La capacità di determinare il volume delle figure spaziali è importante per risolvere problemi geometrici e pratici. Una di queste figure è un prisma. Considereremo nell'articolo di cosa si tratta e mostreremo come calcolare il volume di un prisma inclinato.
Cosa si intende per prisma in geometria?
Questo è un poliedro regolare (poliedro), formato da due basi identiche poste su piani paralleli e diversi parallelogrammi che collegano le basi contrassegnate.
Le basi prismatiche possono essere poligoni arbitrari, come triangolo, quadrilatero, ettagono e così via. Inoltre, il numero di angoli (lati) del poligono determina il nome della figura.
Qualsiasi prisma con una base n-gon (n è il numero di lati) consiste di n+2 facce, 2 × n vertici e 3 × n spigoli. Dai numeri dati si può vedere che il numero degli elementi del prisma corrisponde al teorema di Eulero:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
L'immagine sotto mostra che aspetto hanno i prismi triangolari e quadrangolari di vetro.
Tipi di figure. Prisma inclinato
Si è già detto sopra che il nome di un prisma è determinato dal numero di lati del poligono alla base. Tuttavia, ci sono altre caratteristiche nella sua struttura che determinano le proprietà della figura. Quindi, se tutti i parallelogrammi che formano la superficie laterale del prisma sono rappresentati da rettangoli o quadrati, allora tale figura è chiamata retta. Per un prisma diritto, la distanza tra le basi è uguale alla lunghezza del bordo laterale di qualsiasi rettangolo.
Se alcuni o tutti i lati sono parallelogrammi, allora stiamo parlando di un prisma inclinato. La sua altezza sarà già inferiore alla lunghezza della nervatura laterale.
Un altro criterio con cui vengono classificate le figure in esame sono le lunghezze dei lati e gli angoli del poligono alla base. Se sono uguali tra loro, il poligono sarà corretto. Si dice regolare una figura retta con un poligono regolare alla base. È conveniente lavorarci quando si determina la superficie e il volume. Un prisma inclinato a questo proposito presenta alcune difficoltà.
La figura sotto mostra due prismi a base quadrata. L'angolo di 90° mostra la differenza fondamentale tra un prisma diritto e uno obliquo.
Formula per determinare il volume di una figura
La parte dello spazio delimitata dalle facce di un prisma è chiamata volume. Per le cifre considerate di qualsiasi tipo, questo valore può essere determinato dalla seguente formula:
V=h × So
Qui, il simbolo h indica l' altezza del prisma,che è una misura della distanza tra due basi. Simbolo So- un quadrato di base.
L'area base è facile da trovare. Dato che il poligono è regolare o meno e conoscendo il numero dei suoi lati, dovresti applicare la formula appropriata e ottenere So. Ad esempio, per un n-gon regolare con lunghezza del lato a, l'area sarà:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Ora passiamo all' altezza h. Per un prisma diritto, determinare l' altezza non è difficile, ma per un prisma obliquo non è un compito facile. Può essere risolto con vari metodi geometrici, partendo da specifiche condizioni iniziali. Tuttavia, esiste un modo universale per determinare l' altezza di una figura. Descriviamolo brevemente.
L'idea è di trovare la distanza da un punto nello spazio a un piano. Supponiamo che il piano sia dato dall'equazione:
LA × x+ SI × y + C × z + D=0
Allora l'aereo sarà a distanza:
h=|LA × x1 + SI × y1+ DO × z1 +D| / √ (LA2 + B2+ C2)
Se gli assi delle coordinate sono disposti in modo che il punto (0; 0; 0) si trovi nel piano della base inferiore del prisma, l'equazione per il piano della base può essere scritta come segue:
z=0
Ciò significa che verrà scritta la formula per l' altezzaquindi:
h=z1
È sufficiente trovare la coordinata z di un punto qualsiasi della base superiore per determinare l' altezza della figura.
Esempio di risoluzione dei problemi
La figura sotto mostra un prisma quadrangolare. La base di un prisma inclinato è un quadrato con un lato di 10 cm È necessario calcolarne il volume se è noto che la lunghezza del bordo laterale è di 15 cm e l'angolo acuto del parallelogramma frontale è di 70 °.
Poiché l' altezza h della figura è anche l' altezza del parallelogramma, usiamo le formule per determinare la sua area per trovare h. Indichiamo i lati del parallelogramma come segue:
a=10cm;
b=15cm
Poi puoi scrivere le seguenti formule per determinare l'area Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Da dove otteniamo:
h=b × sin (α)
Qui α è un angolo acuto del parallelogramma. Poiché la base è un quadrato, la formula per il volume di un prisma inclinato assumerà la forma:
V=a2 × b × sin (α)
Sostituiamo i dati della condizione nella formula e otteniamo la risposta: V ≈ 1410 cm3.
