I problemi irrisolvibili sono i 7 problemi matematici più interessanti. Ognuno di loro è stato proposto contemporaneamente da noti scienziati, di regola, sotto forma di ipotesi. Per molti decenni, i matematici di tutto il mondo si sono scervellati sulla soluzione. Coloro che avranno successo saranno ricompensati con un milione di dollari americani offerti dal Clay Institute.
Storia
Nel 1900, il grande matematico tedesco David Hilbert presentò un elenco di 23 problemi.
La ricerca svolta per risolverli ha avuto un enorme impatto sulla scienza del 20° secolo. Al momento, la maggior parte di loro ha cessato di essere misteri. Tra gli irrisolti o parzialmente risolti c'erano:
- problema di coerenza degli assiomi aritmetici;
- legge generale di reciprocità sullo spazio di qualsiasi campo numerico;
- studio matematico degli assiomi fisici;
- studio di forme quadratiche per numeri algebrici arbitrariquote;
- il problema della giustificazione rigorosa della geometria computazionale di Fyodor Schubert;
- ecc.
Inesplorati sono: il problema di estendere il noto teorema di Kronecker a qualsiasi regione algebrica della razionalità e l'ipotesi di Riemann.
The Clay Institute
Questo è il nome di un'organizzazione privata senza scopo di lucro con sede a Cambridge, Massachusetts. È stata fondata nel 1998 dal matematico di Harvard A. Jeffey e dall'uomo d'affari L. Clay. L'obiettivo dell'Istituto è quello di divulgare e sviluppare la conoscenza matematica. Per raggiungere questo obiettivo, l'organizzazione assegna premi a scienziati e sponsorizza ricerche promettenti.
All'inizio del 21° secolo, il Clay Institute of Mathematics offrì un premio a coloro che risolvono quelli che sono conosciuti come i problemi irrisolvibili più difficili, chiamando la loro lista i problemi del Millennium Prize. Solo l'ipotesi di Riemann è stata inclusa nella Hilbert List.
Sfide del millennio
L'elenco del Clay Institute originariamente includeva:
- Ipotesi del ciclo di Hodge;
- Equazioni della teoria quantistica di Yang-Mills;
- Ipotesi di Poincaré;
- il problema dell'uguaglianza delle classi P e NP;
- Ipotesi di Riemann;
- Equazioni di Navier-Stokes, sull'esistenza e l'uniformità delle sue soluzioni;
- Problema Birch-Swinnerton-Dyer.
Questi problemi matematici aperti sono di grande interesse, in quanto possono avere molte implementazioni pratiche.
Cosa ha dimostrato Grigory Perelman
Nel 1900, il famoso filosofo Henri Poincaré suggerì che qualsiasi 3-varietà compatta semplicemente connessa senza confine è omeomorfa a una sfera tridimensionale. La sua prova nel caso generale non è stata trovata per un secolo. Solo nel 2002-2003 il matematico di San Pietroburgo G. Perelman ha pubblicato una serie di articoli con una soluzione al problema di Poincaré. Hanno avuto l'effetto di una bomba che esplode. Nel 2010 l'ipotesi di Poincaré è stata esclusa dall'elenco dei "Problemi irrisolti" del Clay Institute, e allo stesso Perelman è stato offerto un compenso considerevole a lui dovuto, che quest'ultimo ha rifiutato senza spiegare i motivi della sua decisione.
La spiegazione più comprensibile di ciò che il matematico russo è riuscito a dimostrare può essere data immaginando che un disco di gomma venga tirato su una ciambella (toro), e poi cerchino di tirare i bordi del suo cerchio in un punto. Ovviamente questo non è possibile. Un' altra cosa, se fai questo esperimento con una palla. In questo caso, una sfera apparentemente tridimensionale, risultante da un disco la cui circonferenza è stata tirata a un punto da un ipotetico cordone, sarebbe tridimensionale nella comprensione di una persona comune, ma bidimensionale in termini di matematica.
Poincaré ha suggerito che una sfera tridimensionale è l'unico "oggetto" tridimensionale la cui superficie può essere contratta fino a un punto, e Perelman è riuscito a dimostrarlo. Pertanto, l'elenco dei "problemi irrisolvibili" oggi è composto da 6 problemi.
Teoria di Yang-Mills
Questo problema matematico è stato proposto dai suoi autori nel 1954. La formulazione scientifica della teoria è la seguente:per ogni semplice gruppo di gauge compatto, esiste la teoria quantistica spaziale creata da Yang e Mills, e allo stesso tempo ha un difetto di massa zero.
Parlando in un linguaggio comprensibile a una persona comune, le interazioni tra oggetti naturali (particelle, corpi, onde, ecc.) sono divise in 4 tipi: elettromagnetiche, gravitazionali, deboli e forti. Per molti anni, i fisici hanno cercato di creare una teoria generale dei campi. Dovrebbe diventare uno strumento per spiegare tutte queste interazioni. La teoria di Yang-Mills è un linguaggio matematico con il quale è diventato possibile descrivere 3 delle 4 principali forze della natura. Non si applica alla gravità. Pertanto, non si può ritenere che Yang e Mills siano riusciti a creare una teoria dei campi.
Inoltre, la non linearità delle equazioni proposte le rende estremamente difficili da risolvere. Per piccole costanti di accoppiamento, possono essere risolte approssimativamente sotto forma di una serie di teoria delle perturbazioni. Tuttavia, non è ancora chiaro come queste equazioni possano essere risolte con un forte accoppiamento.
Equazioni di Navier-Stokes
Queste espressioni descrivono processi come correnti d'aria, flusso di fluidi e turbolenza. Per alcuni casi particolari sono già state trovate soluzioni analitiche dell'equazione di Navier-Stokes, ma finora nessuno è riuscito a farlo per quello generale. Allo stesso tempo, simulazioni numeriche per valori specifici di velocità, densità, pressione, tempo e così via possono ottenere ottimi risultati. Resta da sperare che qualcuno sarà in grado di applicare le equazioni di Navier-Stokes al contrariodirezione, ovvero calcolare i parametri utilizzandoli o dimostrare che non esiste un metodo risolutivo.
Problema Birch-Swinnerton-Dyer
La categoria "Problemi irrisolti" comprende anche l'ipotesi proposta da scienziati britannici dell'Università di Cambridge. Già 2300 anni fa, l'antico scienziato greco Euclide diede una descrizione completa delle soluzioni dell'equazione x2 + y2=z2.
Se per ogni numero primo contiamo il numero di punti sulla curva modulo it, otteniamo un insieme infinito di numeri interi. Se lo "incolla" in modo specifico in 1 funzione di una variabile complessa, ottieni la funzione zeta di Hasse-Weil per una curva del terzo ordine, indicata dalla lettera L. Contiene informazioni sul comportamento modulo tutti i numeri primi contemporaneamente.
Brian Birch e Peter Swinnerton-Dyer hanno ipotizzato le curve ellittiche. Secondo esso, la struttura e il numero dell'insieme delle sue soluzioni razionali sono legati al comportamento della funzione L all'identità. La congettura Birch-Swinnerton-Dyer, attualmente non dimostrata, dipende dalla descrizione di equazioni algebriche di 3° grado ed è l'unico modo generale relativamente semplice per calcolare il rango delle curve ellittiche.
Per comprendere l'importanza pratica di questo compito, basta dire che nella crittografia moderna un'intera classe di sistemi asimmetrici si basa su curve ellittiche e gli standard nazionali di firma digitale si basano sulla loro applicazione.
Uguaglianza delle classi p e np
Se il resto delle Sfide del Millennio è puramente matematico, allora questo sìrelazione con la teoria attuale degli algoritmi. Il problema relativo all'uguaglianza delle classi p e np, noto anche come problema di Cooke-Levin, può essere formulato in un linguaggio comprensibile come segue. Supponiamo che una risposta positiva a una certa domanda possa essere verificata abbastanza rapidamente, cioè in tempo polinomiale (PT). Quindi è corretta l'affermazione che la risposta può essere trovata abbastanza rapidamente? Ancora più semplice questo problema suona così: non è davvero più difficile verificare la soluzione del problema che trovarla? Se l'uguaglianza delle classi p e np è mai dimostrata, allora tutti i problemi di selezione possono essere risolti per PV. Al momento, molti esperti dubitano della verità di questa affermazione, anche se non possono provare il contrario.
Ipotesi di Riemann
Fino al 1859, non è stato trovato alcun modello che descrivesse come i numeri primi sono distribuiti tra i numeri naturali. Forse ciò era dovuto al fatto che la scienza si occupava di altre questioni. Tuttavia, verso la metà del 19° secolo, la situazione era cambiata e divennero una delle più importanti con cui la matematica iniziò a occuparsi.
L'ipotesi di Riemann, apparsa durante questo periodo, è l'ipotesi che ci sia un certo schema nella distribuzione dei numeri primi.
Oggi molti scienziati moderni ritengono che, se sarà dimostrato, sarà necessario rivedere molti dei principi fondamentali della crittografia moderna, che costituiscono la base di una parte significativa dei meccanismi del commercio elettronico.
Secondo l'ipotesi di Riemann, il personaggiola distribuzione dei numeri primi può essere significativamente diversa da quella attualmente ipotizzata. Il fatto è che finora non è stato scoperto alcun sistema nella distribuzione dei numeri primi. Ad esempio, c'è il problema dei "gemelli", la cui differenza è 2. Questi numeri sono 11 e 13, 29. Altri numeri primi formano gruppi. Questi sono 101, 103, 107, ecc. Gli scienziati sospettano da tempo che tali gruppi esistano tra numeri primi molto grandi. Se vengono trovate, la forza delle moderne chiavi crittografiche sarà in discussione.
Ipotesi del ciclo di Hodge
Questo problema ancora irrisolto fu formulato nel 1941. L'ipotesi di Hodge suggerisce la possibilità di approssimare la forma di qualsiasi oggetto "incollando" insieme corpi semplici di dimensioni superiori. Questo metodo è noto e utilizzato con successo da molto tempo. Tuttavia, non è noto fino a che punto sia possibile semplificare.
Ora sai quali problemi irrisolvibili esistono al momento. Sono oggetto di ricerca da parte di migliaia di scienziati in tutto il mondo. Resta da sperare che vengano risolti nel prossimo futuro e la loro applicazione pratica aiuterà l'umanità a entrare in un nuovo ciclo di sviluppo tecnologico.
