Un sistema meccanico costituito da un punto materiale (corpo) appeso a un filo inestensibile e senza peso (la sua massa è trascurabile rispetto al peso del corpo) in un campo di gravità uniforme è chiamato pendolo matematico (un altro nome è un oscillatore). Esistono altri tipi di questo dispositivo. Invece di un filo, è possibile utilizzare un'asta senza peso. Un pendolo matematico può rivelare chiaramente l'essenza di molti fenomeni interessanti. Con una piccola ampiezza di oscillazione, il suo movimento è chiamato armonico.
Panoramica del sistema meccanico
La formula per il periodo di oscillazione di questo pendolo è stata derivata dallo scienziato olandese Huygens (1629-1695). Questo contemporaneo di I. Newton amava molto questo sistema meccanico. Nel 1656 creò il primo orologio a pendolo. Hanno misurato il tempo con eccezionaleper quei tempi precisione. Questa invenzione è diventata una pietra miliare nello sviluppo di esperimenti fisici e attività pratiche.
Se il pendolo è in equilibrio (appeso verticalmente), la forza di gravità sarà bilanciata dalla forza della tensione del filo. Un pendolo piatto su un filo inestensibile è un sistema con due gradi di libertà con una connessione. Quando si cambia un solo componente, cambiano le caratteristiche di tutte le sue parti. Quindi, se il filo viene sostituito da un'asta, questo sistema meccanico avrà solo 1 grado di libertà. Quali sono le proprietà di un pendolo matematico? In questo sistema più semplice, il caos sorge sotto l'influenza di una perturbazione periodica. Nel caso in cui il punto di sospensione non si muova, ma oscilli, il pendolo ha una nuova posizione di equilibrio. Con rapide oscillazioni su e giù, questo sistema meccanico acquisisce una posizione capovolta stabile. Ha anche il suo nome. Si chiama pendolo di Kapitza.
Proprietà pendolo
Il pendolo matematico ha proprietà molto interessanti. Tutti loro sono confermati da leggi fisiche conosciute. Il periodo di oscillazione di qualsiasi altro pendolo dipende da varie circostanze, come le dimensioni e la forma del corpo, la distanza tra il punto di sospensione e il baricentro, la distribuzione della massa rispetto a questo punto. Ecco perché determinare il periodo di un corpo sospeso è un compito piuttosto difficile. È molto più facile calcolare il periodo di un pendolo matematico, la cui formula sarà data di seguito. Come risultato di osservazioni di similii sistemi meccanici possono stabilire i seguenti schemi:
• Se, mantenendo la stessa lunghezza del pendolo, appendiamo pesi diversi, il periodo delle loro oscillazioni sarà lo stesso, anche se le loro masse varieranno molto. Pertanto, il periodo di un tale pendolo non dipende dalla massa del carico.
• All'avvio del sistema, se il pendolo viene deviato di angoli non troppo grandi, ma diversi, inizierà ad oscillare con lo stesso periodo, ma con ampiezze diverse. Finché le deviazioni dal centro di equilibrio non sono troppo grandi, le oscillazioni nella loro forma saranno abbastanza vicine a quelle armoniche. Il periodo di un tale pendolo non dipende in alcun modo dall'ampiezza dell'oscillazione. Questa proprietà di questo sistema meccanico è chiamata isocronismo (tradotto dal greco "chronos" - tempo, "isos" - uguale).
Periodo del pendolo matematico
Questo indicatore rappresenta il periodo delle oscillazioni naturali. Nonostante la formulazione complessa, il processo stesso è molto semplice. Se la lunghezza del filo di un pendolo matematico è L e l'accelerazione di caduta libera è g, allora questo valore è:
T=2π√L/g
Il periodo delle piccole oscillazioni naturali non dipende in alcun modo dalla massa del pendolo e dall'ampiezza delle oscillazioni. In questo caso, il pendolo si muove come un pendolo matematico di lunghezza ridotta.
Oscillazioni del pendolo matematico
Un pendolo matematico oscilla, che può essere descritto da una semplice equazione differenziale:
x + ω2 sin x=0, dove x (t) è una funzione sconosciuta (questo è l'angolo di deviazione dal bassoposizione di equilibrio al tempo t, espressa in radianti); ω è una costante positiva, che è determinata dai parametri del pendolo (ω=√g/L, dove g è l'accelerazione di caduta libera e L è la lunghezza del pendolo matematico (sospensione).
L'equazione delle piccole fluttuazioni vicino alla posizione di equilibrio (equazione armonica) si presenta così:
x + ω2 sin x=0
Movimenti oscillatori del pendolo
Un pendolo matematico che compie piccole oscillazioni si muove lungo una sinusoide. L'equazione differenziale del secondo ordine soddisfa tutti i requisiti e i parametri di un tale movimento. Per determinare la traiettoria, è necessario specificare la velocità e la coordinata, da cui vengono quindi determinate le costanti indipendenti:
x=Un peccato (θ0 + ωt), dove θ0 è la fase iniziale, A è l'ampiezza dell'oscillazione, ω è la frequenza ciclica determinata dall'equazione del moto.
Pendolo matematico (formule per grandi ampiezze)
Questo sistema meccanico, che effettua le sue oscillazioni con un'ampiezza significativa, obbedisce a leggi del moto più complesse. Per un tale pendolo, sono calcolati dalla formula:
peccato x/2=usn(ωt/u), dove sn è il seno di Jacobi, che per u < 1 è una funzione periodica, e per u piccola coincide con un semplice seno trigonometrico. Il valore di u è determinato dalla seguente espressione:
u=(ε + ω2)/2ω2, dove ε=E/mL2 (mL2 è l'energia del pendolo).
Determinazione del periodo di oscillazione di un pendolo non lineareeffettuato secondo la formula:
T=2π/Ω, dove Ω=π/2ω/2K(u), K è l'integrale ellittico, π - 3, 14.
Movimento del pendolo lungo la separatrice
Una separatrice è una traiettoria di un sistema dinamico con uno spazio delle fasi bidimensionale. Il pendolo matematico si muove lungo di esso in modo non periodico. In un momento infinitamente distante, cade dalla posizione estrema superiore al lato con velocità zero, quindi gradualmente lo raccoglie. Alla fine si ferma, tornando alla sua posizione originale.
Se l'ampiezza delle oscillazioni del pendolo si avvicina al numero π, questo indica che il moto sul piano delle fasi si sta avvicinando alla separatrice. In questo caso, sotto l'azione di una piccola forza motrice periodica, il sistema meccanico mostra un comportamento caotico.
Quando il pendolo matematico devia dalla posizione di equilibrio di un certo angolo φ, si genera una forza di gravità tangenziale Fτ=–mg sin φ. Il segno meno significa che questa componente tangenziale è diretta nella direzione opposta alla deflessione del pendolo. Quando lo spostamento del pendolo lungo l'arco di una circonferenza di raggio L è indicato con x, il suo spostamento angolare è uguale a φ=x/L. La seconda legge di Isaac Newton, progettata per le proiezioni del vettore di accelerazione e della forza, darà il valore desiderato:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Sulla base di questo rapporto, è chiaro che questo pendolo è un sistema non lineare, poiché la forza che cerca di tornareesso alla posizione di equilibrio, è sempre proporzionale non allo spostamento x, ma a sin x/L.
Solo quando il pendolo matematico fa piccole oscillazioni, è un oscillatore armonico. In altre parole, diventa un sistema meccanico in grado di eseguire vibrazioni armoniche. Questa approssimazione è praticamente valida per angoli di 15–20°. Le oscillazioni del pendolo con ampiezze elevate non sono armoniche.
Legge di Newton per piccole oscillazioni di un pendolo
Se questo sistema meccanico esegue piccole vibrazioni, la seconda legge di Newton sarà simile a questa:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
In base a ciò, possiamo concludere che l'accelerazione tangenziale del pendolo matematico è proporzionale al suo spostamento con un segno meno. Questa è la condizione per cui il sistema diventa un oscillatore armonico. Il modulo del guadagno proporzionale tra spostamento e accelerazione è uguale al quadrato della frequenza circolare:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Questa formula riflette la frequenza naturale delle piccole oscillazioni di questo tipo di pendolo. Sulla base di questo, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Calcoli basati sulla legge di conservazione dell'energia
Le proprietà dei movimenti oscillatori del pendolo possono essere descritte anche usando la legge di conservazione dell'energia. In questo caso, va tenuto presente che l'energia potenziale del pendolo nel campo gravitazionale è:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Energia meccanica totaleè uguale al potenziale cinetico o massimo: Epmax=Ekmsx=E
Dopo aver scritto la legge di conservazione dell'energia, prendi la derivata dei lati destro e sinistro dell'equazione:
Ep + Ek=const
Poiché la derivata dei valori costanti è 0, allora (Ep + Ek)'=0. La derivata della somma è uguale alla somma delle derivate:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, quindi:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
In base all'ultima formula, troviamo: α=- g/Lx.
Applicazione pratica del pendolo matematico
L'accelerazione della caduta libera varia con la latitudine geografica, poiché la densità della crosta terrestre in tutto il pianeta non è la stessa. Dove si verificano rocce con una densità maggiore, sarà leggermente più alta. L'accelerazione di un pendolo matematico viene spesso utilizzata per l'esplorazione geologica. È usato per cercare vari minerali. Semplicemente contando il numero di oscillazioni del pendolo, puoi trovare carbone o minerale nelle viscere della Terra. Ciò è dovuto al fatto che tali fossili hanno una densità e una massa maggiori delle rocce sciolte sottostanti.
Il pendolo matematico è stato utilizzato da scienziati di spicco come Socrate, Aristotele, Platone, Plutarco, Archimede. Molti di loro credevano che questo sistema meccanico potesse influenzare il destino e la vita di una persona. Archimede ha usato un pendolo matematico nei suoi calcoli. Al giorno d'oggi, molti occultisti e sensitiviusa questo sistema meccanico per adempiere le loro profezie o cercare persone scomparse.
Anche il famoso astronomo e naturalista francese K. Flammarion ha utilizzato un pendolo matematico per le sue ricerche. Ha affermato che con il suo aiuto è stato in grado di prevedere la scoperta di un nuovo pianeta, l'aspetto del meteorite Tunguska e altri eventi importanti. Durante la seconda guerra mondiale in Germania (Berlino) operò un istituto specializzato del pendolo. Oggi, l'Istituto di parapsicologia di Monaco è impegnato in una ricerca simile. I dipendenti di questa istituzione chiamano il loro lavoro con il pendolo "radioestesia".
