale volume contiene?

Per determinare l'area useremo la formula scritta nell'articolo. Abbiamo:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6 cm^2.

Per determinare il volume V, utilizziamo anche la formula sopra:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 cm}3^.

Nonostante i bordi del prisma siano 10 cm e lunghi 15 cm, il volume della figura è di soli 0,65 litri (un cubo con un lato di 10 cm ha un volume di 1 litro).