Un cono è una delle figure spaziali di rotazione, le cui caratteristiche e proprietà sono studiate dalla stereometria. In questo articolo definiremo questa figura e considereremo le formule di base che collegano i parametri lineari di un cono con la sua superficie e volume.
Cos'è un cono?
Dal punto di vista della geometria, stiamo parlando di una figura spaziale, che è formata da un insieme di segmenti retti che collegano un certo punto nello spazio con tutti i punti di una curva piatta liscia. Questa curva può essere un cerchio o un'ellisse. La figura seguente mostra un cono.
La figura presentata non ha volume, poiché le pareti della sua superficie hanno uno spessore infinitesimale. Tuttavia, se è riempito con una sostanza e delimitato dall' alto non da una curva, ma da una figura piatta, ad esempio un cerchio, otterremo un corpo volumetrico solido, che è anche comunemente chiamato cono.
La forma di un cono si trova spesso nella vita. Quindi, ha un cono gelato o coni stradali a strisce nere e arancioni che vengono posizionati sulla carreggiata per attirare l'attenzione dei partecipanti al traffico.
Elementi di un cono e suoi tipi
Poiché il cono non è un poliedro, il numero di elementi che lo compongono non è grande come per i poliedri. In geometria, un cono generale è costituito dai seguenti elementi:
- base, la cui curva di delimitazione è chiamata direttrice, o generatrice;
- della superficie laterale, che è la raccolta di tutti i punti dei segmenti di retta (generatrici) che collegano il vertice e i punti della curva guida;
- vertice, che è il punto di intersezione delle generatrici.
Nota che il vertice non deve trovarsi nel piano della base, poiché in questo caso il cono degenera in una figura piatta.
Se disegniamo un segmento perpendicolare dall' alto alla base, otterremo l' altezza della figura. Se l'ultima base si interseca al centro geometrico, allora è un cono rettilineo. Se la perpendicolare non coincide con il centro geometrico della base, la figura sarà inclinata.
Nella figura sono mostrati i coni dritti e obliqui. Qui, l' altezza e il raggio della base del cono sono indicati rispettivamente con h e r. La linea che collega la sommità della figura e il centro geometrico della base è l'asse del cono. Dalla figura si può vedere che per una figura diritta, l' altezza giace su questo asse, e per una figura inclinata, l' altezza forma un angolo con l'asse. L'asse del cono è indicato dalla lettera a.
Cono dritto con base tonda
Forse, questo cono è il più comune della classe di figure considerata. È composto da un cerchio e un latosuperfici. Non è difficile ottenerlo con metodi geometrici. Per fare ciò, prendi un triangolo rettangolo e ruotalo attorno a un asse che coincide con una delle gambe. Ovviamente, questa gamba diventerà l' altezza della figura e la lunghezza della seconda gamba del triangolo forma il raggio della base del cono. Il diagramma seguente mostra lo schema descritto per ottenere la cifra di rotazione in questione.
Il triangolo raffigurato può essere ruotato attorno a un' altra gamba, il che risulterà in un cono con un raggio di base maggiore e un' altezza inferiore rispetto alla prima.
Per determinare in modo inequivocabile tutti i parametri di un cono diritto tondo, si dovrebbero conoscere due delle sue caratteristiche lineari. Tra questi si distinguono il raggio r, l' altezza h o la lunghezza della generatrice g. Tutte queste quantità sono le lunghezze dei lati del triangolo rettangolo considerato, quindi per la loro connessione vale il teorema di Pitagora:
g2=r2+ h2.
Superficie
Quando si studia la superficie di qualsiasi figura tridimensionale, è conveniente utilizzarne lo sviluppo su un piano. Il cono non fa eccezione. Per un cono rotondo, lo sviluppo è mostrato di seguito.
Vediamo che lo spiegamento della figura consiste di due parti:
- Il cerchio che forma la base del cono.
- Il settore del cerchio, che è la superficie conica della figura.
L'area di un cerchio è facile da trovare e la formula corrispondente è nota a tutti gli studenti. Parlando del settore circolare, notiamo che essofa parte di una circonferenza di raggio g (la lunghezza della generatrice del cono). La lunghezza dell'arco di questo settore è uguale alla circonferenza della base. Questi parametri consentono di determinare in modo inequivocabile la sua area. La formula corrispondente è:
S=pir2+ pirg.
Il primo e il secondo termine nell'espressione sono rispettivamente il cono della base e la superficie laterale dell'area.
Se la lunghezza del generatore g è sconosciuta, ma viene data l' altezza h della figura, la formula può essere riscritta come:
S=pir2+ pir√(r2+ h2).
Il volume della figura
Se prendiamo una piramide diritta e aumentiamo il numero di lati della sua base all'infinito, la forma della base tenderà a un cerchio e la superficie laterale della piramide si avvicinerà alla superficie conica. Queste considerazioni ci consentono di utilizzare la formula per il volume di una piramide quando si calcola un valore simile per un cono. Il volume di un cono può essere trovato usando la formula:
V=1/3hSo.
Questa formula è sempre vera, indipendentemente da quale sia la base del cono, avendo area So. Inoltre, la formula si applica anche al cono obliquo.
Dato che stiamo studiando le proprietà di una figura retta a base rotonda, possiamo usare la seguente espressione per determinarne il volume:
V=1/3hpir2.
La formula è ovvia.
Il problema di trovare la superficie e il volume
Si dia un cono il cui raggio sia 10 cm, e la lunghezza della generatrice sia 20vedere Necessità di determinare il volume e la superficie per questa forma.
Per calcolare l'area S, puoi utilizzare immediatamente la formula scritta sopra. Abbiamo:
S=pir2+ pirg=942 cm2.
Per determinare il volume, devi conoscere l' altezza h della figura. Lo calcoliamo usando la relazione tra i parametri lineari del cono. Otteniamo:
h=√(g2- r2)=√(202- 102) ≈ 17, 32 cm.
Ora puoi usare la formula per V:
V=1/3hpir2=1/317, 323, 14102 ≈ 1812, 83cm3.
Nota che il volume di un cono rotondo è un terzo del cilindro in cui è inscritto.
