In matematica e nell'elaborazione, il concetto di segnale analitico (in breve - C, AC) è una funzione complessa che non ha componenti di frequenza negative. La parte reale e quella immaginaria di questo fenomeno sono funzioni reali collegate tra loro dalla trasformata di Hilbert. Un segnale analitico è un fenomeno abbastanza comune in chimica, la cui essenza è simile alla definizione matematica di questo concetto.
Spettacoli
La rappresentazione analitica di una funzione reale è un segnale analitico contenente la funzione originale e la sua trasformata di Hilbert. Questa rappresentazione facilita molte manipolazioni matematiche. L'idea principale è che le componenti di frequenza negative della trasformata (o spettro) di Fourier di una funzione reale siano ridondanti a causa della simmetria hermitiana di tale spettro. Queste componenti di frequenza negativa possono essere scartate senzaperdita di informazioni, a condizione che si voglia invece occuparsi di una funzione complessa. Ciò rende più accessibili alcuni attributi di funzionalità e semplifica la derivazione di tecniche di modulazione e demodulazione come SSB.
Componenti negativi
Finché la funzione manipolata non ha componenti di frequenza negative (cioè è ancora analitica), convertire da complesso a reale è semplicemente una questione di scartare la parte immaginaria. La rappresentazione analitica è una generalizzazione del concetto di vettore: mentre un vettore è limitato a un'ampiezza, una fase e una frequenza invarianti nel tempo, un'analisi qualitativa di un segnale analitico consente parametri variabili nel tempo.
L'ampiezza istantanea, la fase istantanea e la frequenza vengono utilizzate in alcune applicazioni per misurare e rilevare le caratteristiche locali di C. Un' altra applicazione della rappresentazione analitica riguarda la demodulazione dei segnali modulati. Le coordinate polari separano convenientemente gli effetti della modulazione AM e di fase (o frequenza) e demodulano efficacemente alcuni tipi.
Allora un semplice filtro passa basso con coefficienti reali può tagliare la parte di interesse. Un altro motivo è abbassare la frequenza massima, che abbassa la frequenza minima per il campionamento senza alias. Lo spostamento di frequenza non pregiudica l'utilità matematica della rappresentazione. Quindi, in questo senso, downconverted è ancora analitico. Tuttavia, il ripristino della rappresentazione realenon si tratta più semplicemente di estrarre il componente reale. Potrebbe essere necessaria l'upconversion e, se il segnale viene campionato (tempo discreto), potrebbe essere necessaria anche l'interpolazione (upsampling) per evitare l'alias.
Variabili
Il concetto è ben definito per i fenomeni a singola variabile, che di solito sono temporanei. Questa temporalità confonde molti matematici principianti. Per due o più variabili, l'analitica C può essere definita in modi diversi e di seguito vengono presentati due approcci.
Le parti reale e immaginaria di questo fenomeno corrispondono a due elementi di un segnale monogenico a valore vettoriale, come definito per fenomeni simili con una variabile. Tuttavia, monogenico può essere esteso a un numero arbitrario di variabili in modo semplice, creando una funzione vettoriale (n + 1)-dimensionale per il caso di segnali di n variabili.
Conversione del segnale
Puoi convertire un segnale reale in uno analitico aggiungendo una componente immaginaria (Q), che è la trasformata di Hilbert della componente reale.
A proposito, questo non è nuovo per la sua elaborazione digitale. Uno dei modi tradizionali per generare AM a banda laterale singola (SSB), il metodo di fasatura, prevede la creazione di segnali generando una trasformata di Hilbert di un segnale audio in una rete di resistori-condensatori analogici. Poiché ha solo frequenze positive, è facile convertirlo in un segnale RF modulato con una sola banda laterale.
Formule di definizione
L'espressione analitica del segnale è una funzione complessa olomorfa definita sul confine del semipiano del complesso superiore. Il confine del semipiano superiore coincide con il casuale, quindi C è dato dalla mappatura fa: R → C. Dalla metà del secolo scorso, quando Denis Gabor propose nel 1946 di utilizzare questo fenomeno per studiare ampiezza e fase costanti, il segnale ha trovato molte applicazioni. La particolarità di questo fenomeno è stata sottolineata [Vak96], dove è stato dimostrato che solo un'analisi qualitativa del segnale analitico corrisponde alle condizioni fisiche per ampiezza, fase e frequenza.
Ultimi risultati
Negli ultimi decenni, c'è stato un interesse per lo studio del segnale in molte dimensioni, motivato da problemi che sorgono in campi che vanno dall'elaborazione di immagini / video ai processi oscillatori multidimensionali in fisica, come sismico, elettromagnetico e onde gravitazionali. È stato generalmente accettato che, per generalizzare correttamente l'analitica C (analisi qualitativa) al caso di più dimensioni, si debba fare affidamento su una costruzione algebrica che estenda i numeri complessi ordinari in modo conveniente. Tali costruzioni sono generalmente chiamate numeri ipercomplessi [SKE].
Infine, dovrebbe essere possibile costruire un segnale analitico ipercomplesso fh: Rd → S, dove è rappresentato un sistema algebrico ipercomplesso generale, che estende naturalmente tutte le proprietà richieste per ottenere un'ampiezza istantanea efase.
Studio
Numerosi articoli sono dedicati a varie questioni relative alla corretta scelta del sistema numerico ipercomplesso, alla definizione della trasformata di Fourier ipercomplessa e delle trasformate frazionarie di Hilbert per lo studio dell'ampiezza e della fase istantanee. La maggior parte di questo lavoro si basava su proprietà di vari spazi come Cd, quaternioni, algebre di Clearon e costruzioni di Cayley-Dixon.
In seguito, elencheremo solo alcuni dei lavori dedicati allo studio del segnale in molte dimensioni. Per quanto ne sappiamo, i primi lavori sul metodo multivariato sono stati ottenuti all'inizio degli anni '90. Questi includono il lavoro di Ell [Ell92] sulle trasformazioni ipercomplesse; Il lavoro di Bulow sulla generalizzazione del metodo di reazione analitica (segnale analitico) a molte misurazioni [BS01] e il lavoro di Felsberg e Sommer sui segnali monogenici.
Ulteriori prospettive
Ci si aspetta che il segnale ipercomplesso estenda tutte le proprietà utili che abbiamo nel caso 1D. Prima di tutto, dobbiamo essere in grado di estrarre e generalizzare l'ampiezza istantanea e la fase alle misure. In secondo luogo, lo spettro di Fourier di un segnale analitico complesso viene mantenuto solo a frequenze positive, quindi ci aspettiamo che la trasformata di Fourier ipercomplessa abbia il proprio spettro ipervalutato, che sarà mantenuto solo in qualche quadrante positivo dello spazio ipercomplesso. Perché è molto importante.
Terzo, coniugare parti di un concetto complessodel segnale analitico sono correlati alla trasformata di Hilbert e possiamo aspettarci che i componenti coniugati nello spazio ipercomplesso debbano essere correlati anche a qualche combinazione delle trasformate di Hilbert. E infine, in effetti, un segnale ipercomplesso deve essere definito come un'estensione di qualche funzione olomorfa ipercomplessa di diverse variabili ipercomplesse definite sul confine di una qualche forma in uno spazio ipercomplesso.
Stiamo affrontando questi problemi in ordine sequenziale. Prima di tutto, iniziamo osservando la formula dell'integrale di Fourier e mostriamo che la trasformata di Hilbert in 1-D è correlata alla formula dell'integrale di Fourier modificata. Questo fatto ci permette di definire l'ampiezza, la fase e la frequenza istantanea senza alcun riferimento a sistemi numerici ipercomplessi e funzioni olomorfe.
Modifica degli integrali
Continuiamo estendendo la formula integrale di Fourier modificata a diverse dimensioni e determiniamo tutte le componenti sfasate necessarie che possiamo raccogliere in ampiezza e fase istantanee. In secondo luogo, passiamo alla questione dell'esistenza di funzioni olomorfe di diverse variabili ipercomplesse. Dopo [Sch93] risulta che l'algebra ipercomplessa commutativa e associativa generata da un insieme di generatori ellittici (e2i=−1) è uno spazio adatto per la vita di un segnale analitico ipercomplesso, chiamiamo tale algebra ipercomplessa lo spazio di Schaefers e denotiamo essoSd.
Pertanto, l'ipercomplesso dei segnali analitici è definito come una funzione olomorfa sul confine del polidisco / metà superiore del piano in uno spazio ipercomplesso, che chiamiamo spazio generale di Schaefers, e denotato con Sd. Osserviamo quindi la validità della formula integrale di Cauchy per le funzioni Sd → Sd, che sono calcolate su un'ipersuperficie all'interno di un polidisco in Sd e derivano le corrispondenti trasformate frazionarie di Hilbert che mettono in relazione le componenti coniugate dell'ipercomplesso. Infine, risulta che la trasformata di Fourier con valori nello spazio di Schaefers è supportata solo a frequenze non negative. Grazie a questo articolo, hai imparato cos'è un segnale analitico.
