Prisma è un poliedro o poliedro, che viene studiato nel corso scolastico di geometria solida. Una delle proprietà importanti di questo poliedro è il suo volume. Consideriamo nell'articolo come calcolare questo valore e forniamo anche le formule per il volume dei prismi: quadrangolare regolare ed esagonale.
Prisma in stereometria
Questa figura è intesa come un poliedro, che consiste di due poligoni identici posti su piani paralleli, e di diversi parallelogrammi. Per alcuni tipi di prismi, i parallelogrammi possono rappresentare quadrilateri o quadrati rettangolari. Di seguito è riportato un esempio di cosiddetto prisma pentagonale.
Per costruire una figura come nella figura sopra, devi prendere un pentagono ed eseguire il suo trasferimento parallelo ad una certa distanza nello spazio. Collegando i lati di due pentagoni usando i parallelogrammi, otteniamo il prisma desiderato.
Ogni prisma è composto da facce, vertici e bordi. I vertici del prismaa differenza della piramide, sono uguali, ognuna di esse si riferisce ad una delle due basi. Le facce e gli spigoli sono di due tipi: quelli che appartengono alle basi e quelli che appartengono ai lati.
I prismi sono di diversi tipi (corretti, obliqui, convessi, diritti, concavi). Consideriamo più avanti nell'articolo con quale formula viene calcolato il volume di un prisma, tenendo conto della forma della figura.
Espressione generale per determinare il volume di un prisma
Indipendentemente dal tipo a cui appartiene la figura in studio, che sia dritta o obliqua, regolare o irregolare, esiste un'espressione universale che permette di determinarne il volume. Il volume di una figura spaziale è l'area dello spazio racchiusa tra le sue facce. La formula generale per il volume di un prisma è:
V=So × h.
Qui So rappresenta l'area della base. Va ricordato che stiamo parlando di una base e non di due. Il valore h è l' altezza. L' altezza della figura in esame è intesa come distanza tra le sue basi identiche. Se questa distanza coincide con le lunghezze delle nervature laterali, allora si parla di prisma rettilineo. In una figura retta, tutti i lati sono rettangoli.
Quindi, se un prisma è obliquo e ha un poligono di base irregolare, calcolarne il volume diventa più complicato. Se la figura è dritta, il calcolo del volume si riduce solo alla determinazione dell'area della base So.
Determinazione del volume di una figura regolare
Regolare è qualsiasi prisma che sia diritto e abbia una base poligonale con lati e angoli uguali tra loro. Ad esempio, tali poligoni regolari sono un quadrato e un triangolo equilatero. Allo stesso tempo, un rombo non è una figura regolare, poiché non tutti i suoi angoli sono uguali.
La formula per il volume di un prisma regolare segue inequivocabilmente dall'espressione generale per V, che è stata scritta nel paragrafo precedente dell'articolo. Prima di procedere alla scrittura della formula corrispondente, è necessario determinare l'area della base corretta. Senza entrare nei dettagli matematici, presentiamo la formula per determinare l'area indicata. È universale per qualsiasi n-gon regolare e ha la seguente forma:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Come puoi vedere dall'espressione, l'area Sn è una funzione di due parametri. Un intero n può assumere valori da 3 a infinito. Il valore a è la lunghezza del lato di n-gon.
Per calcolare il volume di una figura è sufficiente moltiplicare l'area S per l' altezza h o per la lunghezza del bordo laterale b (h=b). Di conseguenza, arriviamo alla seguente formula di lavoro:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Nota che per determinare il volume di un prisma di tipo arbitrario, devi conoscere diverse grandezze (lunghezze dei lati della base, altezza, angoli diedri della figura), ma per calcolare il valore V di un prisma regolare, abbiamo bisogno di conoscere solo due parametri lineari, ad esempio a e h.
Il volume di un prisma regolare quadrangolare
Un prisma quadrangolare è chiamato parallelepipedo. Se tutte le sue facce sono uguali e sono quadrati, allora tale figura sarà un cubo. Ogni studente sa che il volume di un parallelepipedo o cubo rettangolare è determinato moltiplicando i suoi tre diversi lati (lunghezza, altezza e larghezza). Questo fatto segue dall'espressione del volume generale scritta per una cifra regolare:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Qui la cotangente di 45° è uguale a 1. Si noti che l'uguaglianza dell' altezza h e la lunghezza del lato della base a porta automaticamente alla formula per il volume di un cubo.
Volume del prisma esagonale regolare
Ora applica la teoria di cui sopra per determinare il volume di una figura a base esagonale. Per fare ciò, devi solo sostituire il valore n=6 nella formula:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
L'espressione scritta può essere ottenuta indipendentemente senza utilizzare la formula universale per S. Per fare ciò, devi dividere l'esagono regolare in sei triangoli equilateri. Il lato di ciascuno di essi sarà uguale a a. L'area di un triangolo corrisponde a:
S3=√3/4 × a2.
Moltiplicando questo valore per il numero di triangoli (6) e per l' altezza, otteniamo la formula sopra per il volume.
