L'emergere del concetto di integrale era dovuto alla necessità di trovare la funzione antiderivativa mediante la sua derivata, nonché di determinare la quantità di lavoro, l'area delle figure complesse, la distanza percorsa, con parametri delineati da curve descritte da formule non lineari.
Dal corso
e la fisica sa che il lavoro è uguale al prodotto di forza e distanza. Se tutti i movimenti avvengono a velocità costante o la distanza viene superata con l'applicazione della stessa forza, allora tutto è chiaro, devi solo moltiplicarli. Che cos'è un integrale di una costante? Questa è una funzione lineare della forma y=kx+c.
Ma la forza durante il lavoro può cambiare, e in una sorta di dipendenza naturale. La stessa situazione si verifica con il calcolo della distanza percorsa se la velocità non è costante.
Quindi, è chiaro a cosa serve l'integrale. La sua definizione come somma dei prodotti dei valori di funzione per un incremento infinitesimale dell'argomento descrive pienamente il significato principale di questo concetto come l'area di una figura delimitata dall' alto dalla linea della funzione, e a i bordi dai confini della definizione.
Jean Gaston Darboux, matematico francese, nella seconda metà del XIXsecolo ha spiegato molto chiaramente cos'è un integrale. Ha messo in chiaro che in generale non sarebbe stato difficile nemmeno per uno studente di scuola media capire questo problema.
Diciamo che esiste una funzione di qualsiasi forma complessa. L'asse y, su cui sono tracciati i valori dell'argomento, è suddiviso in piccoli intervalli, idealmente sono infinitamente piccoli, ma poiché il concetto di infinito è piuttosto astratto, basta immaginare piccoli segmenti, il valore di cui è solitamente indicato dalla lettera greca Δ (delta).
La funzione si è rivelata "tagliata" in piccoli mattoni.
Ogni valore di argomento corrisponde a un punto sull'asse y, su cui vengono tracciati i valori della funzione corrispondente. Ma poiché l'area selezionata ha due bordi, ci saranno anche due valori della funzione, più e meno.
La somma dei prodotti di valori maggiori per l'incremento Δ è chiamata somma di Darboux grande, ed è indicata come S. Di conseguenza, i valori più piccoli in un'area limitata, moltiplicati per Δ, tutti insieme formare una piccola somma di Darboux s. La sezione stessa assomiglia a un trapezio rettangolare, poiché la curvatura della linea della funzione con il suo incremento infinitesimale può essere trascurata. Il modo più semplice per trovare l'area di una tale figura geometrica è sommare i prodotti del valore maggiore e minore della funzione per l'incremento Δ e dividerlo per due, ovvero determinarlo come media aritmetica.
Questo è l'integrale di Darboux:
s=Σf(x) Δ è una piccola quantità;
S=Σf(x+Δ)Δ è una grossa somma.
Quindi cos'è un integrale? L'area delimitata dalla linea della funzione e dai confini della definizione sarà:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Ovvero, la media aritmetica delle somme grandi e piccole di Darboux.c è un valore costante che viene impostato su zero durante la differenziazione.
In base all'espressione geometrica di questo concetto, diventa chiaro il significato fisico dell'integrale. L'area della figura, delineata dalla funzione velocità, e limitata dall'intervallo di tempo lungo l'asse delle ascisse, sarà la lunghezza del percorso percorso.
L=∫f(x)dx sull'intervallo da t1 a t2, Dove
f(x) – funzione di velocità, ovvero la formula con cui cambia nel tempo;
L – lunghezza del percorso;
t1 – ora di inizio;
t2 – ora di fine del viaggio.
Esattamente secondo lo stesso principio, viene determinata la quantità di lavoro, solo la distanza verrà tracciata lungo l'ascissa e la quantità di forza applicata in ogni punto particolare verrà tracciata lungo l'ordinata.
