Cos'è un prisma dritto? Proprietà e formule. Esempio di attività

2024 Autore: Angel Austin | [email protected]. Ultima modifica: 2023-12-17 05:31

La stereometria è lo studio delle caratteristiche delle forme geometriche tridimensionali. Una delle figure volumetriche ben note che compare nei problemi di geometria è un prisma rettilineo. Consideriamo in questo articolo di cosa si tratta e descriviamo anche in dettaglio un prisma a base triangolare.

Prisma e suoi tipi

Un prisma è una figura che si forma come risultato di una traslazione parallela di un poligono nello spazio. Come risultato di questa operazione geometrica, si forma una figura, costituita da più parallelogrammi e due poligoni identici tra loro paralleli. I parallelogrammi sono i lati del prisma e i poligoni sono le sue basi.

Ogni prisma ha n+2 lati, 3n spigoli e 2n vertici, dove n è il numero di angoli o lati della base poligonale. L'immagine mostra un prisma pentagonale che ha 7 lati, 10 vertici e 15 bordi.

La classe di figure considerata è rappresentata da diversi tipi di prismi. Li elenchiamo brevemente:

• concava e convessa;
• obliquo e diritto;
• sbagliato e giusto.

Ogni cifra appartiene a uno dei tre tipi di classificazione elencati. Quando si risolvono problemi geometrici, è più semplice eseguire calcoli per prismi regolari e rettilinei. Quest'ultimo sarà discusso più dettagliatamente nei paragrafi seguenti dell'articolo.

Cos'è un prisma diritto?

Un prisma diritto è un prisma concavo o convesso, regolare o irregolare, in cui tutti i lati sono rappresentati da quadrilateri con angoli di 90°. Se almeno uno dei quadrangoli dei lati non è un rettangolo o un quadrato, il prisma è chiamato obliquo. Si può anche dare un' altra definizione: un prisma rettilineo è una tale figura di una data classe in cui ogni spigolo laterale è uguale all' altezza. Sotto l' altezza h del prisma si assume la distanza tra le sue basi.

Entrambe le definizioni date che è un prisma diretto sono uguali e autosufficienti. Ne consegue che tutti gli angoli diedri tra una qualsiasi delle basi e ciascun lato sono 90°.

È stato detto sopra che è conveniente lavorare con cifre dritte quando si risolvono problemi. Ciò è dovuto al fatto che l' altezza corrisponde alla lunghezza della nervatura laterale. Quest'ultimo fatto facilita il processo di calcolo del volume di una figura e dell'area della sua superficie laterale.

Volume di un prisma diretto

Volume - un valore inerente a qualsiasi figura spaziale, che riflette numericamente la parte dello spazio racchiusa tra le superfici dell'oggetto consideratooggetto. Il volume di un prisma può essere calcolato utilizzando la seguente formula generale:

V=S_oh.

Ovvero, il prodotto dell' altezza e dell'area della base darà il valore desiderato V. Poiché le basi di un prisma rettilineo sono uguali, quindi per determinare l'area S_o puoi prenderne uno qualsiasi.

Il vantaggio di utilizzare la formula sopra specificatamente per un prisma rettilineo rispetto agli altri tipi è che è molto facile trovare l' altezza della figura, poiché coincide con la lunghezza del bordo laterale.

Area laterale

È conveniente calcolare non solo il volume per una figura retta della classe in esame, ma anche la sua superficie laterale. In effetti, qualsiasi lato di esso è un rettangolo o un quadrato. Ogni studente sa come calcolare l'area di queste figure piatte, per questo è necessario moltiplicare i lati adiacenti tra loro.

Supponiamo che la base del prisma sia un arbitrario n-gon i cui lati siano uguali a_i. L'indice i va da 1 a n. L'area di un rettangolo viene calcolata in questo modo:

S_i=a_ih.

L'area della superficie laterale S_bè facile da calcolare se si sommano tutte le aree S_i rettangoli. In questo caso, otteniamo la formula finale per S_bprisma diritto:

S_b=h∑_i=1(a_i)=hP_o.

Quindi, per determinare l'area della superficie laterale di un prisma diritto, devi moltiplicare la sua altezza per il perimetro di una base.

Problema con un prisma triangolare

Supponiamo di avere un prisma diritto. La base è un triangolo rettangolo. Le gambe di questo triangolo sono 12 cm e 8 cm È necessario calcolare il volume della figura e la sua area totale se l' altezza del prisma è 15 cm.

In primo luogo, calcoliamo il volume di un prisma diritto. Il triangolo (rettangolare) situato alle sue basi ha un'area:

S_o=a₁a₂/2=128/2=48 cm².

Come puoi immaginare, a₁ e a₂ sono gambe in questa equazione. Conoscendo l'area di base e l' altezza (vedi la condizione del problema), puoi usare la formula per V:

V=S_oh=4815=720cm³.

L'area totale della figura è formata da due parti: le aree delle basi e la superficie laterale. Le aree delle due basi sono:

S_2o=2S_o=482=96cm².

Per calcolare l'area della superficie laterale, devi conoscere il perimetro di un triangolo rettangolo. Calcola con il teorema di Pitagora la sua ipotenusa a₃, abbiamo:

a₃ =√(a₁²+ a₂ 2^)=√(122^{+ 8}2^{)=14,42 cm.}

Allora il perimetro del triangolo della base del prisma retto sarà:

P=a₁+ a₂+ a₃=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.

Applicando la formula per S_b, che è stata scritta nel paragrafo precedente,ottieni:

S_b=hP=1534, 42=516, 3 cm.

Sommando le aree di S_2o e S_b, otteniamo la superficie totale della figura geometrica studiata:

S=S_2o+ S_b=96 + 516, 3=612, 3cm^2.

Un prisma triangolare, realizzato con tipi speciali di vetro, viene utilizzato in ottica per studiare gli spettri degli oggetti che emettono luce. Tali prismi sono in grado di scomporre la luce in frequenze componenti a causa del fenomeno della dispersione.