Le figure geometriche nello spazio sono oggetto di studio della stereometria, il cui corso è seguito dagli scolari delle scuole superiori. Questo articolo è dedicato a un poliedro così perfetto come un prisma. Consideriamo più in dettaglio le proprietà di un prisma e diamo le formule che servono a descriverle quantitativamente.
Cos'è un prisma?
Tutti immaginano che aspetto ha una scatola o un cubo. Entrambe le figure sono prismi. Tuttavia, la classe dei prismi è molto più varia. In geometria, a questa figura viene data la seguente definizione: un prisma è un qualsiasi poliedro nello spazio, che è formato da due lati poligonali paralleli e identici e diversi parallelogrammi. Le facce parallele identiche di una figura sono dette basi (superiore e inferiore). I parallelogrammi sono le facce laterali della figura, che collegano tra loro i lati della base.
Se la base è rappresentata da un n-gon, dove n è un numero intero, la figura sarà composta da 2+n facce, 2n vertici e 3n spigoli. Facce e bordi si riferisconouno di due tipi: o appartengono alla superficie laterale, o alle basi. Quanto ai vertici, sono tutti uguali e appartengono alle basi del prisma.
Tipi di figure della classe in studio
Studiando le proprietà di un prisma, dovresti elencare i possibili tipi di questa figura:
- Convesso e concavo. La differenza tra loro sta nella forma della base poligonale. Se è concavo, allora sarà anche una figura tridimensionale e viceversa.
- Diritto e obliquo. Per un prisma dritto, le facce laterali sono rettangoli o quadrati. In una figura obliqua, le facce laterali sono parallelogrammi di tipo generale o rombi.
- Sbagliato e giusto. Affinché la figura da studiare sia corretta, deve essere diritta e avere la base corretta. Un esempio di questi ultimi sono le figure piatte come un triangolo equilatero o un quadrato.
Il nome del prisma è formato tenendo conto della classificazione elencata. Ad esempio, il parallelepipedo o il cubo ad angolo retto menzionato sopra è chiamato prisma quadrangolare regolare. I prismi regolari, a causa della loro elevata simmetria, sono convenienti da studiare. Le loro proprietà sono espresse sotto forma di formule matematiche specifiche.
Area del prisma
Quando si considera una tale proprietà di un prisma come la sua area, si intende l'area totale di tutte le sue facce. È più facile immaginare questo valore se apri la figura, cioè espandi tutte le facce su un piano. Di seguito suLa figura mostra un esempio di scansione di due prismi.
Per un prisma arbitrario, la formula per l'area del suo sweep in forma generale può essere scritta come segue:
S=2So+ bPsr.
Spieghiamo la notazione. Il valore So è l'area di una base, b è la lunghezza del bordo laterale, Psr è il perimetro tagliato, che è perpendicolare ai parallelogrammi laterali della figura.
La formula scritta viene spesso utilizzata per determinare le aree dei prismi inclinati. Nel caso di un prisma regolare, l'espressione per S assumerà una forma specifica:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Il primo termine nell'espressione rappresenta l'area delle due basi di un prisma regolare, il secondo termine è l'area dei rettangoli laterali. Qui a è la lunghezza del lato di un n-gon regolare. Si noti che la lunghezza del bordo laterale b per un prisma regolare è anche la sua altezza h, quindi nella formula b può essere sostituita da h.
Come calcolare il volume di una figura?
Prisma è un poliedro relativamente semplice con un'elevata simmetria. Pertanto, per determinarne il volume, esiste una formula molto semplice. Si presenta così:
V=Soh.
Calcolare l'area della base e l' altezza può essere complicato quando si osserva una forma obliqua e irregolare. Questo problema viene risolto utilizzando l'analisi geometrica sequenziale che coinvolge informazioni sugli angoli diedri tra i parallelogrammi laterali e la base.
Se il prisma è corretto, allorala formula per V diventa abbastanza concreta:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Come puoi vedere, l'area S e il volume V per un prisma regolare sono determinati in modo univoco se sono noti due dei suoi parametri lineari.
Prisma triangolare regolare
Concludiamo l'articolo considerando le proprietà di un prisma triangolare regolare. È formato da cinque facce, tre delle quali sono rettangoli (quadrati) e due sono triangoli equilateri. Un prisma ha sei vertici e nove spigoli. Per questo prisma, le formule del volume e della superficie sono scritte di seguito:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Oltre a queste proprietà, è anche utile dare una formula per l'apotema della base della figura, che è l' altezza ha di un triangolo equilatero:
ha=√3/2a.
I lati del prisma sono rettangoli identici. Le lunghezze delle loro diagonali d sono:
d=√(a2+ h2).
La conoscenza delle proprietà geometriche di un prisma triangolare è di interesse non solo teorico ma anche pratico. Il fatto è che questa figura, realizzata in vetro ottico, viene utilizzata per studiare lo spettro di radiazione dei corpi.
Passando attraverso un prisma di vetro, la luce viene scomposta in una serie di colori componenti come risultato del fenomeno di dispersione, che crea le condizioni per studiare la composizione spettrale di un flusso elettromagnetico.
