Nel 1900, uno dei più grandi scienziati del secolo scorso, David Hilbert, compilò un elenco di 23 problemi irrisolti in matematica. Il lavoro su di loro ha avuto un enorme impatto sullo sviluppo di quest'area della conoscenza umana. 100 anni dopo, il Clay Mathematical Institute presentò un elenco di 7 problemi noti come i problemi del millennio. A ciascuno di loro è stato offerto un premio di $ 1 milione.
L'unico problema apparso in entrambi gli elenchi di enigmi che perseguitano gli scienziati da più di un secolo è stata l'ipotesi di Riemann. Sta ancora aspettando la sua decisione.
Breve nota biografica
Georg Friedrich Bernhard Riemann nacque nel 1826 ad Hannover, in una famiglia numerosa di un pastore povero, e visse solo 39 anni. Riuscì a pubblicare 10 opere. Tuttavia, già durante la sua vita, Riemann era considerato il successore del suo maestro Johann Gauss. All'età di 25 anni, il giovane scienziato ha difeso la sua tesi "Fondamenti di teoria delle funzioni di una variabile complessa". Più tardi ha formulatola sua famosa ipotesi.
Numeri Prime
La matematica è apparsa quando l'uomo ha imparato a contare. Allo stesso tempo, sono emerse le prime idee sui numeri, che in seguito hanno cercato di classificare. Alcuni di loro sono stati osservati per avere proprietà comuni. In particolare, tra i numeri naturali, cioè quelli che servivano per contare (numerare) o designare il numero degli oggetti, si distingueva un gruppo che era divisibile solo per uno e per se stessi. Si chiamano semplici. Un'elegante dimostrazione del teorema dell'infinito dell'insieme di tali numeri fu data da Euclide nei suoi Elementi. Al momento, la loro ricerca continua. In particolare, il numero più grande già noto è 274 207 281 – 1.
Formula di Eulero
Insieme al concetto dell'infinito dell'insieme dei primi, Euclide determinò anche il secondo teorema sull'unica possibile scomposizione in fattori primi. Secondo esso, qualsiasi intero positivo è il prodotto di un solo insieme di numeri primi. Nel 1737, il grande matematico tedesco Leonhard Euler espresse il primo teorema dell'infinito di Euclide come formula seguente.
Si chiama funzione zeta, dove s è una costante e p prende tutti i valori primi. L'affermazione di Euclide sull'unicità dell'espansione ne seguì direttamente.
Funzione Riemann Zeta
La formula di Eulero, a un esame più attento, è completamentesorprendente perché definisce la relazione tra numeri primi e interi. Dopotutto, infinite espressioni che dipendono solo da numeri primi vengono moltiplicate sul lato sinistro e la somma associata a tutti gli interi positivi si trova a destra.
Riemann è andato oltre Eulero. Per trovare la chiave del problema della distribuzione dei numeri, ha proposto di definire una formula per variabili sia reali che complesse. Fu lei che successivamente ricevette il nome della funzione zeta di Riemann. Nel 1859 lo scienziato pubblicò un articolo intitolato "Sul numero dei numeri primi che non superano un dato valore", dove riassumeva tutte le sue idee.
Riemann ha suggerito di utilizzare la serie di Eulero, che converge per qualsiasi s>1 reale. Se si usa la stessa formula per s complessi, allora la serie convergerà per qualsiasi valore di questa variabile con una parte reale maggiore di 1. Riemann ha applicato la procedura di continuazione analitica, estendendo la definizione di zeta(i) a tutti i numeri complessi, ma "buttare fuori" l'unità. È stato escluso perché a s=1 la funzione zeta aumenta all'infinito.
Senso pratico
Sorge una domanda logica: perché la funzione zeta, che è la chiave nel lavoro di Riemann sull'ipotesi nulla, è interessante e importante? Come sapete, al momento non è stato identificato alcun modello semplice che descriva la distribuzione dei numeri primi tra i numeri naturali. Riemann è stato in grado di scoprire che il numero pi(x) di numeri primi che non supera x è espresso in termini di distribuzione di zeri non banali della funzione zeta. Inoltre, l'ipotesi di Riemann lo ècondizione necessaria per dimostrare le stime temporali per il funzionamento di alcuni algoritmi crittografici.
Ipotesi di Riemann
Una delle prime formulazioni di questo problema matematico, che fino ad oggi non è stata dimostrata, suona così: 0 funzioni zeta non banali sono numeri complessi con parte reale uguale a ½. In altre parole, si trovano sulla riga Re s=½.
C'è anche un'ipotesi di Riemann generalizzata, che è la stessa affermazione, ma per le generalizzazioni delle funzioni zeta, che sono comunemente chiamate funzioni L di Dirichlet (vedi foto sotto).
Nella formula χ(n) - qualche carattere numerico (modulo k).
L'affermazione riemanniana è considerata la cosiddetta ipotesi nulla, in quanto è stata verificata la coerenza con i dati campione esistenti.
Come ha sostenuto Riemann
L'osservazione del matematico tedesco era originariamente formulata in modo piuttosto casuale. Il fatto è che in quel momento lo scienziato stava per dimostrare il teorema sulla distribuzione dei numeri primi, e in questo contesto questa ipotesi non aveva particolare importanza. Tuttavia, il suo ruolo nella risoluzione di molti altri problemi è enorme. Ecco perché l'ipotesi di Riemann è ora riconosciuta da molti scienziati come il più importante dei problemi matematici non dimostrati.
Come già accennato, l'ipotesi di Riemann completa non è necessaria per dimostrare il teorema di distribuzione, ed è sufficiente per giustificare logicamente che la parte reale di qualsiasi zero non banale della funzione zeta sia intra 0 e 1. Da questa proprietà segue che la somma di tutti gli 0 della funzione zeta che appare nella formula esatta sopra è una costante finita. Per valori elevati di x, potrebbe essere perso del tutto. L'unico membro della formula che rimane lo stesso anche per x molto grande è x stesso. I restanti termini complessi svaniscono asintoticamente rispetto ad esso. Quindi la somma ponderata tende a x. Questa circostanza può essere considerata una conferma della verità del teorema sulla distribuzione dei numeri primi. Pertanto, gli zeri della funzione zeta di Riemann hanno un ruolo speciale. Consiste nel dimostrare che tali valori non possono dare un contributo significativo alla formula di scomposizione.
Seguaci di Riemann
La tragica morte per tubercolosi non ha permesso a questo scienziato di portare il suo programma alla sua conclusione logica. Tuttavia, Sh-Zh ha preso il posto di lui. de la Vallée Poussin e Jacques Hadamard. Indipendentemente l'uno dall' altro, hanno dedotto un teorema sulla distribuzione dei numeri primi. Hadamard e Poussin sono riusciti a dimostrare che tutte le funzioni 0 zeta non banali rientrano nella banda critica.
Grazie al lavoro di questi scienziati, è apparsa una nuova direzione nella matematica: la teoria analitica dei numeri. Successivamente, altri ricercatori ottennero diverse prove più primitive del teorema su cui stava lavorando Riemann. In particolare, Pal Erdős e Atle Selberg hanno persino scoperto una catena logica molto complessa a conferma di ciò, che non richiedeva l'uso di analisi complesse. Tuttavia, a questo punto, molti importantiteoremi, comprese le approssimazioni di molte funzioni di teoria dei numeri. A questo proposito, il nuovo lavoro di Erdős e Atle Selberg praticamente non ha influito su nulla.
Una delle prove più semplici e belle del problema è stata trovata nel 1980 da Donald Newman. Era basato sul famoso teorema di Cauchy.
L'ipotesi riemanniana minaccia le basi della crittografia moderna
La crittografia dei dati è nata insieme alla comparsa dei geroglifici, più precisamente, essi stessi possono essere considerati i primi codici. Al momento, esiste un'intera area della crittografia digitale, che sta sviluppando algoritmi di crittografia.
Numeri primi e "semi-primi", ovvero quelli che sono divisibili solo per altri 2 numeri della stessa classe, costituiscono la base del sistema a chiave pubblica noto come RSA. Ha l'applicazione più ampia. In particolare, viene utilizzato durante la generazione di una firma elettronica. Parlando in termini accessibili ai manichini, l'ipotesi di Riemann afferma l'esistenza di un sistema nella distribuzione dei numeri primi. Pertanto, la forza delle chiavi crittografiche, da cui dipende la sicurezza delle transazioni online nel campo dell'e-commerce, viene notevolmente ridotta.
Altri problemi di matematica irrisolti
Vale la pena finire l'articolo dedicando qualche parola ad altri obiettivi del millennio. Questi includono:
- Uguaglianza delle classi P e NP. Il problema è formulato come segue: se una risposta positiva a una particolare domanda è verificata in tempo polinomiale, allora è vero che la risposta stessa a questa domandapuò essere trovato rapidamente?
- Congettura di Hodge. In parole semplici, può essere formulato come segue: per alcuni tipi di varietà algebriche proiettive (spazi), i cicli di Hodge sono combinazioni di oggetti che hanno un'interpretazione geometrica, cioè cicli algebrici.
- Congettura di Poincaré. Questa è l'unica sfida del millennio che è stata dimostrata finora. Secondo esso, qualsiasi oggetto tridimensionale che abbia le proprietà specifiche di una sfera tridimensionale deve essere una sfera, fino alla deformazione.
- Affermazione della teoria quantistica di Yang - Mills. È necessario dimostrare che la teoria quantistica proposta da questi scienziati per lo spazio R 4 esiste e ha un difetto di massa 0 per qualsiasi gruppo di gauge compatto G.
- Ipotesi Birch-Swinnerton-Dyer. Questo è un altro problema relativo alla crittografia. Tocca le curve ellittiche.
- Il problema dell'esistenza e dell'uniformità delle soluzioni alle equazioni di Navier-Stokes.
Ora conosci l'ipotesi di Riemann. In parole povere, abbiamo formulato alcune delle altre Sfide del Millennio. Che si risolvano o si dimostri che non hanno soluzioni è questione di tempo. Inoltre, è improbabile che ciò debba attendere troppo a lungo, poiché la matematica utilizza sempre più le capacità di calcolo dei computer. Tuttavia, non tutto è soggetto alla tecnologia e, prima di tutto, per risolvere i problemi scientifici sono necessarie intuizione e creatività.
