Le funzioni trigonometriche inverse tradizionalmente causano difficoltà agli scolari. La capacità di calcolare l'arcotangente di un numero può essere richiesta nelle attività USE in planimetria e stereometria. Per risolvere con successo un'equazione e un problema con un parametro, è necessario comprendere le proprietà della funzione arcotangente.
Definizione
L'arcotangente di un numero x è un numero y la cui tangente è x. Questa è la definizione matematica.
La funzione arctangente è scritta come y=arctg x.
Più in generale: y=Carctg (kx + a).
Calcolo
Per capire come funziona la funzione trigonometrica inversa dell'arcotangente, devi prima ricordare come si determina il valore della tangente di un numero. Diamo un'occhiata più da vicino.
La tangente di x è il rapporto tra il seno di x e il coseno di x. Se almeno una di queste due quantità è nota, allora il modulo della seconda può essere ottenuto dall'identità trigonometrica di base:
peccato2 x + cos2 x=1.
Certo, per sbloccare il modulo sarà necessaria una valutazione.
Sesi conosce il numero stesso e non le sue caratteristiche trigonometriche, quindi nella maggior parte dei casi è necessario stimare approssimativamente la tangente del numero facendo riferimento alla tabella di Bradis.
Le eccezioni sono i cosiddetti valori standard.
Sono presentati nella seguente tabella:
Oltre a quanto sopra, qualsiasi valore ottenuto dai dati sommando un numero della forma ½πк (к - qualsiasi intero, π=3, 14) può essere considerato standard.
Esattamente lo stesso vale per l'arcotangente: il più delle volte il valore approssimativo può essere visto dalla tabella, ma solo alcuni valori sono noti con certezza:
In pratica, quando si risolvono problemi di matematica scolastica, è consuetudine dare una risposta sotto forma di un'espressione contenente l'arcotangente, e non la sua stima approssimativa. Ad esempio, arctg 6, arctg (-¼).
Tracciare un grafico
Poiché la tangente può assumere qualsiasi valore, il dominio della funzione arctangente è l'intera retta numerica. Spieghiamo più in dettaglio.
La stessa tangente corrisponde a un numero infinito di argomenti. Ad esempio, non solo la tangente di zero è uguale a zero, ma anche la tangente di qualsiasi numero della forma π k, dove k è un intero. Pertanto, i matematici hanno convenuto di scegliere i valori per l'arcotangente dall'intervallo da -½ π a ½ π. Va inteso in questo modo. L'intervallo della funzione arcotangente è l'intervallo (-½ π; ½ π). Le estremità del divario non sono incluse, poiché le tangenti -½p e ½p non esistono.
Nell'intervallo specificato, la tangente è continuaaumenta. Ciò significa che anche la funzione inversa dell'arcotangente è in continuo aumento sull'intera retta dei numeri, ma è delimitata dall' alto e dal basso. Di conseguenza, ha due asintoti orizzontali: y=-½ π e y=½ π.
In questo caso, tg 0=0, altri punti di intersezione con l'asse delle ascisse, ad eccezione di (0;0), il grafico non può avere dovuto aumento.
Come segue dalla parità della funzione tangente, l'arcotangente ha una proprietà simile.
Per costruire un grafico, prendi diversi punti tra i valori standard:
La derivata della funzione y=arctg x in qualsiasi punto viene calcolata con la formula:
Nota che il suo derivato è ovunque positivo. Ciò è coerente con la conclusione fatta in precedenza sul continuo aumento della funzione.
La derivata seconda dell'arcotangente svanisce al punto 0, è negativa per valori positivi dell'argomento e viceversa.
Ciò significa che il grafico della funzione arcotangente ha un punto di flesso a zero ed è convesso verso il basso sull'intervallo (-∞; 0] e convesso verso l' alto sull'intervallo [0; +∞).
